Практика к уроку «Задачи с прикладным содержанием»

{"questions":[{"content":"Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте $h$ (в километрах) над Землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \\sqrt{2Rh},$ где $R = 6\\space 400\\space км$ — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии $48$ километров? Ответ дайте в километрах.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.18$","$0.36$","$0.09$","$0.24$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Подставим известные значения $l = 48\\space км$ и $R = 6\\space400\\space км{:}$<br />$$48 = \\sqrt{2 \\cdot 6\\space400 \\cdot h}$$ $2)$ Возведем обе части уравнения в квадрат:<br />$$48^2 = 2 \\cdot 6\\space400 \\cdot h$$ $$2\\space304 = 12\\space800 \\cdot h$$ $3)$ Найдем $h{:}$<br />$$h = \\dfrac{2\\space304}{12\\space800} = 0.18$$ Ответ: $0.18.$"]},{"content":"При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 6.4 \\cdot 10^6\\space Па·м^5,$ где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объем газа в $м^3,$ $k = \\dfrac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ будет занимать газ при давлении $p,$ равном $2 \\cdot 10^5\\space Па.$[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$2$","$16$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Подставим известные значения $p = 2 \\cdot 10^5\\space Па$ и $k = \\dfrac{5}{3}{:}$<br />$$(2 \\cdot 10^5) \\cdot V^{\\frac{5}{3}} = 6.4 \\cdot 10^6$$ $2)$ Разделим обе части на $2 \\cdot 10^5{:}$<br />$$V^{\\frac{5}{3}} = \\dfrac{6.4 \\cdot 10^6}{2 \\cdot 10^5} = 3.2 \\cdot 10^{1} = 32$$ $3)$ Возведем обе части в степень $\\dfrac{3}{5}{:}$<br />$$V = 32^{\\frac{3}{5}}$$ $4)$ Представим $32$ как $2^5{:}$<br />$$V = (2^5)^{\\frac{3}{5}} = 2^{3} = 8$$ Ответ: $8.$"]},{"content":"Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30\\space см.$ Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20\\space см$ до $40\\space см,$ а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160\\space см$ до $180\\space см.$ Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\\dfrac{1}{d_1} + \\dfrac{1}{d_2} = \\dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким? Ответ дайте в сантиметрах.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$34$","$40$","$32$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Подставим $f = 30\\space см{:}$<br />$$\\dfrac{1}{d_1} + \\dfrac{1}{d_2} = \\dfrac{1}{30}$$ $2)$ Выразим $\\dfrac{1}{d_1}{:}$<br />$$\\dfrac{1}{d_1} = \\dfrac{1}{30}- \\dfrac{1}{d_2}$$ $3)$ Найдем $d_1{:}$<br />$$d_1 = \\dfrac{1}{\\dfrac{1}{30}- \\dfrac{1}{d_2}} = \\dfrac{1}{\\dfrac{d_2- 30}{30d_2}} = \\dfrac{30d_2}{d_2- 30}$$ $4)$ По условию $d_2$ изменяется от $160\\space см$ до $180\\space см.$ <br /><br />$5)$ Найдем $d_1$ при $d_2 = 160\\space см{:}$<br />$$d_1 = \\dfrac{30 \\cdot 160}{160- 30} = \\dfrac{4\\space800}{130} \\approx 36.92 \\text{ см}$$ $6)$ Найдем $d_1$ при $d_2 = 180\\space см{:}$<br />$$d_1 = \\dfrac{30 \\cdot 180}{180- 30} = \\dfrac{5\\space400}{150} = 36 \\text{ см}$$ $7)$ Наименьшее $d_1$ достигается при наибольшем $d_2 = 180\\space см$ и равно $36\\space см.$<br /><br />$8)$ Проверим, входит ли $36$ см в допустимый диапазон. Да, $36\\space см$ $\\in [20; 40].