13. Уравнения: #183841

а) В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $\cos x$:$$\cos x \cdot \left( 2 \cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$Откуда $\cos x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.$\newline$Если $\cos x = 0$, то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\newline$Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ $\newline$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.$\newline$Таким образом, мы получаем следующие серии решений:$$x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}, $$ $$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}, $$ $$ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.$$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1$ или $n = 0$. Тогда:$$x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2};$$ $$x = -\dfrac{\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$Получившееся неравенство выполняется при $m = 0$. Тогда:$$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$Наконец, рассмотрим серию $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq k \leq -\dfrac{5}{8}.$$Получившееся неравенство верно при $k = -1$. Тогда: $$x =\dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}$, $-\dfrac{3\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$.