Практика к уроку «Текстовые задачи»

{"questions":[{"content":"Имеется два сосуда. Первый содержит $40 \\space кг,$ а второй — $25 \\space кг$ растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $30\\%$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $36\\%$ кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$15$","$20$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим концентрацию кислоты в первом сосуде за $x\\%,$ во втором сосуде за $y\\%.$<br /><br />$2)$ Составим уравнение для первого случая:<br />$$\\dfrac{40x + 25y}{40 + 25} = 30$$<br />$3)$ Упростим уравнение:<br />$$\\dfrac{40x + 25y}{65} = 30$$$$40x + 25y = 1950$$<br />$4)$ Разделим обе части на $5{:}$<br />$$8x + 5y = 390$$<br />$5)$ Составим уравнение для второго случая (смешивание равных масс):<br />$$\\dfrac{x + y}{2} = 36$$<br />$6)$ Упростим уравнение:<br />$$x + y = 72$$<br />$7)$ Выразим $y$ через $x{:}$<br />$$y = 72- x$$<br />$8)$ Подставим в первое уравнение:<br />$$8x + 5(72- x) = 390$$<br />$9)$ Раскроем скобки:<br />$$8x + 360- 5x = 390$$<br />$10)$ Упростим выражение:<br />$$3x + 360 = 390$$<br />$11)$ Перенесем постоянные в правую часть:<br />$$3x = 30$$<br />$12)$ Найдем концентрацию в первом сосуде:<br />$$x = 10$$<br />Ответ: $10\\%.$"]},{"content":"Два велосипедиста одновременно отправились в $140$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $4 \\space км/ч$ большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $4$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$12$","$16$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим скорость первого велосипедиста за $x \\space км/ч,$ тогда скорость второго:<br />$$x- 4 \\space км/ч$$<br />$2)$ Время в пути первого велосипедиста:<br />$$t_1 = \\dfrac{140}{x} \\space ч$$<br />$3)$ Время в пути второго велосипедиста:<br />$$t_2 = \\dfrac{140}{x- 4} \\space ч$$<br />$4)$ Первый прибыл на $4$ часа раньше:<br />$$\\dfrac{140}{x- 4}- \\dfrac{140}{x} = 4$$<br />$5)$ Разделим обе части на $2{:}$<br />$$\\dfrac{70}{x- 4}- \\dfrac{70}{x} = 2$$<br />$6)$ Приведем разность дробей к общему знаменателю:<br />$$70 \\cdot \\dfrac{x- (x- 4)}{x(x- 4)} = 2$$$$70 \\cdot \\dfrac{4}{x(x- 4)} = 2$$<br />$7)$ Упростим выражение:<br />$$\\dfrac{280}{x(x- 4)} = 2$$<br />$8)$ Умножим обе части на $x(x- 4){:}$<br />$$280 = 2x(x- 4)$$<br />$9)$ Разделим обе части на $2{:}$<br />$$140 = x(x- 4)$$<br />$10)$ Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:<br />$$x^2- 4x- 140 = 0$$<br />$11)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = (-4)^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-140) = 16 + 560 = 576$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{576} = 24$$$$x = \\dfrac{4 \\pm 24}{2}$$<br />$12)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{4- 24}{2} = \\dfrac{-20}{2} = -10 \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{4 + 24}{2} = \\dfrac{28}{2} = 14$$<br />Ответ: $14 \\space км/ч$"]},{"content":"Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $500 \\space км.$ Из города $A$ в город $B$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города $B$ выехал со скоростью $80 \\space км/ч$ второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии $260 \\space км$ от города $A.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$65$","$60$","$70$","$75$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Первый автомобиль проехал до встречи $260 \\space км.$<br /><br />$2)$ Второй автомобиль проехал до встречи:<br />$$500- 260 = 240 \\space км$$<br />$3)$ Время движения второго автомобиля:<br />$$t_2 = \\dfrac{240}{80} = 3 \\space часа$$<br />$4)$ Первый автомобиль был в пути на $1$ час дольше:<br />$$t_1 = 3 + 1 = 4 \\space часа$$<br />$5)$ Скорость первого автомобиля:<br />$$v_1 = \\dfrac{260}{4} = 65 \\space км/ч$$<br />Ответ: $65 \\space км/ч$"]},{"content":"Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за $24$ минуты, а одна Настя — за $42$ минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$56$","$48$","$60$","$64$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим производительность Кати за $x$ грядок в минуту, производительность Насти за $y$ грядок в минуту.