$<br /><br />Ответ: $36.$"]},{"content":"Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24 \\space м/с$, начал торможение с постоянным ускорением $a = -3 \\space м/с^2.$ За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S = v_0 t + \\dfrac{at^2}{2}.$ Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$4$","$5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Подставим известные значения $S = 90 \\space м$, $v_0 = 24 \\space м/с$, $a = -3 \\space м/с^2{:}$ $$90 = 24t + \\dfrac{(-3)t^2}{2}$$ $2)$ Умножим обе части на $2{:}$ $$180 = 48t- 3t^2$$ $3)$ Перенесем все члены в одну сторону: $$3t^2- 48t + 180 = 0$$ $4)$ Разделим на $3{:}$ $$t^2- 16t + 60 = 0$$ $5)$ Решим квадратное уравнение: $$D = 16^2- 4 \\cdot 1 \\cdot 60 = 256- 240 = 16$$ $$t = \\dfrac{16 \\pm \\sqrt{16}}{2} = \\dfrac{16 \\pm 4}{2}$$ $6)$ Найдем корни: $$t_1 = \\dfrac{16 + 4}{2} = 10, \\quad t_2 = \\dfrac{16- 4}{2} = 6$$ $7)$ Оба корня положительны. Так как автомобиль остановится через $8 \\space с$, время $t = 10 \\space с$ физически невозможно. Следовательно, правильный ответ $t = 6 \\space с$. <br /><br />Ответ: $6.$"]},{"content":"Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P = \\sigma ST^4,$ где $P$ — мощность излучения звезды, $\\sigma = 5.7 \\cdot 10^{-8} \\dfrac{\\text{Вт}}{\\text{м}^2 \\cdot \\text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды, а $T$ — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\\dfrac{1}{2401} \\cdot 10^{22} \\space м^2,$ а мощность ее излучения равна $5.7 \\cdot 10^{26} \\space Вт.$ Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$7\\ 000$","$70\\ 000$","$70$","$700$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Выразим $T^4{:}$ $$T^4 = \\dfrac{P}{\\sigma S}$$ $2)$ Подставим известные значения: $$T^4 = \\dfrac{5.7 \\cdot 10^{26}}{(5.7 \\cdot 10^{-8}) \\cdot \\left( \\dfrac{1}{2\\ 401} \\cdot 10^{22} \\right)}$$ $3)$ Упростим выражение: $$T^4 = \\dfrac{5.7 \\cdot 10^{26}}{5.7 \\cdot 10^{-8} \\cdot \\dfrac{1}{2\\ 401} \\cdot 10^{22}} = \\dfrac{10^{26}}{10^{-8} \\cdot \\dfrac{1}{2\\ 401} \\cdot 10^{22}}$$ $4)$ Сократим степени $10{:}$ $$T^4 = \\dfrac{10^{26}}{10^{14} \\cdot \\dfrac{1}{2\\ 401}} = \\dfrac{10^{12}}{\\dfrac{1}{2\\ 401}} = 10^{12} \\cdot 2\\ 401$$ $5)$ Представим $2\\ 401$ как $7^4{:}$ $$2\\ 401 = 7^4$$ $$T^4 = 10^{12} \\cdot 7^4 = (10^3 \\cdot 7)^4 = (7\\ 000)^4$$ $6)$ Извлечем корень четвертой степени: $$T = 7\\ 000$$ Ответ: $7\\ 000.$"]},{"content":"Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 192 \\space Гц.$ Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ по закону $f(v) = \\dfrac{f_0}{1- \\dfrac{v}{c}},$ где $c = 300 \\space м/с$ — скорость звука. Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $8 \\space Гц.$ Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различать сигналы. Ответ дайте в $м/с.