13. Уравнения: #184274

а) Заметим, что $$ \sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( 2 \sin x + \sqrt{2} \right) = 0,$$ откуда $\cos x = 0 $ или $ \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$ Если $ \cos x = 0,$ то $ x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,$ где $ n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $ \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $ x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,$ $ m \in \mathbb{Z} $ $\newline$или $ x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,$ $ k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right].$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $ n $ – целое число, получаем, что $ n = 0 $ или $ n = -1.$ Значит, $$x = -\dfrac{\pi}{2},$$ $$ x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2}. $$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2}; $$ $$-\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}. $$ Целых значений $m,$ для которых верно это неравенство, не существует. $\newline$ Следовательно, на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ нет решений из этой серии.$\newline$ Наконец, рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2}; $$ $$-\dfrac{5}{8} \leq k \leq \dfrac{1}{8}. $$ Полученное неравенство выполняется при $k = 0.$ Значит, $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ $\newline$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{2}$ и $-\dfrac{3\pi}{2}.$