<br /><br />$2)$ Совместная производительность:<br />$$x + y = \\dfrac{1}{24} \\space грядки/мин$$<br />$3)$ Производительность Насти:<br />$$y = \\dfrac{1}{42} \\space грядки/мин$$<br />$4)$ Подставим значение $y$ в первое уравнение:<br />$$x + \\dfrac{1}{42} = \\dfrac{1}{24}$$<br />$5)$ Перенесем постоянные в правую часть:<br />$$x = \\dfrac{1}{24}- \\dfrac{1}{42}$$<br />$6)$ Приведем дроби к общему знаменателю $168{:}$<br />$$x = \\dfrac{7}{168}- \\dfrac{4}{168} = \\dfrac{3}{168} = \\dfrac{1}{56}$$<br />$7)$ Найдем время работы одной Кати:<br />$$t = \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{1}{\\dfrac{1}{56}} = 56 \\space минут$$<br />Ответ: $56 \\space минут.$"]},{"content":"По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно $85 \\space км/ч$ и $35 \\space км/ч.$ Длина пассажирского поезда равна $250 \\space метрам.$ Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского, равно $30 \\space секундам.$ Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$750$","$700$","$850$","$800$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Переведем скорости в м/с:<br />$$v_1 = 85 \\space км/ч = 85 \\cdot \\dfrac{1\\ 000}{3\\ 600} = \\dfrac{425}{18} \\space м/с$$<br />$$v_2 = 35 \\space км/ч = 35 \\cdot \\dfrac{1\\ 000}{3\\ 600}= \\dfrac{175}{18} \\space м/с$$<br />$2)$ При движении навстречу скорости складываются:<br />$$v = v_1 + v_2 = \\dfrac{425}{18} + \\dfrac{175}{18} = \\dfrac{600}{18} = \\dfrac{100}{3} \\space м/с$$<br />$3)$ Обозначим длину скорого поезда за $L \\space м.$<br /><br />$4)$ Общее расстояние, которое проходят поезда при встрече:<br />$$S = 250 + L \\space м$$<br />$5)$ Время встречи равно $30$ секундам:<br />$$t = \\dfrac{S}{v} = 30$$<br />$6)$ Подставим значения:<br />$$\\dfrac{250 + L}{\\dfrac{100}{3}} = 30$$<br />$7)$ Упростим выражение:<br />$$(250 + L) \\cdot \\dfrac{3}{100} = 30$$<br />$8)$ Умножим обе части на $100{:}$<br />$$3(250 + L) = 3\\ 000$$<br />$9)$ Раскроем скобки:<br />$$750 + 3L = 3\\ 000$$<br />$10)$ Перенесем постоянные в правую часть:<br />$$3L = 3\\ 000- 750 = 2\\ 250$$<br />$11)$ Найдем длину скорого поезда:<br />$$L = \\dfrac{2\\ 250}{3} = 750$$<br />Ответ: $750 \\space метров.$"]},{"content":"Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $192 \\space км.$ Из $A$ по течению реки отправился плот, а через $3$ часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $B,$ тотчас повернула обратно и возвратилась в $A.$ К этому времени плот прошел $92 \\space км.$ Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $4 \\space км/ч.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$18$","$22$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Скорость плота равна скорости течения:<br />$$v_{плота} = 4 \\space км/ч$$<br />$2)$ Время движения плота:<br />$$t_{плота} = \\dfrac{92}{4} = 23 \\space часа$$<br />$3)$ Яхта отправилась на $3$ часа позже плота, значит, время движения яхты:<br />$$t_{яхты} = 23- 3 = 20 \\space часов$$<br />$4)$ Обозначим скорость яхты в неподвижной воде за $x \\space км/ч.$<br /><br />$5)$ Скорость яхты по течению:<br />$$x + 4 \\space км/ч$$<br />$6)$ Скорость яхты против течения:<br />$$x- 4 \\space км/ч$$<br />$7)$ Время движения яхты по течению:<br />$$t_1 = \\dfrac{192}{x + 4} \\space ч$$<br />$8)$ Время движения яхты против течения:<br />$$t_2 = \\dfrac{192}{x- 4} \\space ч$$<br />$9)$ Сумма времени движения яхты равна $20$ часам:<br />$$\\dfrac{192}{x + 4} + \\dfrac{192}{x- 4} = 20$$<br />$10)$ Разделим обе части на $4{:}$<br />$$\\dfrac{48}{x + 4} + \\dfrac{48}{x- 4} = 5$$<br />$11)$ Приведем дроби к общему знаменателю:<br />$$\\dfrac{48(x- 4) + 48(x + 4)}{(x + 4)(x- 4)} = 5$$$$\\dfrac{48x- 192 + 48x + 192}{x^2- 16} = 5$$$$\\dfrac{96x}{x^2- 16} = 5$$<br />$12)$ Умножим обе части на $(x^2- 16){:}$<br />$$96x = 5(x^2- 16)$$<br />$13)$ Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:<br />$$96x = 5x^2- 80$$$$5x^2- 96x- 80 = 0$$<br />$14)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = (-96)^2- 4 \\cdot 5 \\cdot (-80) = 9\\ 216 + 1\\ 600 = 10\\ 816$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{10\\ 816} = 104$$$$x = \\dfrac{96 \\pm 104}{10}$$<br />$15)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{96- 104}{10} = \\dfrac{-8}{10} = -0.8 \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{96 + 104}{10} = \\dfrac{200}{10} = 20$$<br />Ответ: $20 \\space км/ч.