$[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$8$","$10$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем закон для частоты второго гудка: $$f(v) = \\dfrac{f_0}{1- \\dfrac{v}{c}}$$ $2)$ Разность частот должна быть не менее $8 \\space Гц$: $$f(v)- f_0 \\geq 8$$ $3)$ Подставим выражение для $f(v){:}$ $$\\dfrac{f_0}{1- \\dfrac{v}{c}}- f_0 \\geq 8$$ $4)$ Вынесем $f_0$ за скобки: $$f_0 \\left( \\dfrac{1}{1- \\dfrac{v}{c}}- 1 \\right) \\geq 8$$ $5)$ Упростим выражение в скобках: $$\\dfrac{1}{1- \\dfrac{v}{c}}- 1 = \\dfrac{1- (1- \\dfrac{v}{c})}{1- \\dfrac{v}{c}} = \\dfrac{\\dfrac{v}{c}}{1- \\dfrac{v}{c}}$$ $6)$ Подставим обратно: $$f_0 \\cdot \\dfrac{\\dfrac{v}{c}}{1- \\dfrac{v}{c}} \\geq 8$$ $7)$ Подставим числовые значения $f_0 = 192 \\space Гц$, $c = 300 \\space м/с$: $$192 \\cdot \\dfrac{\\dfrac{v}{300}}{1- \\dfrac{v}{300}} \\geq 8$$ $8)$ Упростим: $$\\dfrac{192v}{300} \\cdot \\dfrac{1}{1- \\dfrac{v}{300}} \\geq 8$$ $$\\dfrac{192v}{300- v} \\geq 8$$ $9)$ Умножим обе части на $(300- v){:}$ $$192v \\geq 8(300- v)$$ $$192v \\geq 2400- 8v$$ $$200v \\geq 2400$$ $$v \\geq 12$$ Ответ: $12.$"]},{"content":"Сила тока $I$ в электросети вычисляется по закону Ома: $I = \\dfrac{U}{R},$ где $U$ — напряжение электросети, $R$ — сопротивление подключенного электроприбора. Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает $5 \\space А.$ Определите, какое наименьшее сопротивление может быть у электроприбора, подключенного к электросети с напряжением $220 \\space В,$ чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в Омах.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$44$","$55$","$50$","$40$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ По условию сила тока не должна превышать $5 \\space А$: $$\\dfrac{U}{R} \\leq 5$$ $2)$ Подставим $U = 220 \\space В$: $$\\dfrac{220}{R} \\leq 5$$ $3)$ Умножим обе части на $R{:}$ $$220 \\leq 5R$$ $4)$ Разделим на $5{:}$ $$R \\geq \\dfrac{220}{5} = 44$$ Ответ: $44.$"]},{"content":"В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_1 = 36 \\space Ом.$ Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого $R_2.$ При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R = \\dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.$ Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее $20 \\space Ом.$ Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в Омах.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$45$","$40$","$50$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ По условию $R \\geq 20 \\space Ом$: $$\\dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \\geq 20$$ $2)$ Подставим $R_1 = 36 \\space Ом$: $$\\dfrac{36 R_2}{36 + R_2} \\geq 20$$ $3)$ Умножим обе части на $(36 + R_2){:}$ $$36 R_2 \\geq 20(36 + R_2)$$ $4)$ Раскроем скобки: $$36 R_2 \\geq 720 + 20 R_2$$ $5)$ Перенесем слагаемые: $$36 R_2- 20 R_2 \\geq 720$$ $$16 R_2 \\geq 720$$ $6)$ Разделим на $16{:}$ $$R_2 \\geq \\dfrac{720}{16} = 45$$ Ответ: $45.$"]},{"content":"При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ соответственно, частота звукового сигнала $f,$ регистрируемого приемником, вычисляется по формуле $f = f_0 \\cdot \\dfrac{c + u}{c- v},$ где $f_0 = 160 \\space Гц$ — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде, а $u = 8 \\space м/с$ и $v = 11 \\space м/с$ — скорости источника и приемника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике будет равна $170 \\space Гц?$ Ответ дайте в $м/с.