13. Уравнения: #184282

а) Заметим, что $\cos 2x = 2\cos^2 x-1.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$2\cos^2 x-1 + 3\sqrt{2}\cos x-3 = 0;$$ $$2\cos^2 x + 3\sqrt{2}\cos x-4 = 0;$$ $$2\cos^2 x-\sqrt{2}\cos x + 4\sqrt{2}\cos x-4 = 0;$$ $$\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)\left(\cos x + 2\sqrt{2}\right) = 0.$$ Откуда $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x = -2\sqrt{2}.$ $\newline$ Поскольку $-2\sqrt{2} < -1,$ второе уравнение не имеет корней. $\newline$ Если $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}.$

6) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq -\dfrac{3}{8}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}.$$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}.$$ Целых значений $m,$ для которых верно это неравенство, не существует. $\newline$ Следовательно, на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ нет решений из этой серии. $\newline$ Таким образом, единственным корнем исходного уравнения на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ является $-\dfrac{7\pi}{4}.$