17. Простейшие уравнения: Логарифмические уравнения

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$2x + 7 = 17$$ $$2x = 10$$ $$x=5$$

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$4x — 3 = 13$$ $$4x = 16$$ $$x = 4$$

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$x^2-5x + 6 = x-2$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$x^2-6x + 8 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2-4ac = (-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 -32 = 4$$ $$\sqrt{D} = 2$$ Корни уравнения: $$x = \dfrac{6 \pm 2}{2}$$ $$x = 4 \quad \text{или} \quad x = 2$$

Проверим, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

$1.$ Для $x = 4$: $$x^2-5x + 6 = 16-20 + 6 = 2 > 0$$ $$x-2 = 4-2 = 2 > 0$$ Корень $x = 4$ подходит.

$2.$ Для $x = 2$: $$x^2-5x + 6 = 4-10 + 6 = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля.

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$x^2-4x = x$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$x^2-5x = 0$$ Вынесем общий множитель: $$x(x -5) = 0$$ Корни уравнения: $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5$$

Проверим, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

$1.$ Для $x = 0$: $$x^2-4x = 0-0 = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля. $$x = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля.

$2.$ Для $x = 5$: $$x^2-4x = 25-20 = 5 > 0$$ $$x = 5 > 0$$
Корень $x = 5$ подходит.

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма: $$\log_{5}(x + 2) + \log_{5}4 = \log_{5}((x + 2) \cdot 4) = \log_{5}(4x + 8)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\log_{5}(4x + 8) = \log_{5}20$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$4x + 8 = 20$$ $$4x = 12$$ $$x = 3$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{4}(x-1)-\log_{4}2 = \log_{4}\left(\frac{x-1}{2}\right)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\log_{4}\left(\frac{x-1}{2}\right) = \log_{4}6$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$\frac{x-1}{2} = 6$$ $$x-1 = 12$$ $$x = 13$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{3}\left(\frac{2x + 1}{x-2}\right) = 1$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$\frac{2x + 1}{x-2} = 3^1$$ $$\frac{2x + 1}{x-2} = 3$$ Решим уравнение: $$2x + 1 = 3(x-2)$$ $$2x + 1 = 3x-6$$ $$-x = -7$$ $$x = 7$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{2}\left(\frac{x^2-4}{x + 2}\right) = 3$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$\frac{x^2-4}{x + 2} = 2^3$$ $$\frac{x^2-4}{x + 2} = 8$$ Упростим выражение в числителе: $$x^2-4 = (x-2)(x + 2)$$ Тогда уравнение примет вид: $$\frac{(x-2)(x + 2)}{x + 2} = 8$$ Сократим на $(x + 2)$ (при условии $x \neq -2$): $$x-2 = 8$$ $$x = 10$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{5}\left(\frac{x + 4}{2}\right) = 1$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$\frac{x + 4}{2} = 5^1$$ $$\frac{x + 4}{2} = 5$$ Решим уравнение: $$x + 4 = 10$$ $$x = 6$$

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма: $$\log_{2}((3x-1) \cdot 4) = 3$$ $$\log_{2}(12x-4) = 3$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$12x-4 = 2^3$$ $$12x-4 = 8$$ Решим уравнение: $$12x = 12$$ $$x = 1$$

Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$5^2 = 4x + 7$$ $$25 = 4x + 7$$ $$4x = 18$$ $$x = 4.5$$

Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$2^2 = x^2-6x + 9$$ $$4 = x^2-6x + 9$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$x^2-6x + 5 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2-4ac = (-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 5 = 36-20 = 16$$ $$\sqrt{D} = 4$$ Корни уравнения: $$x = \dfrac{6 \pm 4}{2}$$ $$x = 5 \quad \text{или} \quad x = 1$$ Меньший из корней равен $1$, его и запишем в ответ.

Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$2^3 = 3x-1$$ $$8 = 3x-1$$ $$3x = 9$$ $$x = 3$$

Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$3^2=2x-5$$ $$9=2x-5$$ $$2x=14$$ $$x=7$$

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$3x-19=11$$ $$3x=30$$ $$x=10$$

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма: $$\log_{3}(x-3)+\log_{3}2=\log{3}((x-3)\cdot 2)=\log_{3}(2x-6)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\log_{3}(2x-6)=\log_{3}10$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$2x-6=10$$ $$2x=16$$ $$x=8$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{3}(2x+4)-\log_{3}2=\log{3}((2x+4): 2)=\log_{3}(x+2)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\log_{3}(x+2)=\log_{3}5$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$x+2=5$$ $$x=3$$