$[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$315$","$300$","$320$","$330$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Подставим известные значения $f = 170 \\space Гц$, $f_0 = 160 \\space Гц$, $u = 8 \\space м/с$, $v = 11 \\space м/с{:}$ $$170 = 160 \\cdot \\dfrac{c + 8}{c- 11}$$ $2)$ Разделим обе части на $160$: $$\\dfrac{170}{160} = \\dfrac{c + 8}{c- 11}$$ $$\\dfrac{17}{16} = \\dfrac{c + 8}{c- 11}$$ $3)$ Умножим обе части на $16(c- 11)$: $$17(c- 11) = 16(c + 8)$$ $4)$ Раскроем скобки: $$17c- 187 = 16c + 128$$ $5)$ Перенесем слагаемые: $$17c- 16c = 128 + 187$$ $$c = 315$$ Ответ: $315.$"]},{"content":"Два тела массой $m = 6 \\space кг$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 9 \\space м/с$ под углом $2\\alpha$ друг к другу. Энергия $Q,$ выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \\sin^2 \\alpha,$ где $m$ — масса, $v$ — скорость. Найдите, под каким углом $2\\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная $243 \\space Дж.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$90$","$60$","$120$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Подставим известные значения $Q = 243 \\space Дж,$ $m = 6 \\space кг,$ $v = 9 \\space м/с{:}$ $$243 = 6 \\cdot 9^2 \\cdot \\sin^2 \\alpha$$ $2)$ Вычислим $9^2 = 81{:}$ $$243 = 6 \\cdot 81 \\cdot \\sin^2 \\alpha$$ $$243 = 486 \\cdot \\sin^2 \\alpha$$ $3)$ Разделим обе части на $486{:}$ $$\\sin^2 \\alpha = \\dfrac{243}{486} = \\dfrac{1}{2}$$ $4)$ Извлечем квадратный корень: $$\\sin \\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$$ $5)$ Найдем угол $\\alpha{:}$ $$\\alpha = 45^\\circ$$ $6)$ Найдем угол между направлениями движения тел: $$2\\alpha = 2 \\cdot 45^\\circ = 90^\\circ$$ Ответ: $90.$"]},{"content":"Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 1.6 + 13t- 5t^2,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $6$ метров?[[fill_choice_big-151]]","widgets":{"fill_choice_big-151":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.8$","$1.4$","$2$","$1.6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем неравенство для высоты не менее $6$ метров: $$1.6 + 13t- 5t^2 \\geq 6$$ $2)$ Перенесем все члены в одну сторону: $$-5t^2 + 13t + 1.6- 6 \\geq 0$$ $$-5t^2 + 13t- 4.4 \\geq 0$$ $3)$ Умножим на $-1,$ поменяв знак неравенства: $$5t^2- 13t + 4.4 \\leq 0$$ $4)$ Решим квадратное уравнение $5t^2- 13t + 4.4 = 0{:}$ $$D = 13^2- 4 \\cdot 5 \\cdot 4.4 = 169- 88 = 81$$ $$t = \\dfrac{13 \\pm \\sqrt{81}}{2 \\cdot 5} = \\dfrac{13 \\pm 9}{10}$$ $5)$ Найдем корни: $$t_1 = \\dfrac{13- 9}{10} = 0.4, \\quad t_2 = \\dfrac{13 + 9}{10} = 2.2$$ $6)$ Неравенство $5t^2- 13t + 4.4 \\leq 0$ выполняется при $t \\in [0.4; 2.2]$ <br /><br />$7)$ Длина интервала: $$2.2- 0.4 = 1.8$$ Ответ: $1.8.$"]},{"content":"В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону $H(t) = at^2 + bt + H_0,$ где $H$ — высота столба воды в метрах, $H_0 = 8 \\space м$ — начальный уровень воды, $a = \\dfrac{1}{72} \\space м/мин^2$ и $b = -\\dfrac{2}{3} \\space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?