$"]},{"content":"Первый насос наполняет бак за $11$ минут, второй — за $15$ минут, а третий — за $1$ час $50$ минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$6$","$7$","$8$"],"placeholder":0,"answer":1}},"hints":["$1)$ Переведем время работы третьего насоса в минуты:<br />$$1 \\space час \\space 50 \\space минут = 60 + 50 = 110 \\space минут$$<br />$2)$ Найдем производительность первого насоса:<br />$$A_1 = \\dfrac{1}{11} \\space бака/мин$$<br />$3)$ Найдем производительность второго насоса:<br />$$A_2 = \\dfrac{1}{15} \\space бака/мин$$<br />$4)$ Найдем производительность третьего насоса:<br />$$A_3 = \\dfrac{1}{110} \\space бака/мин$$<br />$5)$ Найдем общую производительность:<br />$$A = A_1 + A_2 + A_3 = \\dfrac{1}{11} + \\dfrac{1}{15} + \\dfrac{1}{110}$$<br />$6)$ Приведем дроби к общему знаменателю $330{:}$<br />$$A = \\dfrac{30}{330} + \\dfrac{22}{330} + \\dfrac{3}{330} = \\dfrac{55}{330} = \\dfrac{1}{6}$$<br />$7)$ Найдем время наполнения бака при совместной работе:<br />$$t = \\dfrac{1}{A} = \\dfrac{1}{\\dfrac{1}{6}} = 6 \\space минут$$<br />Ответ: $6 \\space минут.$"]},{"content":"Два велосипедиста одновременно отправились в $80$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $2 \\space км/ч$ большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $2$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$6$","$9$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим скорость второго велосипедиста за $x \\space км/ч,$ тогда скорость первого:<br />$$x + 2 \\space км/ч$$<br />$2)$ Время в пути первого велосипедиста:<br />$$t_1 = \\dfrac{80}{x + 2} \\space ч$$<br />$3)$ Время в пути второго велосипедиста:<br />$$t_2 = \\dfrac{80}{x} \\space ч$$<br />$4)$ Первый прибыл на $2$ часа раньше:<br />$$\\dfrac{80}{x}- \\dfrac{80}{x + 2} = 2$$<br />$5)$ Разделим обе части на $2{:}$<br />$$\\dfrac{40}{x}- \\dfrac{40}{x + 2} = 1$$<br />$6)$ Приведем разность дробей к общему знаменателю:<br />$$40 \\cdot \\dfrac{(x + 2)- x}{x(x + 2)} = 1$$$$40 \\cdot \\dfrac{2}{x(x + 2)} = 1$$<br />$7)$ Упростим выражение:<br />$$\\dfrac{80}{x(x + 2)} = 1$$<br />$8)$ Умножим обе части на $x(x + 2){:}$<br />$$80 = x(x + 2)$$<br />$9)$ Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:<br />$$x^2 + 2x- 80 = 0$$<br />$10)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = 2^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-80) = 4 + 320 = 324$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{324} = 18$$$$x = \\dfrac{-2 \\pm 18}{2}$$<br />$11)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{-2- 18}{2} = \\dfrac{-20}{2} = -10 \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{-2 + 18}{2} = \\dfrac{16}{2} = 8$$<br />Ответ: $8 \\space км/ч.$"]},{"content":"Имеется два сплава. Первый сплав содержит $40\\%$ меди, второй — $25\\%$ меди. Масса первого сплава больше массы второго на $10 \\space кг.$ Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $35\\%$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$25$","$25$","$40$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим массы сплавов:<br />$$m_1- \\text{масса первого сплава}$$ $$m_2- \\text{масса второго сплава}$$<br />$2)$ По условию масса первого сплава больше массы второго на $10 \\space кг{:}$<br />$$m_1 = m_2 + 10$$<br />$3)$ Запишем уравнение для содержания меди в третьем сплаве:<br />$$\\dfrac{0.40m_1 + 0.25m_2}{m_1 + m_2} = 0.35$$<br />$4)$ Подставим $m_1 = m_2 + 10$ в уравнение:<br />$$\\dfrac{0.40(m_2 + 10) + 0.25m_2}{m_2 + 10 + m_2} = 0.35$$<br />$5)$ Упростим числитель и знаменатель:<br />$$\\dfrac{0.40m_2 + 4 + 0.25m_2}{2m_2 + 10} = 0.35$$$$\\dfrac{0.65m_2 + 4}{2m_2 + 10} = 0.35$$<br />$6)$ Умножим обе части уравнения на $(2m_2 + 10){:}$<br />$$0.65m_2 + 4 = 0.35(2m_2 + 10)$$<br />$7)$ Раскроем скобки:<br />$$0.65m_2 + 4 = 0.70m_2 + 3.5$$<br />$8)$ Перенесем все слагаемые с $m_2$ в одну сторону:<br />$$4- 3.5 = 0.70m_2- 0.65m_2$$<br />$9)$ Упростим выражение:<br />$$0.5 = 0.05m_2$$<br />$10)$ Найдем массу второго сплава:<br />$$m_2 = \\dfrac{0.5}{0.05} = 10$$<br />$11)$ Найдем массу первого сплава:<br />$$m_1 = 10 + 10 = 20$$<br />$12)$ Найдем массу третьего сплава:<br />$$m_3 = m_1 + m_2 = 20 + 10 = 30$$<br />Ответ: $30 \\space кг.$"]},{"content":"Первая труба пропускает на $6$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом $112$ литров она заполняет на $6$ минут быстрее, чем первая труба?[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$18$","$12$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим производительность второй трубы за $x$ литров в минуту, тогда производительность первой трубы:<br />$$x- 6 \\space л/мин$$<br />$2)$ Время заполнения резервуара второй трубой:<br />$$t_2 = \\dfrac{112}{x} \\space мин$$<br />$3)$ Время заполнения резервуара первой трубой:<br />$$t_1 = \\dfrac{112}{x- 6} \\space мин$$<br />$4)$ Вторая труба заполняет резервуар на $6$ минут быстрее:<br />$$\\dfrac{112}{x- 6}- \\dfrac{112}{x} = 6$$<br />$5)$ Разделим обе части на $2{:}$<br />$$\\dfrac{56}{x- 6}- \\dfrac{56}{x} = 3$$<br />$6)$ Приведем разность дробей к общему знаменателю:<br />$$56 \\cdot \\dfrac{x- (x- 6)}{x(x- 6)} = 3$$$$56 \\cdot \\dfrac{6}{x(x- 6)} = 3$$<br />$7)$ Упростим выражение:<br />$$\\dfrac{336}{x(x- 6)} = 3$$<br />$8)$ Умножим обе части на $x(x- 6){:}$<br />$$336 = 3x(x- 6)$$<br />$9)$ Разделим обе части на $3{:}$<br />$$112 = x(x- 6)$$<br />$10)$ Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:<br />$$x^2- 6x- 112 = 0$$<br />$11)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = (-6)^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-112) = 36 + 448 = 484$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{484} = 22$$$$x = \\dfrac{6 \\pm 22}{2}$$<br />$12)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{6- 22}{2} = \\dfrac{-16}{2} = -8 \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{6 + 22}{2} = \\dfrac{28}{2} = 14$$<br />Ответ: $14$ литров в минуту."]},{"content":"Катер в $10{:}00$ вышел по течению реки из пункта $A$ в пункт $B,$ расположенный в $35 \\space км$ от $A.$ Пробыв в пункте $B$ $4$ часа, катер отправился назад и вернулся в пункт $A$ в $18{:}00$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в $км/ч$), если известно, что скорость течения реки $3 \\space км/ч.$[[fill_choice_big-151]]","widgets":{"fill_choice_big-151":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$12$","$20$","$22$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Общее время в пути с $10:00$ до $18:00$ составляет $8$ часов.<br /><br />$2)$ Время стоянки в пункте $B$ составляет $4$ часа, значит, время движения:<br />$$8- 4 = 4 \\space часа$$<br />$3)$ Обозначим собственную скорость катера за $x \\space км/ч.$<br /><br />$4)$ Скорость по течению:<br />$$x + 3 \\space км/ч$$<br />$5)$ Скорость против течения:<br />$$x- 3 \\space км/ч$$<br />$6)$ Время движения по течению:<br />$$t_1 = \\dfrac{35}{x + 3} \\space ч$$<br />$7)$ Время движения против течения:<br />$$t_2 = \\dfrac{35}{x- 3} \\space ч$$<br />$8)$ Сумма времени движения равна $4$ часам:<br />$$\\dfrac{35}{x + 3} + \\dfrac{35}{x- 3} = 4$$<br />$9)$ Разделим обе части на $1$ и приведем к общему знаменателю:<br />$$\\dfrac{35(x- 3) + 35(x + 3)}{(x + 3)(x- 3)} = 4$$<br />$10)$ Упростим числитель:<br />$$\\dfrac{35x- 105 + 35x + 105}{x^2- 9} = 4$$$$\\dfrac{70x}{x^2- 9} = 4$$<br />$11)$ Умножим обе части на $(x^2- 9){:}$<br />$$70x = 4(x^2- 9)$$<br />$12)$ Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:<br />$$70x = 4x^2- 36$$$$4x^2- 70x- 36 = 0$$<br />$13)$ Разделим уравнение на $2{:}$<br />$$2x^2- 35x- 18 = 0$$<br />$14)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = (-35)^2- 4 \\cdot 2 \\cdot (-18) = 1\\ 225 + 144 = 1\\ 369$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{1\\ 369} = 37$$$$x = \\dfrac{35 \\pm 37}{4}$$<br />$15)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{35- 37}{4} = \\dfrac{-2}{4} = -0.5 \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{35 + 37}{4} = \\dfrac{72}{4} = 18$$<br />Ответ: $18 \\space км/ч.