13. Уравнения: #183670

а) В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $\sin x$: $$\sin x \cdot \left( 2 \sin x + \sqrt{2} \right) = 0{,}$$ откуда $\sin x = 0\ или\ \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$Если $\sin x = 0,\ то\ x = \pi n,\ где\ n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$Если $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ то\ x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ $\newline$ или $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Таким образом, есть три серии решений: $$x = \pi n, n \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке: $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq k \leq \dfrac{1}{8}.$$ $\newline$ Единственное целое значение, для которого верно это неравенство, $ k = 0 $. Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ $\newline$ Теперь рассмотрим серию решений: $$ -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}; $$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}.$$ $\newline$ Полученное неравенство не выполняется ни при каких целых $ m $. Следовательно, на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ нет решений из этой серии. $\newline$ Наконец, рассмотрим серию решений $\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ $\newline$ Полученное неравенство выполняется при $n=-1$ и $n=-2$. Значит:$$x=-\pi;$$ $$x=-2\pi.$$ $\newline$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{3\pi}{4}, -2\pi$ и $-\pi$.