13. Уравнения: #183899

a) Заметим, что $\cos 2x = 2 \cos^2 x-1$. Разложим левую часть уравнения на множители:$$2 \cos^2 x-1-3 \cos x + 2 = 0;$$ $$2 \cos^2 x-3 \cos x + 1 = 0;$$ $$2 \cos^2 x-2 \cos x-\cos x + 1 = 0;$$ $$2 \cos x \cdot (\cos x-1)-(\cos x-1) = 0;$$ $$(\cos x-1)(2 \cos x-1) = 0.$$ Откуда $\cos x = 1$ или $\cos x = \dfrac{1}{2}$.$\newline$ Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. $\newline$Если $\cos x = \dfrac{1}{2}$, то $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; \, -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.$$-2\pi \leq 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-1 \leq n \leq -\dfrac{1}{4}.$$ Тогда $ n = -1 $ — единственное целое значение, при котором данное неравенство верно.$\newline$ Значит, $ x = -2\pi $. $\newline$Рассмотрим серию решений $ -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $: $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{6} \leq m \leq -\dfrac{1}{12}.$$ Целых $ m, $ удовлетворяющих полученным неравенствам, не существует. $\newline$Наконец, рассмотрим серию решений $ \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $: $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{6} \leq k \leq -\dfrac{5}{12}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $ k = -1 $. Значит, $$x = \dfrac{\pi}{3} -2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; \, -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $ -2\pi $ и $ -\dfrac{5\pi}{3} $.