13. Уравнения: #184275

а) Заметим, что $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos x.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$ 2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \cos x = 0 ;$$ $$\cos x \cdot \left( 2 \sin x + \sqrt{2} \right) = 0,$$ откуда $\cos x = 0$ или $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$Если $\cos x = 0,$ то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,$ где $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,$ $k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]{.}$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ – целое число, получаем, что $n = 0$ или $n = -1.$ Значит, $$x = -\dfrac{\pi}{2},$$ $$ x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2}. $$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}.$$ Целых значений $m,$ для которых верно это неравенство, не существует. $\newline$ Следовательно, на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ нет решений из этой серии. $\newline$ Наконец, рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq k \leq \dfrac{1}{8}.$$ Полученное неравенство выполняется при $k = 0.$ Значит, $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{2}$ и $-\dfrac{3\pi}{2}.$