$"]},{"content":"Пристани $A$ и $B$ расположены на озере, расстояние между ними равно $264 \\space км.$ Баржа отправилась с постоянной скоростью из $A$ в $B.$ На следующий день после прибытия она отправилась тем же путем обратно со скоростью на $2 \\space км/ч$ больше прежней, сделав по пути остановку на $1$ час. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B.$ Найдите скорость баржи на пути из $A$ в $B.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-258]]","widgets":{"fill_choice_big-258":{"type":"fill_choice_big","options":["$ 22$","$ 24$","$ 26$","$ 28$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим скорость баржи из $A$ в $B$ за $x \\space км/ч.$<br /><br />$2)$ Скорость баржи из $B$ в $A{:}$<br />$$x + 2 \\space км/ч$$<br />$3)$ Время движения из $A$ в $B{:}$<br />$$t_1 = \\dfrac{264}{x} \\space ч$$<br />$4)$ Время движения из $B$ в $A$ (без учета остановки):<br />$$t_2 = \\dfrac{264}{x + 2} \\space ч$$<br />$5)$ С учетом остановки $1$ час время обратного пути равно времени прямого:<br />$$\\dfrac{264}{x + 2} + 1 = \\dfrac{264}{x}$$<br />$6)$ Перенесем все слагаемые в одну сторону:<br />$$\\dfrac{264}{x + 2}- \\dfrac{264}{x} + 1 = 0$$<br />$7)$ Приведем разность дробей к общему знаменателю:<br />$$264 \\cdot \\dfrac{x- (x + 2)}{x(x + 2)} + 1 = 0$$$$264 \\cdot \\dfrac{-2}{x(x + 2)} + 1 = 0$$$$-\\dfrac{528}{x(x + 2)} + 1 = 0$$<br />$8)$ Перенесем слагаемое:<br />$$1 = \\dfrac{528}{x(x + 2)}$$<br />$9)$ Умножим обе части на $x(x + 2){:}$<br />$$x(x + 2) = 528$$<br />$10)$ Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:<br />$$x^2 + 2x- 528 = 0$$<br />$11)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = 2^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-528) = 4 + 2\\ 112 = 2\\ 116$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{2\\ 116} = 46$$$$x = \\dfrac{-2 \\pm 46}{2}$$<br />$12)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{-2- 46}{2} = \\dfrac{-48}{2} = -24 \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{-2 + 46}{2} = \\dfrac{44}{2} = 22$$<br />Ответ: $22 \\space км/ч.$"]},{"content":"Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $468 \\space км$ и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна $22 \\space км/ч,$ стоянка длится $3 \\space часа,$ а в пункт отправления теплоход возвращается через $47 \\space часов.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-375]]","widgets":{"fill_choice_big-375":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим скорость течения за $x \\space км/ч.$<br /><br />$2)$ Скорость по течению:<br />$$22 + x \\space км/ч$$<br />$3)$ Скорость против течения:<br />$$22- x \\space км/ч$$<br />$4)$ Время движения по течению:<br />$$t_1 = \\dfrac{468}{22 + x} \\space ч$$<br />$5)$ Время движения против течения:<br />$$t_2 = \\dfrac{468}{22- x} \\space ч$$<br />$6)$ Стоянка длится $3 \\space часа,$ общее время $47 \\space часов{:}$<br />$$\\dfrac{468}{22 + x} + \\dfrac{468}{22- x} + 3 = 47$$<br />$7)$ Перенесем постоянные в правую часть:<br />$$\\dfrac{468}{22 + x} + \\dfrac{468}{22- x} = 44$$<br />$8)$ Разделим обе части на $2{:}$<br />$$\\dfrac{234}{22 + x} + \\dfrac{234}{22- x} = 22$$<br />$9)$ Приведем дроби к общему знаменателю:<br />$$\\dfrac{234(22- x) + 234(22 + x)}{(22 + x)(22- x)} = 22$$$$\\dfrac{234 \\cdot 22- 234x + 234 \\cdot 22 + 234x}{484- x^2} = 22$$$$\\dfrac{10\\ 296}{484- x^2} = 22$$<br />$10)$ Умножим обе части на $(484- x^2){:}$<br />$$10\\ 296 = 22(484- x^2)$$<br />$11)$ Разделим обе части на $22{:}$<br />$$468 = 484- x^2$$<br />$12)$ Перенесем все в одну сторону:<br />$$x^2 = 484- 468$$$$x^2 = 16$$<br />$13)$ Найдем скорость течения:<br />$$x = \\sqrt{16} = 4 \\space км/ч$$<br />Ответ: $4 \\space км/ч.