Практика к уроку «Показательные неравенства»

Сделаем замену: $t=3^x$. Так как $3^x>0$, то $t>0$.

Также знаменатели не должны быть равны нулю:

$3^x-27\ne0 \Rightarrow 3^x\ne27 \Rightarrow x\ne3$
$3^x-9\ne0 \Rightarrow 3^x\ne9 \Rightarrow x\ne2$.

В новых переменных: $$\frac{4}{t-27}\ge \frac{1}{t-9}.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{4}{t-27}-\frac{1}{t-9}\ge0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{4(t-9)-(t-27)}{(t-27)(t-9)}\ge0.$$

Раскроем скобки:

$\frac{4t-36-t+27}{(t-27)(t-9)}\ge0$
$\frac{3t-9}{(t-27)(t-9)}\ge0$.

Вынесем $3$: $$\frac{3(t-3)}{(t-27)(t-9)}\ge0.$$

Так как $3>0$, знак неравенства не меняется: $\frac{t-3}{(t-27)(t-9)}\ge0$.

Критические точки: $t=3$, $t=9$, $t=27$.

Учитываем, что $t>0$, $t\ne9$, $t\ne27$. Решаем методом интервалов: $$t\in[3;9)\cup(27;+\infty).$$

Возвращаемся к замене $t=3^x$: $3^x\in[3;9)$ или $3^x\in(27;+\infty).$

Первый случай:

$3\le3^x<9$
$3^1\le3^x<3^2$
$1\le x<2$.

Второй случай:

$3^x>27$
$3^x>3^3$
$x>3$.

Ответ: $[1;2)\cup(3;+\infty)$.

Сделаем замену: $t=2^x$. Так как $2^x>0$, то $t>0$.

Также знаменатели не должны быть равны нулю:

$2^x-32\ne0$
$2^x\ne32$
$x\ne5$

и

$2^x-8\ne0$
$2^x\ne8$
$x\ne3$.

В новых переменных получаем неравенство: $$\frac{5}{t-32}\ge \frac{1}{t-8}.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{5}{t-32}-\frac{1}{t-8}\ge0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{5(t-8)-(t-32)}{(t-32)(t-8)}\ge0.$$

Раскроем скобки:

$\frac{5t-40-t+32}{(t-32)(t-8)}\ge0$
$\frac{4t-8}{(t-32)(t-8)}\ge0$.

Вынесем $4$ в числителе: $$\frac{4(t-2)}{(t-32)(t-8)}\ge0.$$

Так как $4>0$, знак дроби не меняется: $$\frac{t-2}{(t-32)(t-8)}\ge0.$$

Критические точки: $t=2$, $t=8$, $t=32$.

При этом $t=8$ и $t=32$ не входят в ответ, так как это нули знаменателя. Решаем методом интервалов при $t>0$: $$t\in[2;8)\cup(32;+\infty).$$

Теперь возвращаемся к замене $t=2^x$.

Первый промежуток:

$2\le2^x<8$
$2^1\le2^x<2^3$
$1\le x<3$.

Второй промежуток:

$2^x>32$
$2^x>2^5$
$x>5$.

Ответ: $[1;3)\cup(5;+\infty)$.

Сделаем замену: $t=3^x$. Так как $3^x>0$, то $t>0$.

Также знаменатель не должен быть равен нулю:

$3^x-36\ne0$
$3^x\ne36$.

В новых переменных получаем неравенство: $$t+\frac{243}{t-36}\ge0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t-36)+243}{t-36}\ge0.$$

Раскроем скобки: $$\frac{t^2-36t+243}{t-36}\ge0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$t^2-36t+243=(t-9)(t-27).$$

Получаем: $$\frac{(t-9)(t-27)}{t-36}\ge0.$$

Критические точки: $t=9$, $t=27$, $t=36$. При этом $t=36$ не входит в ответ, так как это нуль знаменателя.

Решаем методом интервалов при $t>0$: $t\in[9;27]\cup(36;+\infty)$. Возвращаемся к замене $t=3^x$.

