17. Простейшие уравнения: #183352
Найдите корень уравнения $\log_{2}(x^2-4)-\log_{2}(x + 2) = 3$.
Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\log_{2}\left(\frac{x^2-4}{x + 2}\right) = 3$$ Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$\frac{x^2-4}{x + 2} = 2^3$$ $$\frac{x^2-4}{x + 2} = 8$$ Упростим выражение в числителе: $$x^2-4 = (x-2)(x + 2)$$ Тогда уравнение примет вид: $$\frac{(x-2)(x + 2)}{x + 2} = 8$$ Сократим на $(x + 2)$ (при условии $x \neq -2$): $$x-2 = 8$$ $$x = 10$$
20