$"]},{"content":"Моторная лодка прошла против течения реки $168 \\space км$ и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $2$ часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна $13 \\space км/ч.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-502]]","widgets":{"fill_choice_big-502":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$0.5$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим скорость течения за $x \\space км/ч.$<br /><br />$2)$ Скорость лодки против течения:<br />$$13- x \\space км/ч$$<br />$3)$ Скорость лодки по течению:<br />$$13 + x \\space км/ч$$<br />$4)$ Время движения против течения:<br />$$t_1 = \\dfrac{168}{13- x} \\space ч$$<br />$5)$ Время движения по течению:<br />$$t_2 = \\dfrac{168}{13 + x} \\space ч$$<br />$6)$ На обратный путь затрачено на $2$ часа меньше:<br />$$\\dfrac{168}{13- x}- \\dfrac{168}{13 + x} = 2$$<br />$7)$ Разделим обе части на $2{:}$<br />$$\\dfrac{84}{13- x}- \\dfrac{84}{13 + x} = 1$$<br />$8)$ Приведем разность дробей к общему знаменателю:<br />$$84 \\cdot \\dfrac{(13 + x)- (13- x)}{(13- x)(13 + x)} = 1$$$$84 \\cdot \\dfrac{13 + x- 13 + x}{169- x^2} = 1$$$$84 \\cdot \\dfrac{2x}{169- x^2} = 1$$<br />$9)$ Упростим выражение:<br />$$\\dfrac{168x}{169- x^2} = 1$$<br />$10)$ Умножим обе части на $(169- x^2){:}$<br />$$168x = 169- x^2$$<br />$11)$ Перенесем все в одну сторону:<br />$$x^2 + 168x- 169 = 0$$<br />$12)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = 168^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-169) = 28\\ 224 + 676 = 28\\ 900$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{28\\ 900} = 170$$$$x = \\dfrac{-168 \\pm 170}{2}$$<br />$13)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{-168- 170}{2} = \\dfrac{-338}{2} = -169 \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{-168 + 170}{2} = \\dfrac{2}{2} = 1$$<br />Ответ: $1 \\space км/ч.$"]},{"content":"Заказ на изготовление $198$ деталей первый рабочий выполняет на $7$ часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на $7$ деталей больше второго?[[fill_choice_big-639]]","widgets":{"fill_choice_big-639":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$14$","$16$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим производительность первого рабочего за $x$ деталей в час, тогда производительность второго рабочего:<br />$$x- 7 \\space деталей/ч$$<br />$2)$ Время выполнения заказа первым рабочим:<br />$$t_1 = \\dfrac{198}{x} \\space ч$$<br />$3)$ Время выполнения заказа вторым рабочим:<br />$$t_2 = \\dfrac{198}{x- 7} \\space ч$$<br />$4)$ Первый рабочий выполняет заказ на $7$ часов быстрее:<br />$$\\dfrac{198}{x- 7}- \\dfrac{198}{x} = 7$$<br />$5)$ Разделим обе части на $1$ и вынесем общий множитель:<br />$$198\\left(\\dfrac{1}{x- 7}- \\dfrac{1}{x}\\right) = 7$$<br />$6)$ Приведем разность дробей к общему знаменателю:<br />$$198 \\cdot \\dfrac{x- (x- 7)}{x(x- 7)} = 7$$$$198 \\cdot \\dfrac{7}{x(x- 7)} = 7$$<br />$7)$ Сократим обе части на $7{:}$<br />$$198 \\cdot \\dfrac{1}{x(x- 7)} = 1$$<br />$8)$ Умножим обе части на $x(x- 7){:}$<br />$$198 = x(x- 7)$$<br />$9)$ Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:<br />$$x^2- 7x- 198 = 0$$<br />$10)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = (-7)^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-198) = 49 + 792 = 841$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{841} = 29$$$$x = \\dfrac{7 \\pm 29}{2}$$<br />$11)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{7- 29}{2} = \\dfrac{-22}{2} = -11 \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{7 + 29}{2} = \\dfrac{36}{2} = 18$$<br />Ответ: $18$ деталей в час."]