Первый промежуток:

$9\le3^x\le27$
$3^2\le3^x\le3^3$
$2\le x\le3$.

Второй промежуток:

$3^x>36$
$x>\log_3 36$.

Ответ: $[2;3]\cup(\log_3 36;+\infty)$.

Сделаем замену: $t=2^x$. Так как $2^x>0$, то $t>0$. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$2^x-20\ne0$
$2^x\ne20$.

В новых переменных получаем: $$t+\frac{64}{t-20}\ge0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t-20)+64}{t-20}\ge0.$$

Раскроем скобки: $$\frac{t^2-20t+64}{t-20}\ge0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$t^2-20t+64=(t-4)(t-16).$$

Получаем: $$\frac{(t-4)(t-16)}{t-20}\ge0.$$

Критические точки: $t=4$, $t=16$, $t=20$. При этом $t=20$ не входит в ответ, так как это нуль знаменателя.

Решаем методом интервалов при $t>0$: $t\in[4;16]\cup(20;+\infty)$. Возвращаемся к замене $t=2^x$.

Первый промежуток:

$4\le2^x\le16$
$2^2\le2^x\le2^4$
$2\le x\le4$.

Второй промежуток:

$2^x>20$
$x>\log_2 20$.

Ответ: $[2;4]\cup(\log_2 20;+\infty)$.

Преобразуем степени к основанию $8$: $$64^x=(8^2)^x=8^{2x}.$$

Сделаем замену: $t=8^x$, где $t>0$. Тогда:

$8^{x+1}=8\cdot8^x=8t$
$64^x=8^{2x}=t^2$.

Получаем неравенство: $$\frac{8t-40}{2t^2-32}\le1.$$

Перенесём $1$ в левую часть: $$\frac{8t-40}{2t^2-32}-1\le0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{8t-40-(2t^2-32)}{2t^2-32}\le0$
$\frac{8t-40-2t^2+32}{2t^2-32}\le0$
$\frac{-2t^2+8t-8}{2t^2-32}\le0$.

Вынесем множители:

$\frac{-2(t^2-4t+4)}{2(t^2-16)}\le0$
$\frac{-(t-2)^2}{(t-4)(t+4)}\le0$.

Так как $t>0$, множитель $t+4>0$, поэтому знак дроби зависит от выражения: $$\frac{-(t-2)^2}{t-4}\le0.$$

Критические точки: $t=2$ и $t=4$. При этом $t=4$ не входит в ответ, так как знаменатель равен нулю.

Решаем методом интервалов: $t\in{2}\cup(4;+\infty).$ Возвращаемся к замене $t=8^x$.

Первый случай:

$8^x=2$
$8^x=8^{\frac13}$
$x=\frac13$.

Второй случай:

$8^x>4$
$8^x>8^{\frac23}$
$x>\frac23$.

Ответ: ${\frac13}\cup(\frac23;+\infty)$.

Преобразуем степени к основанию $4$: $$16^x=(4^2)^x=4^{2x}.$$

Сделаем замену: $t=4^x$. Так как $4^x>0$, то $t>0$. Тогда:

$4^{x+1}=4\cdot4^x=4t$
$16^x=4^{2x}=t^2$.

Получаем неравенство: $$\frac{4t-20}{2t^2-18}\le1.$$

Перенесём $1$ в левую часть: $$\frac{4t-20}{2t^2-18}-1\le0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{4t-20-(2t^2-18)}{2t^2-18}\le0.$$

Раскроем скобки:

$\frac{4t-20-2t^2+18}{2t^2-18}\le0$
$\frac{-2t^2+4t-2}{2t^2-18}\le0$.

Вынесем множители:

$\frac{-2(t^2-2t+1)}{2(t^2-9)}\le0$
$\frac{-(t-1)^2}{(t-3)(t+3)}\le0$.

