17. Простейшие уравнения: все задания

Если степени с одинаковыми основаниями равны, то и их показатели равны. Решим уравнение: $$3x + 2 = x-4$$ $$3x-x = -4-2$$ $$2x = -6$$ $$x = -3$$

Так как основания степеней одинаковы, приравниваем показатели: $$x + 2 = 5$$ $$x = 3$$

Приведем степени к одинаковому основанию: $$ 8 = 2^3$$ $$2^{x^2-4} = (2^3)^{x}$$ $$2^{x^2-4} = 2^{3x}$$ Приравняем показатели: $$x^2-4 = 3x$$ $$x^2-3x-4 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 9 + 16 = 25 $$ $$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$ $$ x_2 = \frac{3-5}{2} = -1 $$Найдем произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-1) = -4$$

Приведем степени к основанию $3{:}$ $$9 = 3^2$$ $$27 = 3^3$$ $$(3^2)^{x-1} = (3^3)^{2x} $$ $$3^{2x-2} = 3^{6x}$$Приравняем показатели: $$2x-2 = 6x$$ $$ -4x = 2$$ $$ x = -\frac{1}{2}=-0.5$$

Приведем степени к основанию $3{:}$ $$\frac{1}{9} = 3^{-2}$$ $$ 81 = 3^4$$ $$(3^{-2})^{2x-1} = 3^4$$ $$3^{-4x + 2} = 3^4$$ Приравняем показатели: $$-4x + 2 = 4$$ $$-4x = 2$$ $$x = -\frac{1}{2}=-0.5$$

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корня: $$\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3 = \left(\frac{1}{5}\right)^3$$ $$\frac{1}{x} = \frac{1}{125}$$Решим полученное уравнение: $$x = 125$$

Перенесем число в правую часть: $$\sqrt{5x + 11} = 6$$Возведем обе части в квадрат: $$5x + 11 = 36$$Решим линейное уравнение: $$5x = 25$$ $$x = 5$$

Перенесем число в правую часть: $$\sqrt{9-2x} = 3$$Возведем обе части в квадрат: $$9-2x = 9$$Решим линейное уравнение: $$-2x = 0$$ $$x = 0$$

Перенесем число в правую часть: $$\sqrt{3x-8} = 4$$ Возведем обе части в квадрат: $$3x-8 = 16$$Решим линейное уравнение: $$3x = 24$$ $$x = 8$$

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$2x + 7 = 17$$ $$2x = 10$$ $$x=5$$

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$4x — 3 = 13$$ $$4x = 16$$ $$x = 4$$

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$x^2-5x + 6 = x-2$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$x^2-6x + 8 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2-4ac = (-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 -32 = 4$$ $$\sqrt{D} = 2$$ Корни уравнения: $$x = \dfrac{6 \pm 2}{2}$$ $$x = 4 \quad \text{или} \quad x = 2$$

Проверим, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

$1.$ Для $x = 4$: $$x^2-5x + 6 = 16-20 + 6 = 2 > 0$$ $$x-2 = 4-2 = 2 > 0$$ Корень $x = 4$ подходит.

$2.$ Для $x = 2$: $$x^2-5x + 6 = 4-10 + 6 = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля.

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$x^2-4x = x$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$x^2-5x = 0$$ Вынесем общий множитель: $$x(x -5) = 0$$ Корни уравнения: $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5$$

Проверим, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

$1.$ Для $x = 0$: $$x^2-4x = 0-0 = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля. $$x = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля.

$2.$ Для $x = 5$: $$x^2-4x = 25-20 = 5 > 0$$ $$x = 5 > 0$$
Корень $x = 5$ подходит.

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма: $$\log_{2}(x-1) + \log_{2}3 = \log_{2}((x-1) \cdot 3) = \log_{2}(3x-3)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\log_{2}(3x-3) = \log_{2}15$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$3x-3 = 15$$ $$3x = 18$$ $$x = 6$$

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма: $$\log_{5}(x + 2) + \log_{5}4 = \log_{5}((x + 2) \cdot 4) = \log_{5}(4x + 8)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\log_{5}(4x + 8) = \log_{5}20$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$4x + 8 = 20$$ $$4x = 12$$ $$x = 3$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{4}(x-1)-\log_{4}2 = \log_{4}\left(\frac{x-1}{2}\right)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\log_{4}\left(\frac{x-1}{2}\right) = \log_{4}6$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$\frac{x-1}{2} = 6$$ $$x-1 = 12$$ $$x = 13$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{3}\left(\frac{2x + 1}{x-2}\right) = 1$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$\frac{2x + 1}{x-2} = 3^1$$ $$\frac{2x + 1}{x-2} = 3$$ Решим уравнение: $$2x + 1 = 3(x-2)$$ $$2x + 1 = 3x-6$$ $$-x = -7$$ $$x = 7$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{2}\left(\frac{x^2-4}{x + 2}\right) = 3$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$\frac{x^2-4}{x + 2} = 2^3$$ $$\frac{x^2-4}{x + 2} = 8$$ Упростим выражение в числителе: $$x^2-4 = (x-2)(x + 2)$$ Тогда уравнение примет вид: $$\frac{(x-2)(x + 2)}{x + 2} = 8$$ Сократим на $(x + 2)$ (при условии $x \neq -2$): $$x-2 = 8$$ $$x = 10$$

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{5}\left(\frac{x + 4}{2}\right) = 1$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$\frac{x + 4}{2} = 5^1$$ $$\frac{x + 4}{2} = 5$$ Решим уравнение: $$x + 4 = 10$$ $$x = 6$$

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма: $$\log_{2}((3x-1) \cdot 4) = 3$$ $$\log_{2}(12x-4) = 3$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$12x-4 = 2^3$$ $$12x-4 = 8$$ Решим уравнение: $$12x = 12$$ $$x = 1$$