},{"content":"Первые $120 \\space км$ автомобиль ехал со скоростью $60 \\space км/ч,$ следующие $200 \\space км$ — со скоростью $100 \\space км/ч,$ а затем $160 \\space км$ — со скоростью $120 \\space км/ч.$ Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-106]]","widgets":{"fill_choice_big-106":{"type":"fill_choice_big","options":["$90$","$85$","$95$","$100$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем время на первом участке:<br />$$t_1 = \\dfrac{120}{60} = 2 \\space ч$$<br />$2)$ Найдем время на втором участке:<br />$$t_2 = \\dfrac{200}{100} = 2 \\space ч$$<br />$3)$ Найдем время на третьем участке:<br />$$t_3 = \\dfrac{160}{120} = \\dfrac{4}{3} \\space ч$$<br />$4)$ Найдем общее расстояние:<br />$$S = 120 + 200 + 160 = 480 \\space км$$<br />$5)$ Найдем общее время:<br />$$t = 2 + 2 + \\dfrac{4}{3} = 4 + \\dfrac{4}{3} = \\dfrac{12}{3} + \\dfrac{4}{3} = \\dfrac{16}{3} \\space ч$$<br />$6)$ Найдем среднюю скорость:<br />$$v_{ср} = \\dfrac{S}{t} = \\dfrac{480}{\\dfrac{16}{3}} = 480 \\cdot \\dfrac{3}{16} = 30 \\cdot 3 = 90 \\space км/ч$$<br />Ответ: $90 \\space км/ч.$"]},{"content":"Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна $27 \\space км/ч,$ проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна $1 \\space км/ч,$ стоянка длится $5 \\space часов,$ а в исходный пункт теплоход возвращается через $32 \\space часа$ после отправления из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?[[fill_choice_big-259]]","widgets":{"fill_choice_big-259":{"type":"fill_choice_big","options":["$728$","$745$","$750$","$700$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим расстояние в одну сторону за $S \\space км.$<br /><br />$2)$ Скорость по течению:<br />$$27 + 1 = 28 \\space км/ч$$<br />$3)$ Скорость против течения:<br />$$27- 1 = 26 \\space км/ч$$<br />$4)$ Время движения по течению:<br />$$t_1 = \\dfrac{S}{28} \\space ч$$<br />$5)$ Время движения против течения:<br />$$t_2 = \\dfrac{S}{26} \\space ч$$<br />$6)$ Стоянка длится $5 \\space часов,$ общее время $32 \\space часа{:}$<br />$$\\dfrac{S}{28} + \\dfrac{S}{26} + 5 = 32$$<br />$7)$ Перенесем постоянные в правую часть:<br />$$\\dfrac{S}{28} + \\dfrac{S}{26} = 27$$<br />$8)$ Приведем дроби к общему знаменателю $364{:}$<br />$$\\dfrac{13S}{364} + \\dfrac{14S}{364} = 27$$$$\\dfrac{27S}{364} = 27$$<br />$9)$ Умножим обе части на $364{:}$<br />$$27S = 27 \\cdot 364$$<br />$10)$ Найдем расстояние в одну сторону:<br />$$S = 364 \\space км$$<br />$11)$ Найдем общее расстояние за весь рейс (туда и обратно):<br />$$S_{общ} = 2S = 2 \\cdot 364 = 728 \\space км$$<br />Ответ: $728 \\space км.$"]},{"content":"Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $80 \\space км$ и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $2 \\space км/ч,$ стоянка длится $4 \\space часа,$ а в пункт отправления теплоход возвращается через $13 \\space часов.$ Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-408]]","widgets":{"fill_choice_big-408":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$16$","$20$","$22$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде за $x \\space км/ч.$<br /><br />$2)$ Скорость по течению:<br />$$x + 2 \\space км/ч$$<br />$3)$ Скорость против течения:<br />$$x- 2 \\space км/ч$$<br />$4)$ Время движения по течению:<br />$$t_1 = \\dfrac{80}{x + 2} \\space ч$$<br />$5)$ Время движения против течения:<br />$$t_2 = \\dfrac{80}{x- 2} \\space ч$$<br />$6)$ Стоянка длится $4 \\space часа,$ общее время $13 \\space часов{:}$<br />$$\\dfrac{80}{x + 2} + \\dfrac{80}{x- 2} + 4 = 13$$<br />$7)$ Перенесем постоянные в правую часть:<br />$$\\dfrac{80}{x + 2} + \\dfrac{80}{x- 2} = 9$$<br />$8)$ Разделим обе части на $1$ и приведем к общему знаменателю:<br />$$\\dfrac{80(x- 2) + 80(x + 2)}{(x + 2)(x- 2)} = 9$$<br />$9)$ Упростим числитель:<br />$$\\dfrac{80x- 160 + 80x + 160}{x^2- 4} = 9$$$$\\dfrac{160x}{x^2- 4} = 9$$<br />$10)$ Умножим обе части на $(x^2- 4){:}$<br />$$160x = 9(x^2- 4)$$<br />$11)$ Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:<br />$$160x = 9x^2- 36$$$$9x^2- 160x- 36 = 0$$<br />$12)$ Решим квадратное уравнение:<br />$$D = 160^2- 4 \\cdot 9 \\cdot (-36) = 25\\ 600 + 1\\ 296 = 26\\ 896$$$$\\sqrt{D} = \\sqrt{26\\ 896} = 164$$$$x = \\dfrac{160 \\pm 164}{18}$$<br />$13)$ Найдем корни:<br />$$x_1 = \\dfrac{160- 164}{18} = -\\dfrac{4}{18} = -\\dfrac{2}{9} \\quad (\\text{не подходит})$$$$x_2 = \\dfrac{160 + 164}{18} = \\dfrac{324}{18} = 18$$<br />Ответ: $18 \\space км/ч.