13. Уравнения: #184277

a) Заметим, что $\cos 2x = 1-2 \sin^2 x.$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$1-2 \sin^2 x-3\sqrt{2} \sin x + 3 = 0;$$ $$2 \sin^2 x + 3\sqrt{2} \sin x-4 = 0;$$ $$2 \sin^2 x-\sqrt{2} \sin x + 4\sqrt{2} \sin x-4 = 0;$$ $$\sin x \cdot \left( 2 \sin x-\sqrt{2} \right) + 2\sqrt{2} \left( 2 \sin x-\sqrt{2} \right) = 0;$$ $$\left( 2 \sin x-\sqrt{2} \right) \left( \sin x + 2\sqrt{2} \right) = 0,$$ откуда $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin x = -2\sqrt{2}.$ $\newline$ Поскольку $-2\sqrt{2} < -1,$ второе уравнение не имеет корней. $\newline$ Если $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq -\dfrac{3}{8}.$$ Единственное целое значение, для которого верно это неравенство, – это $n = -1.$ Тогда: $$ x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}. $$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}{:}$ $\newline$ $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq m \leq -\dfrac{5}{8}.$$ В этом случае подходит только $m = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{7\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}.$