Так как $t>0$, то $t+3>0$. Поэтому знак дроби зависит от выражения: $$\frac{-(t-1)^2}{t-3}\le0.$$

Критические точки: $t=1$ и $t=3$. При этом $t=3$ не входит в ответ, так как знаменатель равен нулю.

Решаем методом интервалов: $t\in{1}\cup(3;+\infty)$. Возвращаемся к замене $t=4^x$.

Первый случай:

$4^x=1$
$4^x=4^0$
$x=0$.

Второй случай:

$4^x>3$
$x>\log_4 3$.

Ответ: ${0}\cup(\log_4 3;+\infty)$.

Сделаем замену: $t=3^x$. Так как $3^x>0$, то $t>0$. Также знаменатели не должны быть равны нулю:

$3^x-9\ne0$
$3^x\ne9$
$t\ne9$.

Заметим, что $$9^x=(3^x)^2=t^2.$$

Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t+9}{t-9}+\frac{t-9}{t+9}\ge \frac{12t+144}{t^2-81}.$$

Так как $t^2-81=(t-9)(t+9)$, приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t+9)^2+(t-9)^2}{(t-9)(t+9)}\ge \frac{12t+144}{(t-9)(t+9)}.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{(t+9)^2+(t-9)^2-(12t+144)}{(t-9)(t+9)}\ge0.$$

Раскроем скобки:

$(t+9)^2=t^2+18t+81$
$(t-9)^2=t^2-18t+81$.

Тогда числитель равен:

$t^2+18t+81+t^2-18t+81-12t-144$
$=2t^2-12t+18$
$=2(t^2-6t+9)$
$=2(t-3)^2$.

Получаем: $$\frac{2(t-3)^2}{(t-9)(t+9)}\ge0.$$

Так как $t>0$, то $t+9>0$. Поэтому знак дроби зависит от выражения: $$\frac{(t-3)^2}{t-9}\ge0.$$

Критические точки: $t=3$, $t=9$. При этом $t=9$ не входит в ответ, так как знаменатель равен нулю.

Решаем методом интервалов: $t\in{3}\cup(9;+\infty)$. Возвращаемся к замене $t=3^x$.

Первый случай:

$3^x=3$
$x=1$.

Второй случай:

$3^x>9$
$3^x>3^2$
$x>2$.

Ответ: ${1}\cup(2;+\infty)$.

Сделаем замену: $t=2^x$. Так как $2^x>0$, то $t>0$. Также знаменатели не должны быть равны нулю:

$2^x-4\ne0$
$2^x\ne4$
$t\ne4$.

Заметим, что $$4^x=(2^x)^2=t^2.$$

Тогда неравенство принимает вид: $$\frac{t+4}{t-4}+\frac{t-4}{t+4}\ge \frac{4t+30}{t^2-16}.$$

Так как $t^2-16=(t-4)(t+4)$, приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t+4)^2+(t-4)^2}{(t-4)(t+4)}\ge \frac{4t+30}{(t-4)(t+4)}.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{(t+4)^2+(t-4)^2-(4t+30)}{(t-4)(t+4)}\ge0.$$

Раскроем скобки:

$(t+4)^2=t^2+8t+16$
$(t-4)^2=t^2-8t+16$.

Тогда числитель равен: $$t^2+8t+16+t^2-8t+16-4t-30.$$

$=2t^2-4t+2$
$=2(t^2-2t+1)$
$=2(t-1)^2$.

Получаем: $$\frac{2(t-1)^2}{(t-4)(t+4)}\ge0.$$

Так как $t>0$, то $t+4>0$. Поэтому знак дроби зависит от выражения: $$\frac{(t-1)^2}{t-4}\ge0.$$

Критические точки: $t=1$, $t=4$. При этом $t=4$ не входит в ответ, так как знаменатель равен нулю.

Решаем методом интервалов: $t\in{1}\cup(4;+\infty)$. Возвращаемся к замене $t=2^x$.

Первый случай:

$2^x=1$
$2^x=2^0$
$x=0$.