$"]},{"content":"Один мастер может выполнить заказ за $40 \\space часов,$ а другой — за $24 \\space часа.$ За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?[[fill_choice_big-584]]","widgets":{"fill_choice_big-584":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$20$","$18$","$22$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем производительность первого мастера:<br />$$A_1 = \\dfrac{1}{40} \\space заказа/ч$$<br />$2)$ Найдем производительность второго мастера:<br />$$A_2 = \\dfrac{1}{24} \\space заказа/ч$$<br />$3)$ Найдем общую производительность:<br />$$A = A_1 + A_2 = \\dfrac{1}{40} + \\dfrac{1}{24}$$<br />$4)$ Приведем дроби к общему знаменателю $120{:}$<br />$$A = \\dfrac{3}{120} + \\dfrac{5}{120} = \\dfrac{8}{120} = \\dfrac{1}{15}$$<br />$5)$ Найдем время выполнения заказа при совместной работе:<br />$$t = \\dfrac{1}{A} = \\dfrac{1}{\\dfrac{1}{15}} = 15 \\space часов$$<br />Ответ: $15 \\space часов.$"]},{"content":"Первый час автомобиль ехал со скоростью $115 \\space км/ч,$ следующие три часа — со скоростью $45 \\space км/ч,$ а затем два часа — со скоростью $40 \\space км/ч.$ Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в $км/ч.$[[fill_choice_big-770]]","widgets":{"fill_choice_big-770":{"type":"fill_choice_big","options":["$55$","$60$","$65$","$70$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем расстояние, пройденное на первом участке:<br />$$S_1 = 115 \\cdot 1 = 115 \\space км$$<br />$2)$ Найдем расстояние, пройденное на втором участке:<br />$$S_2 = 45 \\cdot 3 = 135 \\space км$$<br />$3)$ Найдем расстояние, пройденное на третьем участке:<br />$$S_3 = 40 \\cdot 2 = 80 \\space км$$<br />$4)$ Найдем общее расстояние:<br />$$S = S_1 + S_2 + S_3 = 115 + 135 + 80 = 330 \\space км$$<br />$5)$ Найдем общее время в пути:<br />$$t = 1 + 3 + 2 = 6 \\space ч$$<br />$6)$ Найдем среднюю скорость:<br />$$v_{ср} = \\dfrac{S}{t} = \\dfrac{330}{6} = 55 \\space км/ч$$<br />Ответ: $55 \\space км/ч.$"]},{"content":"Имеется два сплава. Первый сплав содержит $45\\%$ меди, второй — $20\\%$ меди. Масса первого сплава больше массы второго на $30 \\space кг.$ Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $40\\%$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-968]]","widgets":{"fill_choice_big-968":{"type":"fill_choice_big","options":["$50$","$45$","$40$","$55$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Обозначим массы сплавов:<br />$$m_1- \\text{масса первого сплава}$$ $$m_2- \\text{масса второго сплава}$$<br />$2)$ По условию масса первого сплава больше массы второго на $30 \\space кг{:}$<br />$$m_1 = m_2 + 30$$<br />$3)$ Запишем уравнение для содержания меди в третьем сплаве:<br />$$\\dfrac{0.45m_1 + 0.20m_2}{m_1 + m_2} = 0.40$$<br />$4)$ Подставим $m_1 = m_2 + 30$ в уравнение:<br />$$\\dfrac{0.45(m_2 + 30) + 0.20m_2}{m_2 + 30 + m_2} = 0.40$$<br />$5)$ Упростим числитель и знаменатель:<br />$$\\dfrac{0.45m_2 + 13.5 + 0.20m_2}{2m_2 + 30} = 0.40$$$$\\dfrac{0.65m_2 + 13.5}{2m_2 + 30} = 0.40$$<br />$6)$ Умножим обе части уравнения на $(2m_2 + 30){:}$<br />$$0.65m_2 + 13.5 = 0.40(2m_2 + 30)$$<br />$7)$ Раскроем скобки:<br />$$0.65m_2 + 13.5 = 0.80m_2 + 12$$<br />$8)$ Перенесем все слагаемые с $m_2$ в одну сторону:<br />$$13.5- 12 = 0.80m_2- 0.65m_2$$<br />$9)$ Упростим выражение:<br />$$1.5 = 0.15m_2$$<br />$10)$ Найдем массу второго сплава:<br />$$m_2 = \\dfrac{1.5}{0.15} = 10$$<br />$11)$ Найдем массу первого сплава:<br />$$m_1 = 10 + 30 = 40$$<br />$12)$ Найдем массу третьего сплава:<br />$$m_3 = m_1 + m_2 = 40 + 10 = 50$$<br />Ответ: $50 \\space кг.$"]}]}