13. Уравнения: #184288

а) Заметим, что $\cos 2x = 1-2 \sin^2 x.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$1- 2 \sin^2 x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x-1 = 0;$$ $$\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0;$$ $$\sin x \cdot \left( \sin x + \sqrt{3} \cos x \right) = 0.$$ Откуда $\sin x = 0$ или $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0.$ $\newline$ Если $\sin x = 0,$ то $x = \pi n,$ где $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0,$ то $\tg x = -\sqrt{3}.$ $\newline$ Откуда $ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi m,$ где $m \in \mathbb{Z}.$

6) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $\pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -2$, или $n = -1.$ Значит, $$x = -2\pi\ и\ x = -\pi.$$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{3} + \pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + \pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{3} \leq m \leq -\dfrac{1}{6}.$$ Получившееся неравенство выполняется при единственном целом значении $m = -1.$ Тогда: $$x = -\dfrac{\pi}{3}-\pi = -\dfrac{4\pi}{3}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-2\pi, -\pi \, и \, -\dfrac{4\pi}{3}.$