Второй случай:

$2^x>4$
$2^x>2^2$
$x>2$.

Ответ: ${0}\cup(2;+\infty)$.

Сделаем замену: $t=2^x$. Так как $2^x>0$, то $t>0$. Также знаменатели не должны быть равны нулю:

$2^x-5\ne0$, значит $t\ne5$,
$2^x-8\ne0$, значит $t\ne8$.

Так как $4^x=(2^x)^2=t^2$, получаем неравенство: $$\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-46}{t-8}\le t+5.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-46}{t-8}-(t+5)\le0.$$

Упростим дроби: $\frac{t^2-6t+4}{t-5}=t-1-\frac{1}{t-5}$, потому что $t^2-6t+4=(t-5)(t-1)-1$.

Также $\frac{6t-46}{t-8}=6+\frac{2}{t-8}$, потому что $6t-46=6(t-8)+2$.

Тогда неравенство принимает вид: $$t-1-\frac{1}{t-5}+6+\frac{2}{t-8}-(t+5)\le0.$$

Сократим: $$-\frac{1}{t-5}+\frac{2}{t-8}\le0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{-(t-8)+2(t-5)}{(t-5)(t-8)}\le0.$$

Раскроем скобки:

$\frac{-t+8+2t-10}{(t-5)(t-8)}\le0$.
$\frac{t-2}{(t-5)(t-8)}\le0$.

Критические точки: $t=2$, $t=5$, $t=8$. При этом $t=5$ и $t=8$ не входят в ответ, так как это нули знаменателя.

Решаем методом интервалов при $t>0$: $t\in(0;2]\cup(5;8)$. Возвращаемся к замене $t=2^x$.

Первый промежуток: $0<2^x\le2$. Так как $2^x>0$ при любом $x$, получаем:

$2^x\le2$
$2^x\le2^1$
$x\le1$.

Второй промежуток:

$5<2^x<8$
$5<2^x<2^3$
$\log_2 5<x<3$.

Ответ: $(-\infty;1]\cup(\log_2 5;3)$.

Сделаем замену: $t=2^x$. Так как $2^x>0$, то $t>0$. Также знаменатели не должны быть равны нулю:

$2^x-4\ne0$, значит $t\ne4$,
$2^x-6\ne0$, значит $t\ne6$.

Так как $4^x=(2^x)^2=t^2$, получаем неравенство: $$\frac{t^2-5t+3}{t-4}+\frac{6t-34}{t-6}\le t+5.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{t^2-5t+3}{t-4}+\frac{6t-34}{t-6}-(t+5)\le0.$$

Упростим первую дробь: $t^2-5t+3=(t-4)(t-1)-1$, поэтому $\frac{t^2-5t+3}{t-4}=t-1-\frac{1}{t-4}$.

Упростим вторую дробь: $6t-34=6(t-6)+2$, поэтому $\frac{6t-34}{t-6}=6+\frac{2}{t-6}$.

Тогда неравенство принимает вид: $$t-1-\frac{1}{t-4}+6+\frac{2}{t-6}-(t+5)\le0.$$

Сократим: $$-\frac{1}{t-4}+\frac{2}{t-6}\le0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{-(t-6)+2(t-4)}{(t-4)(t-6)}\le0.$$

Раскроем скобки:

$\frac{-t+6+2t-8}{(t-4)(t-6)}\le0$
$\frac{t-2}{(t-4)(t-6)}\le0$.

Критические точки: $t=2$, $t=4$, $t=6$. При этом $t=4$ и $t=6$ не входят в ответ, так как это нули знаменателя.

Решаем методом интервалов при $t>0$: $t\in(0;2]\cup(4;6)$. Возвращаемся к замене $t=2^x$.

Первый промежуток: $0<2^x\le2$. Так как $2^x>0$ при любом $x$, получаем:

$2^x\le2$
$2^x\le2^1$
$x\le1$.

Второй промежуток:

$4<2^x<6$
$2^2<2^x<6$
$2<x<\log_2 6$.