[[fill_choice_big-258]]","widgets":{"fill_choice_big-258":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$16$","$28$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем закон изменения высоты: $$H(t) = \\dfrac{1}{72}t^2- \\dfrac{2}{3}t + 8$$ $2)$ Вода вытекает до тех пор, пока высота не станет равной $0{:}$ $$\\dfrac{1}{72}t^2- \\dfrac{2}{3}t + 8 = 0$$ $3)$ Умножим обе части на $72{:}$ $$t^2- 48t + 576 = 0$$ $4)$ Решим квадратное уравнение: $$D = 48^2- 4 \\cdot 1 \\cdot 576 = 2304- 2304 = 0$$ $5)$ Уравнение имеет один корень: $$t = \\dfrac{48}{2} = 24$$ Ответ: $24.$"]},{"content":"В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ уменьшается по закону $m = m_0 \\cdot 2^{-\\frac{t}{T}},$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа $156 \\space мг.$ Период его полураспада составляет $8 \\space минут.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $39 \\space мг.$[[fill_choice_big-375]]","widgets":{"fill_choice_big-375":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$24$","$20$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем известные значения: $$m_0 = 156 \\space мг,\\quad T = 8 \\space мин,\\quad m = 39 \\space мг$$ $2)$ Подставим значения в формулу радиоактивного распада: $$39 = 156 \\cdot 2^{-\\frac{t}{8}}$$ $3)$ Разделим обе части уравнения на $156{:}$ $$\\frac{39}{156} = 2^{-\\frac{t}{8}}$$ $4)$ Упростим дробь: $$\\frac{1}{4} = 2^{-\\frac{t}{8}}$$ $5)$ Представим $\\frac{1}{4}$ как степень двойки: $$2^{-2} = 2^{-\\frac{t}{8}}$$ $6)$ Приравняем показатели степеней: $$-2 = -\\dfrac{t}{8}$$ $7)$ Умножим обе части уравнения на $-1{:}$ $$2 = \\dfrac{t}{8}$$ $8)$ Найдем значение $t$: $$t = 2 \\cdot 8 = 16$$ Ответ: через $16$ минут."]},{"content":"Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально получена зависимость температуры от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2,$ где $t$ — время, $T_0 = 1\\ 600 \\space К$, $a = -5 \\space К/мин^2,$ $b = 105 \\space К/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1\\ 870 \\space К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ дайте в минутах.[[fill_choice_big-502]]","widgets":{"fill_choice_big-502":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$25$","$21$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем известные значения и неравенство: $$T_0 = 1\\ 600,\\quad a = -5,\\quad b = 105,\\quad T(t) \\leq 1\\ 870$$ $2)$ Подставим значения в формулу и составим неравенство: $$1\\ 600 + 105t- 5t^2 \\leq 1\\ 870$$ $3)$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$1600 + 105t- 5t^2- 1870 \\leq 0$$ $4)$ Упростим выражение: $$-5t^2 + 105t- 270 \\leq 0$$ $5)$ Разделим неравенство на $-5,$ помня о смене знака неравенства: $$t^2- 21t + 54 \\geq 0$$ $6)$ Решим квадратное уравнение $t^2- 21t + 54 = 0{:}$ $$D = 21^2- 4 \\cdot 1 \\cdot 54 = 441- 216 = 225$$ $$t = \\dfrac{21 \\pm \\sqrt{225}}{2} = \\dfrac{21 \\pm 15}{2}$$ $$t_1 = \\dfrac{21- 15}{2} = 3,\\quad t_2 = \\dfrac{21 + 15}{2} = 18$$ $7)$ Решением неравенства $t^2- 21t + 54 \\geq 0$ являются промежутки: $$t \\leq 3 \\quad \\text{и} \\quad t \\geq 18$$ $8)$ По смыслу задачи нас интересует наибольшее время работы, однако, согласно решенному неравенству, температура элемента достигнет предельного значения при $t=3.$ Это и будет максимальным значением, потому что при дальнейшей работе прибор испортится. <br />Ответ: $3$ минуты."]