13. Уравнения: #183835

a) В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $\sin x$: $$\sin x \cdot \left( 2 \cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$ Откуда $\sin x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$ Если $\sin x = 0$, то $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $\newline$ Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$ $\newline$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; \, -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $\pi n, \, n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -2$ или $n = -1$. $\newline$Значит, $x = -2\pi$ и $x = -\pi$. $\newline$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$ Получившееся неравенство выполняется при единственном целом значении $m = 0$. Тогда:$$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -2$ или $n = -1$. $\newline$ Значит, $x = -2\pi$ и $x = -\pi$. $\newline$Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$Получившееся неравенство выполняется при единственном целом значении $m = 0$. Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq k \leq -\dfrac{5}{8}.$$ Тогда $k = -1$ — единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. $\newline$Значит, $x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}$. $\newline$Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-2\pi$, $-\pi$, $-\dfrac{3\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$.