Ответ: $(-\infty;1]\cup(2;\log_2 6)$.

Сделаем замену: $t=2^x$. Тогда $t>0$. Преобразуем степени:

$8^{x+\frac23}=2^{3x+2}=4t^3$
$4^{x+\frac12}=2^{2x+1}=2t^2$
$2^{x+1}=2t$.

Получаем неравенство: $$\frac{4t^3-18t^2+13t-13}{2t^2-9t+4}\le 2t-\frac{1}{t-2}+\frac{3}{2t-1}.$$

ОДЗ:

$2t^2-9t+4\ne0$
$t-2\ne0$
$2t-1\ne0$.

Так как $2t^2-9t+4=(2t-1)(t-4)$, то $t\ne\frac12,\ t\ne2,\ t\ne4$.

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{4t^3-18t^2+13t-13}{2t^2-9t+4}-2t+\frac{1}{t-2}-\frac{3}{2t-1}\le0.$$

Сначала упростим первые два слагаемых:

$\frac{4t^3-18t^2+13t-13}{2t^2-9t+4}-2t=$
$=\frac{4t^3-18t^2+13t-13-2t(2t^2-9t+4)}{2t^2-9t+4}$
$=\frac{4t^3-18t^2+13t-13-4t^3+18t^2-8t}{2t^2-9t+4}$
$=\frac{5t-13}{(2t-1)(t-4)}$.

Тогда неравенство принимает вид: $$\frac{5t-13}{(2t-1)(t-4)}+\frac{1}{t-2}-\frac{3}{2t-1}\le0.$$

Сгруппируем первую и третью дроби:

$\frac{5t-13}{(2t-1)(t-4)}-\frac{3}{2t-1}=$
$=\frac{5t-13-3(t-4)}{(2t-1)(t-4)}$
$=\frac{5t-13-3t+12}{(2t-1)(t-4)}$
$=\frac{2t-1}{(2t-1)(t-4)}$
$=\frac{1}{t-4}$.

Получаем: $$\frac{1}{t-4}+\frac{1}{t-2}\le0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{t-2+t-4}{(t-4)(t-2)}\le0$
$\frac{2t-6}{(t-4)(t-2)}\le0$
$\frac{2(t-3)}{(t-4)(t-2)}\le0$.

Так как $2>0$, решаем: $$\frac{t-3}{(t-4)(t-2)}\le0.$$

Критические точки: $t=2,\ t=3,\ t=4$. Также помним, что $t=\frac12$ не входит в ОДЗ.

С учётом $t>0$ получаем: $$t\in(0;\frac12)\cup(\frac12;2)\cup[3;4).$$

Возвращаемся к замене $t=2^x$.

Первый промежуток:

$0<2^x<\frac12$
$2^x<2^{-1}$
$x<-1$.

Второй промежуток:

$\frac12<2^x<2$
$2^{-1}<2^x<2^1$
$-1<x<1$.

Третий промежуток:

$3\le2^x<4$
$\log_2 3\le x<2$.

Ответ: $(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup[\log_2 3;2)$.

Сделаем замену: $t=3^x$. Тогда $t>0$. Преобразуем степени:

$27^{x+\frac23}=3^{3x+2}=9t^3$
$9^x=(3^x)^2=t^2$
$3^{x+1}=3t$.

Получаем неравенство: $$\frac{9t^3-33t^2+23t-8}{3t^2-11t+6}\le 3t-\frac{1}{t-1}+\frac{2}{3t-2}.$$

Разложим знаменатель: $$3t^2-11t+6=(3t-2)(t-3).$$

ОДЗ: $$t\ne\frac23,\ t\ne1,\ t\ne3.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{9t^3-33t^2+23t-8}{3t^2-11t+6}-3t+\frac{1}{t-1}-\frac{2}{3t-2}\le0.$$

Упростим первые два слагаемых:

$\frac{9t^3-33t^2+23t-8}{3t^2-11t+6}-3t=$
$=\frac{9t^3-33t^2+23t-8-3t(3t^2-11t+6)}{3t^2-11t+6}$
$=\frac{9t^3-33t^2+23t-8-9t^3+33t^2-18t}{3t^2-11t+6}$
$=\frac{5t-8}{(3t-2)(t-3)}$.