},{"content":"Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\\varphi = \\omega t + \\dfrac{\\beta t^2}{2},$ где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебедки, $\\omega = 15 \\space град/мин$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\\beta = 6 \\space град/мин^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебедки, если известно, что за это время угол намотки $\\varphi$ достиг $2\\ 250^\\circ.$ Ответ дайте в минутах.[[fill_choice_big-639]]","widgets":{"fill_choice_big-639":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$35$","$30$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем известные значения и уравнение: $$\\omega = 15,\\quad \\beta = 6,\\quad \\varphi = 2\\ 250$$ $2)$ Подставим значения в формулу: $$2\\ 250 = 15t + \\dfrac{6t^2}{2}$$ $3)$ Упростим уравнение: $$2\\ 250 = 15t + 3t^2$$ $4)$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$3t^2 + 15t- 2\\ 250 = 0$$ $5)$ Разделим уравнение на $3{:}$ $$t^2 + 5t- 750 = 0$$ $6)$ Решим квадратное уравнение: $$D = 5^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-750) = 25 + 3\\space000 = 3\\space025$$ $$t = \\dfrac{-5 \\pm \\sqrt{3\\space025}}{2} = \\dfrac{-5 \\pm 55}{2}$$ $7)$ Найдем корни: $$t_1 = \\dfrac{-5- 55}{2} = -30,\\quad t_2 = \\dfrac{-5 + 55}{2} = 25$$ $8)$ Отрицательный корень не имеет физического смысла, поэтому ответ: $$t = 25$$ Ответ: $25$ минут."]},{"content":"К источнику с $ЭДС$ $\\varepsilon = 180 \\space В$ и внутренним сопротивлением $r = 1 \\space Ом$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R.$ Напряжение на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = \\dfrac{\\varepsilon R}{R + r}.$ При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $170 \\space В?$ Ответ дайте в Омах.[[fill_choice_big-321]]","widgets":{"fill_choice_big-321":{"type":"fill_choice_big","options":["$17$","$20$","$18$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем известные значения и уравнение: $$\\varepsilon = 180,\\quad r = 1,\\quad U = 170$$ $2)$ Подставим значения в формулу: $$170 = \\dfrac{180 \\cdot R}{R + 1}$$ $3)$ Умножим обе части уравнения на $(R + 1){:}$ $$170(R + 1) = 180R$$ $4)$ Раскроем скобки: $$170R + 170 = 180R$$ $5)$ Перенесем все слагаемые с $R$ в одну сторону: $$170 = 180R- 170R$$ $6)$ Упростим выражение: $$170 = 10R$$ $7)$ Найдем значение $R{:}$ $$R = \\dfrac{170}{10} = 17$$ Ответ: $17\\space Ом.$"]},{"content":"Водолазный колокол, содержащий $\\nu = 2 \\space моль$ воздуха объемом $V_1 = 120 \\space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2\\space .$ Работа $A,$ совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = \\alpha \\nu T \\log_2 \\dfrac{V_1}{V_2},$ где $\\alpha = 8.7 \\space кДж/(моль·К)$ — постоянная, $T = 300 \\space К$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа $10\\space 440 \\space кДж.$ Ответ дайте в литрах.