13. Уравнения: #184279

a) Заметим, что $\cos \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \sin x.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$ 2 \sin^2 x-3 \sin x + 1 = 0; $$ $$ 2 \sin^2 x-2 \sin x-\sin x + 1 = 0; $$ $$ 2 \sin x \cdot (\sin x-1)-(\sin x-1) = 0; $$ $$ (\sin x-1)(2 \sin x-1) = 0, $$ откуда $\sin x = 1$ или $\sin x = \dfrac{1}{2}.$ $\newline$Если $\sin x = 1,$ то $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\sin x = \dfrac{1}{2},$ то $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,$ $k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2}; $$ $$-\dfrac{5}{4} \leq n \leq -\dfrac{1}{2},$$ откуда $n = -1$ – единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. Значит, $$ x = \dfrac{\pi}{2}-2\pi = -\dfrac{3\pi}{2}. $$ Теперь рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{13}{12} \leq m \leq -\dfrac{1}{3}.$$ Полученное неравенство выполняется при $m = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{\pi}{6}-2\pi = -\dfrac{11\pi}{6}.$$ Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{17}{12} \leq k \leq -\dfrac{2}{3}.$$ Полученное неравенство выполняется при $k = -1.$ Значит, $$x = \dfrac{5\pi}{6}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{6}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{2},$ $-\dfrac{11\pi}{6}$ и $-\dfrac{7\pi}{6}.$