Калькулятор логарифмов

Для быстрого вычисления логарифмов используйте онлайн-калькулятор для нахождения его корней. Как пользоваться:

1. В поле ввода текста задайте значение основания логарифма и число под логарифмом $b$.
2. Нажмите кнопку «Рассчитать».
3. Результат отобразится под кнопкой.
4. Если введены буква, символ или основание не является положительным числом, выдается сообщение «Некорректное число» или «Основание должно быть больше нуля».

Полезная теория

Логарифм — это способ ответить на вопрос: «В какую степень нужно возвести одно число, чтобы получить другое?» Например, запись $\log_2 8 = 3$ означает, что число $2$ нужно возвести в степень $3$, чтобы получить $8$, потому что $2^3 = 8$.

Общая запись выглядит так: $\log_a b = x$. Она означает то же самое, что и $a^x = b$. Здесь $a$ — основание логарифма, $b$ — число под логарифмом, а $x$ — значение логарифма.

Основание логарифма должно быть положительным и не равно $1$: $a > 0$, $a \ne 1$. Число под логарифмом тоже должно быть положительным: $b > 0$. Поэтому выражения вроде $\log_2 0$ или $\log_3(-9)$ в школьной математике не имеют смысла.

Как вычислить логарифм?

Проще всего вычислять логарифмы, если число под логарифмом легко представить как степень основания. Например, $\log_3 27 = 3$, потому что $27 = 3^3$. По той же причине $\log_5 25 = 2$, так как $25 = 5^2$, а $\log_2 \frac{1}{8} = -3$, потому что $\frac{1}{8} = 2^{-3}$.

Есть несколько важных свойств логарифмов. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$. Логарифм частного равен разности: $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$. Логарифм степени позволяет вынести показатель степени перед логарифмом: $\log_a x^n = n\log_a x$.

Особенно полезно помнить простые случаи. Для любого допустимого основания $a$ верно: $\log_a a = 1$, потому что $a^1 = a$. Также $\log_a 1 = 0$, потому что $a^0 = 1$.

Например, вычислим $\log_2 32$. Нужно понять, в какую степень возвести $2$, чтобы получить $32$. Так как $32 = 2^5$, то $\log_2 32 = 5$.

Другой пример: $\log_3 81 = 4$, потому что $81 = 3^4$. А если нужно вычислить $\log_{10} 1000$, получаем $3$, потому что $1000 = 10^3$.

Если логарифм нельзя вычислить точно устно, используют калькулятор или переход к другому основанию. Формула перехода такая: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Чаще всего на калькуляторе используют десятичный логарифм $\log$ или натуральный логарифм $\ln$.