13. Уравнения: #183832

а) Разложим левую часть уравнения на множители:$$2 \sin^2 x-2 \sin x-\sin x + 1 = 0;$$ $$2 \sin x \cdot (\sin x-1)-(\sin x-1) = 0;$$ $$(\sin x-1)(2 \sin x-1) = 0.$$ $\newline$ Откуда $\sin x = 1$ или $\sin x = \dfrac{1}{2}$. $\newline$ Если $\sin x = 1$, то $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. $\newline$ Если $\sin x = \dfrac{1}{2}$, то $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ или $\newline$ $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. $\newline$ Таким образом, решениями исходного уравнения являются: $$\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z},$$ $$\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z},$$ $$ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{4} \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ Откуда $n =-1$ — единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. Значит, $$x = \dfrac{\pi}{2}-2\pi = -\dfrac{3\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{13}{12} \leq m \leq -\dfrac{1}{3}.$$ Полученное неравенство выполняется при $m =-1$. Тогда: $$x = \dfrac{\pi}{6}-2\pi =-\dfrac{11\pi}{6}.$$ Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{17}{12} \leq k \leq -\dfrac{2}{3}.$$ Полученное неравенство выполняется при $k = -1$. Значит: $$x = \dfrac{5\pi}{6}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{6}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{11\pi}{6}$ и $-\dfrac{7\pi}{6}$.