[[fill_choice_big-1622]]","widgets":{"fill_choice_big-1622":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$25$","$35$","$40$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем известные значения и уравнение: $$\\nu = 2,\\quad V_1 = 120,\\quad \\alpha = 8.7,\\quad T = 300,\\quad A = 10\\space 440$$ $2)$ Подставим значения в формулу: $$10\\space 440 = 8.7 \\cdot 2 \\cdot 300 \\cdot \\log_2 \\dfrac{120}{V_2}$$ $3)$ Вычислим произведение постоянных коэффициентов: $$8.7 \\cdot 2 = 17.4$$ $$17.4 \\cdot 300 = 5\\space 220$$ $4)$ Подставим полученное значение в уравнение: $$10\\space 440 = 5\\space 220 \\cdot \\log_2 \\dfrac{120}{V_2}$$ $5)$ Разделим обе части уравнения на $5\\space 220$: $$\\dfrac{10\\space 440}{5\\space 220} = \\log_2 \\dfrac{120}{V_2}$$ $6)$ Упростим дробь: $$2 = \\log_2 \\dfrac{120}{V_2}$$ $7)$ Перепишем логарифмическое уравнение в показательной форме: $$\\dfrac{120}{V_2} = 2^2$$ $8)$ Вычислим значение степени: $$\\dfrac{120}{V_2} = 4$$ $9)$ Найдем $V_2$: $$V_2 = \\dfrac{120}{4} = 30$$ Ответ: $30$ литров"]},{"content":"К источнику с $ЭДС$ $\\varepsilon = 130 \\space В$ и внутренним сопротивлением $r = 1 \\space Ом$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R.$ Напряжение на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = \\dfrac{\\varepsilon R}{R + r}.$ При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $120 \\space В?$ Ответ дайте в Омах.[[fill_choice_big-1354]]","widgets":{"fill_choice_big-1354":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$10$","$14$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем известные значения и уравнение: $$\\varepsilon = 130,\\quad r = 1,\\quad U = 120$$ $2)$ Подставим значения в формулу: $$120 = \\dfrac{130 \\cdot R}{R + 1}$$ $3)$ Умножим обе части уравнения на $(R + 1)$: $$120(R + 1) = 130R$$ $4)$ Раскроем скобки: $$120R + 120 = 130R$$ $5)$ Перенесем все слагаемые с $R$ в одну сторону: $$120 = 130R- 120R$$ $6)$ Упростим выражение: $$120 = 10R$$ $7)$ Найдем значение $R$: $$R = \\dfrac{120}{10} = 12$$ Ответ: $12$ Ом"]},{"content":"Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $185 \\space МГц.$ Скорость погружения батискафа $v$ вычисляется по формуле $v = c \\cdot \\dfrac{f- f_0}{f + f_0},$ где $c = 1\\space 500 \\space м/с$ — скорость звука в воде, $f_0$ — частота испускаемых импульсов, $f$ — частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником. Определите частоту отраженного сигнала, если скорость погружения батискафа равна $20 \\space м/с.$ Ответ дайте в $МГц.$[[fill_choice_big-1006]]","widgets":{"fill_choice_big-1006":{"type":"fill_choice_big","options":["$190$","$188$","$192$","$195$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем известные значения и уравнение: $$v = 20,\\quad c = 1\\space 500,\\quad f_0 = 185$$ $2)$ Подставим значения в формулу: $$20 = 1\\space 500 \\cdot \\dfrac{f- 185}{f + 185}$$ $3)$ Разделим обе части уравнения на $1\\space 500$: $$\\dfrac{20}{1\\space 500} = \\dfrac{f- 185}{f + 185}$$ $4)$ Упростим дробь: $$\\dfrac{1}{75} = \\dfrac{f- 185}{f + 185}$$ $5)$ Умножим обе части уравнения на $(f + 185)$: $$\\dfrac{f + 185}{75} = f- 185$$ $6)$ Умножим обе части уравнения на $75$: $$f + 185 = 75(f- 185)$$ $7)$ Раскроем скобки: $$f + 185 = 75f- 13\\space 875$$ $8)$ Перенесем все слагаемые с $f$ в одну сторону: $$185 + 13\\space 875 = 75f- f$$ $9)$ Упростим выражение: $$14\\space 060 = 74f$$ $10)$ Найдем значение $f$: $$f = \\dfrac{14\\space 060}{74} = 190$$ Ответ: $190$ МГц"]}]}