16. Вычисления и преобразования: все задания

Найдем значение внутреннего логарифма: $$\log_{3}243=5$$ Вычислим внешний логарифм: $$\log_{5}5=1$$

Найдем значение внутреннего логарифма: $$\log_{5}125=3$$ Вычислим внешний логарифм: $$\log_{3}3=1$$

В числителе вынесем степень аргумента как множитель перед логарифмом: $$\dfrac{\log_{3}(7^{6})}{3\log_{3}7}=\dfrac{6\log_{3}7}{3\log_{3}7}$$ Сократим логарифмы и произведем вычисления: $$\dfrac{6\cancel{\log_{3}7}}{3\cancel{\log_{3}7}}=\frac{6}{3}=2$$

В числителе вынесем степень аргумента как множитель перед логарифмом: $$\dfrac{\log_{5}(6^{9})}{3\log_{5}6}=\dfrac{9\log_{5}6}{3\log_{5}6}$$ Сократим логарифмы и произведем вычисления: $$\dfrac{9\cancel{\log_{5}6}}{3\cancel{\log_{5}6}}=\frac{9}{3}=3$$

Занесем множитель перед логарифмом в логарифм в качестве степени аргумента: $$8^{4\log_{8}3}=8^{\log_{8}3^4}$$ Воспользуемся основным свойством логарифмов, а затем произведем вычисления: $$8^{\log_{8}3^4}=3^4=81$$

Занесем множитель перед логарифмом в логарифм в качестве степени аргумента: $$5^{2\log_{5}6}=5^{\log_{5}6^2}$$ Воспользуемся основным свойством логарифмов, а затем произведем вычисления: $$5^{\log_{5}6^2}=6^2=36$$

Представим корень в виде степени, а затем, вынесем как множитель перед логарифмом: $$\log_{{7^{\frac{1}{4}}}}7^{3}=4\log_{{7}}7^{3}$$ Произведем вычисления: $$4\log_{{7}}7^{3}=4\cdot 3=12$$

Представим корень в виде степени, а затем, вынесем как множитель перед логарифмом: $$\log_{{5^{\frac{1}{4}}}}5^{2}=4\log_{{5}}5^{2}$$ Произведем вычисления: $$4\log_{{5}}5^{2}=4\cdot 2=8$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. Разложим данное число на множители: $$2^{\log_{2}7+2}=2^{\log_{2}7}\cdot 2^2$$ $$2^{\log_{2}7}\cdot 2^2=7\cdot4 =28$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. Разложим данное число на множители: $$3^{\log_{3}8+2}=3^{\log_{3}8}\cdot 3^2$$ $$3^{\log_{3}8}\cdot 3^2=8\cdot9 =72$$

Значения синуса повторяются через каждые $360$ градусов, поэтому можно уменьшить данный угол на $360\degree{:}$ $$28\sin{390\degree}=28\sin{30\degree}$$ Определим значение синуса и выполним вычисления: $$28\sin{30\degree}=28\cdot\frac{1}{2}=14$$

Значения синуса повторяются через каждые $360$ градусов, поэтому можно уменьшить данный угол на $3\cdot 360\degree{:}$ $$46\sqrt{3}\sin{1140\degree}=46\sqrt{3}\sin{60\degree}$$ Определим значение синуса и выполним вычисления: $$46\sqrt{3}\sin{60\degree}=46\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=69$$

Произведем возведение в степень: $$(0.01)^{2}\cdot10^{4}\cdot2^{3}=0.0001\cdot10\space000\cdot8$$ $$0.0001\cdot10\space000\cdot8=8$$

Произведем возведение в степень: $$(0.01)^{2}\cdot10^{5}:2^{-3}=0.0001\cdot100\space000:\dfrac{1}{8}$$ $$0.0001\cdot100\space000\cdot \dfrac{8}{1} = 80$$

От перестановки множителей произведение не меняется: $$(5\cdot10^{-6})\cdot(2.6\cdot 10^{5})=5\cdot10^{-6}\cdot2.6\cdot 10^{5}$$ $$5\cdot2.6\cdot 10^{5}\cdot10^{-6}=13\cdot 10^{-1}=1.3$$

От перестановки множителей произведение не меняется: $$(7\cdot10^{-5})\cdot(5.2\cdot 10^{5})=7\cdot10^{-5}\cdot5.2\cdot 10^{5}$$ $$7\cdot5.2\cdot 10^{5}\cdot10^{-5}=36.4$$

Выполним возведение в степень: $$\dfrac{0.1^{4}}{10^{-2}}\cdot10^{5}=\dfrac{0.0001}{0.01}\cdot10^{5}$$ $$0.01\cdot 10^{5}=1\space000$$

Выполним возведение в степень: $$\dfrac{0.1^{2}}{10^{-2}}\cdot10^{4}=\dfrac{0.01}{0.01}\cdot10^{4}$$ $$1\cdot 10^{4}=10\space000$$

Так как основания логарифмов одинаковые, слагаемые можно занести под один логарифм: $$\log_{20}25+\log_{20}16=\log_{20}25\cdot16$$ $$\log_{20}400 = 2$$

Так как основания логарифмов одинаковые, слагаемые можно занести под один логарифм: $$\log_{15}75+\log_{15}45=\log_{15}75\cdot45$$ $$\log_{15}3\space375=3$$