13. Уравнения: #184280

a) Заметим, что $\cos 2x = 2\cos^2 x-1.$ $\newline$ Тогда исходное уравнение можно записать в следующем виде: $$2\cos^2 x-1 + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0;$$ $$2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( 2\cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$ Откуда $\cos x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$ Если $\cos x = 0,$ то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,$ где $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,$ $k \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Таким образом, мы получаем следующие серии решений: $$x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z},$$ $$ x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}, $$ $$ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1$ или $n = 0.$ Тогда: $$x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2},$$ $$x = -\dfrac{\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $m = 0.$ Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Наконец, рассмотрим серию $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq k \leq -\dfrac{5}{8}.$$ Получившееся неравенство верно при $k = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2},$ $-\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{5\pi}{4}.$