Тогда неравенство принимает вид: $$\frac{5t-8}{(3t-2)(t-3)}+\frac{1}{t-1}-\frac{2}{3t-2}\le0.$$

Сгруппируем первую и третью дроби:

$\frac{5t-8}{(3t-2)(t-3)}-\frac{2}{3t-2}=$
$=\frac{5t-8-2(t-3)}{(3t-2)(t-3)}$
$=\frac{5t-8-2t+6}{(3t-2)(t-3)}$
$=\frac{3t-2}{(3t-2)(t-3)}$
$=\frac{1}{t-3}$.

Получаем: $$\frac{1}{t-3}+\frac{1}{t-1}\le0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{t-1+t-3}{(t-3)(t-1)}\le0$
$\frac{2t-4}{(t-3)(t-1)}\le0$
$\frac{2(t-2)}{(t-3)(t-1)}\le0$.

Так как $2>0$, решаем: $$\frac{t-2}{(t-3)(t-1)}\le0.$$

Критические точки: $t=1,\ t=2,\ t=3$. Также по ОДЗ исключаем $t=\frac23$.

С учётом $t>0$ получаем: $$t\in(0;\frac23)\cup(\frac23;1)\cup[2;3).$$

Возвращаемся к замене $t=3^x$.

Первый промежуток:

$0<3^x<\frac23$
$x<\log_3\frac23$.

Второй промежуток:

$\frac23<3^x<1$
$\log_3\frac23<x<0$.

Третий промежуток:

$2\le3^x<3$
$\log_3 2\le x<1$.

Ответ: $(-\infty;\log_3\frac23)\cup(\log_3\frac23;0)\cup[\log_3 2;1)$.

Преобразуем каждое слагаемое:

$12^x=(4\cdot3)^x=4^x\cdot3^x$
$8^x=2^x\cdot4^x$
$6^{x+1}=6\cdot6^x=6\cdot2^x\cdot3^x$
$4^{x+1}=4\cdot4^x$
$2^{x+5}=32\cdot2^x$.

Подставим: $$4^x\cdot3^x-2^x\cdot4^x-12\cdot2^x\cdot3^x+12\cdot4^x+32\cdot3^x-32\cdot2^x\le0.$$

Сгруппируем: $$3^x(4^x-12\cdot2^x+32)-2^x(4^x-12\cdot2^x+32)\le0.$$

Вынесем общий множитель: $$(3^x-2^x)(4^x-12\cdot2^x+32)\le0.$$

Так как $4^x=(2^x)^2$, получаем: $$(3^x-2^x)((2^x)^2-12\cdot2^x+32)\le0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$(2^x)^2-12\cdot2^x+32=(2^x-4)(2^x-8).$$

Тогда неравенство принимает вид: $$(3^x-2^x)(2^x-4)(2^x-8)\le0.$$

Найдём нули множителей:

$3^x-2^x=0$
$3^x=2^x$
$\left(\frac32\right)^x=1$
$x=0$.

Далее:

$2^x-4=0$
$2^x=4$
$x=2$.

И ещё:

$2^x-8=0$
$2^x=8$
$x=3$.

Критические точки: $0$, $2$, $3$. Решаем методом интервалов.

На промежутке $(-\infty;0)$: $3^x-2^x<0$, $2^x-4<0$, $2^x-8<0$, значит произведение отрицательно.

На промежутке $(0;2)$: $3^x-2^x>0$, $2^x-4<0$, $2^x-8<0$, значит произведение положительно.

На промежутке $(2;3)$: $3^x-2^x>0$, $2^x-4>0$, $2^x-8<0$, значит произведение отрицательно.

