17. Простейшие уравнения: Иррациональные уравнения

Приведем степени к одинаковому основанию: $$ 8 = 2^3$$ $$2^{x^2-4} = (2^3)^{x}$$ $$2^{x^2-4} = 2^{3x}$$ Приравняем показатели: $$x^2-4 = 3x$$ $$x^2-3x-4 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 9 + 16 = 25 $$ $$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$ $$ x_2 = \frac{3-5}{2} = -1 $$Найдем произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-1) = -4$$

Приведем степени к основанию $3{:}$ $$9 = 3^2$$ $$27 = 3^3$$ $$(3^2)^{x-1} = (3^3)^{2x} $$ $$3^{2x-2} = 3^{6x}$$Приравняем показатели: $$2x-2 = 6x$$ $$ -4x = 2$$ $$ x = -\frac{1}{2}=-0.5$$

Приведем степени к основанию $3{:}$ $$\frac{1}{9} = 3^{-2}$$ $$ 81 = 3^4$$ $$(3^{-2})^{2x-1} = 3^4$$ $$3^{-4x + 2} = 3^4$$ Приравняем показатели: $$-4x + 2 = 4$$ $$-4x = 2$$ $$x = -\frac{1}{2}=-0.5$$

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корня: $$\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3 = \left(\frac{1}{5}\right)^3$$ $$\frac{1}{x} = \frac{1}{125}$$Решим полученное уравнение: $$x = 125$$

Перенесем число в правую часть: $$\sqrt{5x + 11} = 6$$Возведем обе части в квадрат: $$5x + 11 = 36$$Решим линейное уравнение: $$5x = 25$$ $$x = 5$$

Перенесем число в правую часть: $$\sqrt{9-2x} = 3$$Возведем обе части в квадрат: $$9-2x = 9$$Решим линейное уравнение: $$-2x = 0$$ $$x = 0$$

Перенесем число в правую часть: $$\sqrt{3x-8} = 4$$ Возведем обе части в квадрат: $$3x-8 = 16$$Решим линейное уравнение: $$3x = 24$$ $$x = 8$$

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма: $$\log_{2}(x-1) + \log_{2}3 = \log_{2}((x-1) \cdot 3) = \log_{2}(3x-3)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\log_{2}(3x-3) = \log_{2}15$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$3x-3 = 15$$ $$3x = 18$$ $$x = 6$$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4$$ $$\frac{1}{x} = \frac{1}{16}$$Решим полученное уравнение: $$x = 16$$