Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат двучлена $a+b$ это то же самое, что и умножение двучлена $a+b$ на самого себя:

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$

Давайте попробуем полностью произвести это умножение:

$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{lightblue}{b})(\textcolor{darkgreen}{a}+\textcolor{green}{b})=\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{a}+\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{green}{b}+\textcolor{lightblue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{a} +\textcolor{lightblue}{b}\cdot \textcolor{green}{b}=a^2 +ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

Сделаем то же самое, но уже для квадрата двучлена $a-b$:

$(\textcolor{blue}{a}-\textcolor{lightblue}{b})(\textcolor{darkgreen}{a}-\textcolor{green}{b})=\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{a}-\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{green}{b}-\textcolor{lightblue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{a} +\textcolor{lightblue}{b}\cdot \textcolor{green}{b}=a^2 -ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

Из этого мы можем вывести две формулы:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Для этих формул предусмотрены специальные названия: квадрат суммы и квадрат разности.

Устно эти формулы выражаются следующим образом:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение.

Квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение.

Рассмотрим применение этих формул на примерах. Для того чтобы раскрыть скобки в выражениях $(4x+3)^2\space$ и $\space(3a^3-2b^2)^2$, представим что в первом выражении $a=4x, b=3$, а во втором выражении $a=3a^3, b=2b^2$. Воспользуемся формулами:

$(4x+3)^2=(4x)^2+2\cdot 4x\cdot 3 + 3^2=16x^2+24x+9$

$(3a^3-2b^2)^2=(3a^3)^2-2\cdot 3a^3\cdot 2b^2+(2b^2)^2=9a^6-12a^3b^2+4b^4$

Имейте в виду, что так как $(-a)^2=a^2$, рекомендуем при использовании формул квадрата суммы и квадрата разности держать в голове то, что:

$(-a-b)^2=(a+b)^2$
$(b-a)^2=(a-b)^2$

{"questions":[{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(6-a)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$36-12a+a^2$","$36+12a+a^2$","$a^2-12a-36$","$36+12a-a^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой квадрата разности:<br />$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$","$(6-a)^2=6^2-2\\cdot 6\\cdot a + a^2=36-12a+a^2$"]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(8+b)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$64+16b+b^2$","$16+64b+b^2$","$64+8b^2+2b$","$64-16b+b^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой квадрата суммы:<br />$(a+b)^2=a^2-2ab+b^2$","$(8+b)^2=8^2+2\\cdot 8\\cdot b +b^2=64+16b+b^2$"]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-12-a)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$144+24a+a^2$","$-144-24a-a^2$","$144+12a+a^2$","$a^2-24a-144$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Так как $(-a-b)^2=(a+b)^2$, то вы можете воспользоваться формулой квадрата суммы:<br />$(a+b)^2=a^2-2ab+b^2$","$(-12-a)^2=(12+a)^2=12^2+2\\cdot 12 \\cdot a + a^2=144+24a+a^2$"]}]}