На промежутке $(3;+\infty)$: все три множителя положительны, значит произведение положительно.

Так как неравенство нестрогое, точки $0$, $2$, $3$ входят в ответ.

Ответ: $(-\infty;0]\cup[2;3]$.

Преобразуем степени:

$45^x=(9\cdot5)^x=9^x\cdot5^x=(3^x)^2\cdot5^x$
$27^x=(3^x)^3$
$15^x=3^x\cdot5^x$
$9^x=(3^x)^2$
$3^{x+2}=9\cdot3^x$.

Пусть $a=3^x$, $b=5^x$. Тогда неравенство принимает вид: $$3a^2b-3a^3-28ab+28a^2+9b-9a\le0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$3a^2b-3a^3-28ab+28a^2+9b-9a=$
$=3a^2(b-a)-28a(b-a)+9(b-a)$.

Вынесем общий множитель: $$=(b-a)(3a^2-28a+9).$$

Возвращаемся к степеням: $$(5^x-3^x)(3(3^x)^2-28\cdot3^x+9)\le0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$3(3^x)^2-28\cdot3^x+9=(3\cdot3^x-1)(3^x-9).$$

Получаем: $$(5^x-3^x)(3^{x+1}-1)(3^x-9)\le0.$$

Найдём нули множителей.

Первый множитель:

$5^x-3^x=0$
$5^x=3^x$
$\left(\frac53\right)^x=1$
$x=0$.

Второй множитель:

$3^{x+1}-1=0$
$3^{x+1}=1$
$3^{x+1}=3^0$
$x+1=0$
$x=-1$.

Третий множитель:

$3^x-9=0$
$3^x=9$
$3^x=3^2$
$x=2$.

Критические точки: $-1$, $0$, $2$. Определим знаки на промежутках.

На $(-\infty;-1)$:
$5^x-3^x<0$
$3^{x+1}-1<0$
$3^x-9<0$.

Произведение отрицательно, значит промежуток подходит.

На $(-1;0)$:
$5^x-3^x<0$
$3^{x+1}-1>0$
$3^x-9<0$.

Произведение положительно, промежуток не подходит.

На $(0;2)$:
$5^x-3^x>0$
$3^{x+1}-1>0$
$3^x-9<0$.

Произведение отрицательно, промежуток подходит.

На $(2;+\infty)$: все три множителя положительны, произведение положительно, промежуток не подходит.

Так как неравенство нестрогое, точки $x=-1$, $x=0$, $x=2$ входят в ответ.

Ответ: $(-\infty;-1]\cup[0;2]$.

Сделаем замену: $t=3^x$. Тогда $t>0$. Преобразуем степени:

$9^x=(3^x)^2=t^2$
$3^{x+1}=3\cdot3^x=3t$.

Получаем неравенство:

$(t^2-3t)^2+8\cdot3t<8t^2+20$
$(t^2-3t)^2+24t<8t^2+20$.

Раскроем скобки: $$t^4-6t^3+9t^2+24t<8t^2+20.$$

Перенесём всё в левую часть: $$t^4-6t^3+t^2+24t-20<0.$$

Разложим многочлен на множители: $$t^4-6t^3+t^2+24t-20=(t-1)(t-2)(t-5)(t+2).$$

Получаем: $$(t-1)(t-2)(t-5)(t+2)<0.$$

Так как $t>0$, то $t+2>0$. Поэтому решаем: $$(t-1)(t-2)(t-5)<0.$$

Критические точки: $t=1$, $t=2$, $t=5$.

Методом интервалов получаем: $t\in(0;1)\cup(2;5)$.

Возвращаемся к замене $t=3^x$.

Первый промежуток: $0<3^x<1$.

Так как $1=3^0$, получаем: $x<0$.

Второй промежуток: $2<3^x<5$. Так как основание $3>1$, получаем: $\log_3 2<x<\log_3 5$.

Ответ: $(-\infty;0)\cup(\log_3 2;\log_3 5)$.