13. Уравнения: #184287

а) Заметим, что $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos x.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$ 2 \cos^2 x-3 \cos x + 1 = 0; $$ $$ 2 \cos^2 x-2 \cos x-\cos x + 1 = 0; $$ $$ 2 \cos x \cdot (\cos x-1)-(\cos x-1) = 0; $$ $$ (\cos x-1)(2 \cos x-1) = 0. $$ Откуда $\cos x = 1$ или $\cos x = \dfrac{1}{2}.$ $\newline$ Если $\cos x = 1,$ то $x = 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\cos x = \dfrac{1}{2},$ то $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,$ $k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}{:}$ $$ -2\pi \leq 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2}; $$ $$ -1 \leq n \leq -\dfrac{1}{4}. $$ Тогда $n = -1$ – единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. Значит, $$x = -2\pi.$$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{6} \leq m \leq -\dfrac{1}{12}.$$ Целых $m,$ удовлетворяющих полученным неравенствам, не существует.$\newline$ Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{6} \leq k \leq -\dfrac{5}{12}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $k = -1.$ Значит, $$x = \dfrac{\pi}{3}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right],$ являются $-2\pi$ и $-\dfrac{5\pi}{3}.$