17. Простейшие уравнения: #183338

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$x^2-5x + 6 = x-2$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$x^2-6x + 8 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2-4ac = (-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 -32 = 4$$ $$\sqrt{D} = 2$$ Корни уравнения: $$x = \dfrac{6 \pm 2}{2}$$ $$x = 4 \quad \text{или} \quad x = 2$$

Проверим, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

$1.$ Для $x = 4$: $$x^2-5x + 6 = 16-20 + 6 = 2 > 0$$ $$x-2 = 4-2 = 2 > 0$$ Корень $x = 4$ подходит.

$2.$ Для $x = 2$: $$x^2-5x + 6 = 4-10 + 6 = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля.