Задание 3. Законы сохранения в механике

{"questions":[{"content":"Изменение скорости тела массой $2\\,\\text{кг}$, движущегося по оси $x$, описывается формулой:  $$v_x = v_{0x} + a_x t,$$  где $v_{0x} = 8\\,\\text{м/с}$, $a_x = -2\\,\\text{м/с}^2$, $t$ — время в секундах. Какова кинетическая энергия тела через $3\\,\\text{с}$ после начала отсчета времени? (Ответ дайте в джоулях.)[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$6$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула кинетической энергии:  <br />Кинетическая энергия тела связана с его массой и скоростью соотношением:  <br />$$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv^2}{2}.$$<br />2. Определение скорости через $3\\,\\text{с}$:  <br />Подставим данные в формулу скорости:  <br />$$v_x(3\\,\\text{с}) = 8\\,\\text{м/с} + (-2\\,\\text{м/с}^2) \\cdot 3\\,\\text{с} = 8\\,\\text{м/с} -6\\,\\text{м/с} = 2\\,\\text{м/с}.$$<br />3. Вычисление кинетической энергии:  <br />Теперь подставим массу и найденную скорость в формулу кинетической энергии:  <br />$$E_{\\text{кин}} = \\frac{2\\,\\text{кг} \\cdot (2\\,\\text{м/с})^2}{2} = \\frac{2 \\cdot 4}{2} = 4\\,\\text{Дж}.$$<br />Ответ:  $4$"]},{"content":"Тело, брошенное вертикально вверх от поверхности Земли, достигло максимальной высоты $20\\,\\text{м}$. С какой начальной скоростью тело было брошено вверх? (Ответ дайте в метрах в секунду.) Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным $10\\,\\text{м/с}^2$.[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$30$","$50$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения энергии:  <br />В момент броска тело обладает кинетической энергией, а на максимальной высоте — потенциальной. По закону сохранения энергии:  <br />$$E_{\\text{кин нач}} = E_{\\text{пот макс}},$$  где  <br />$$E_{\\text{кин нач}} = \\frac{mv^2}{2}, \\quad E_{\\text{пот макс}} = mgh.$$<br />2. Уравнение для начальной скорости:  <br />Приравняем энергии:  <br />$$\\frac{mv^2}{2} = mgh.$$  Масса $m$ сокращается:  <br />$$\\frac{v^2}{2} = gh.$$  Выразим начальную скорость $v$:  <br />$$v = \\sqrt{2gh}.$$<br />3. Подстановка данных:  <br />Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$, высота $h = 20\\,\\text{м}$:  <br />$$v = \\sqrt{2 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 20\\,\\text{м}} = \\sqrt{400} = 20\\,\\text{м/с}.$$<br />Ответ:  $20$"]},{"content":"Тело массой $1\\,\\text{кг}$, брошенное вертикально вверх с поверхности Земли, достигло максимальной высоты $20\\,\\text{м}$. Какой кинетической энергией обладало тело тотчас после броска? (Ответ дайте в джоулях.) Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным $10\\,\\text{м/с}^2$.[[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$200$","$100$","$50$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения механической энергии:  <br />Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия тела сохраняется. В начальный момент (при броске) тело обладает только кинетической энергией $E_{\\text{кин}}$, а в верхней точке траектории — только потенциальной энергией $E_{\\text{пот}}$. Следовательно:  <br />$$E_{\\text{кин}} = E_{\\text{пот}}.$$<br />2. Формула потенциальной энергии:  <br />Потенциальная энергия тела на высоте $h$ определяется выражением:  <br />$$E_{\\text{пот}} = mgh,$$  где:  <br />$m = 1\\,\\text{кг}$ — масса тела,  <br />$g = 10\\,\\text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения,  <br />$h = 20\\,\\text{м}$ — максимальная высота подъема.<br /><br />3. Вычисление кинетической энергии:  <br />Подставляя значения в формулу для потенциальной энергии, получаем:  <br />$$E_{\\text{пот}} = 1\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 20\\,\\text{м} = 200\\,\\text{Дж}.$$  Следовательно, кинетическая энергия тела сразу после броска равна:  <br />$$E_{\\text{кин}} = 200\\,\\text{Дж}.$$<br />Ответ:  $200$"]},{"content":"Камень массой $1\\,\\text{кг}$ падает на землю с высоты $30\\,\\text{м}$ из состояния покоя. Какую кинетическую энергию имеет камень перед ударом о землю? (Ответ дайте в джоулях. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным $10\\,\\text{м/с}^2$.)<br /><br />[[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$300$","$200$","$100$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения механической энергии:<br />   Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия камня сохраняется. В начальный момент (на высоте $30\\,\\text{м}$) камень обладает только потенциальной энергией $E_{\\text{пот}}$, а перед ударом о землю — только кинетической энергией $E_{\\text{кин}}$. Следовательно:<br />   $$E_{\\text{пот}} = E_{\\text{кин}}.$$<br />2. Формула потенциальной энергии:<br />   Потенциальная энергия камня на высоте $h$ определяется выражением:<br />   $$E_{\\text{пот}} = mgh,$$ где:<br />   — $m = 1\\,\\text{кг}$ — масса камня,<br />   — $g = 10\\,\\text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения,<br />   — $h = 30\\,\\text{м}$ — высота падения.<br /><br />3. Вычисление кинетической энергии:<br />   Подставляя значения в формулу для потенциальной энергии, получаем:<br />   $$E_{\\text{пот}} = 1\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 30\\,\\text{м} = 300\\,\\text{Дж}.$$<br />   Следовательно, кинетическая энергия камня перед ударом о землю равна:<br />   $$E_{\\text{кин}} = 300\\,\\text{Дж}.$$<br />Ответ: $300$"]},{"content":"Тело брошено вертикально вверх с поверхности Земли и достигло максимальной высоты $5\\,\\text{м}$. С какой начальной скоростью $v_0$ было брошено тело? (Ответ дайте в метрах в секунду.) Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным $10\\,\\text{м/с}^2$.[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$20$","$50$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Физические принципы:<br />   — При отсутствии сопротивления воздуха выполняется закон сохранения механической энергии.<br />   — В начальный момент тело обладает только кинетической энергией $E_k = \\frac{mv_0^2}{2}$.<br />   — В верхней точке траектории тело имеет только потенциальную энергию $E_p = mgh$.<br /><br />2. Уравнение сохранения энергии:<br />   $$\\frac{mv_0^2}{2} = mgh$$<br />3. Преобразование уравнения:<br />   — Сокращаем массу $m$ с обеих сторон:<br />   $$\\frac{v_0^2}{2} = gh$$<br />   — Выражаем начальную скорость:<br />   $$v_0 = \\sqrt{2gh}$$<br />4. Подстановка числовых значений:<br />   — Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$<br />   — Высота подъема $h = 5\\,\\text{м}$<br />   $$v_0 = \\sqrt{2 \\cdot 10 \\cdot 5} = \\sqrt{100} = 10\\,\\text{м/с}$$<br />Ответ: $10$"]},{"content":"Груз массой $0.2\\,\\text{кг}$ движется со скоростью $1\\,\\text{м/с}$. Чему равна кинетическая энергия груза? (Ответ дайте в джоулях.)[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.1$","$0.2$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула кинетической энергии:<br />   Кинетическая энергия тела рассчитывается по формуле:<br />   $$E_k = \\frac{mv^2}{2},$$ где:<br />   — $m$ — масса тела,<br />   — $v$ — скорость тела.<br /><br />2. Подстановка данных:<br />   — Масса $m = 0.2\\,\\text{кг}$,<br />   — Скорость $v = 1\\,\\text{м/с}$.<br />   Подставляем значения в формулу:<br />   $$E_k = \\frac{0.2\\,\\text{кг} \\cdot (1\\,\\text{м/с})^2}{2}$$<br />3. Вычисления:<br />   — Возводим скорость в квадрат:<br />   $$(1\\,\\text{м/с})^2 = 1\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2$$<br />   — Умножаем массу на квадрат скорости:<br />   $$0.2\\,\\text{кг} \\cdot 1\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2 = 0{,}2\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}^2/\\text{с}^2$$<br />   — Делим на $2$:<br />   $$\\frac{0.2\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}^2/\\text{с}^2}{2} = 0.1\\,\\text{Дж}$$<br />Ответ: $0.1$"]},{"content":"Самосвал массой $m_0$ движется к карьеру с кинетической энергией $2{,}5 \\cdot 10^5\\,\\text{Дж}$. Какой станет его кинетическая энергия после загрузки, если он продолжит движение с той же скоростью, а его масса увеличится в $2$ раза? (Ответ дайте в килоджоулях.)[[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$500$","$600$","$200$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Исходные данные:<br />   — Начальная кинетическая энергия: $E_{k0} = 2.5 \\cdot 10^5\\,\\text{Дж}$,<br />   — Увеличение массы: $m = 2m_0$,<br />   — Скорость остается неизменной: $v = \\text{const}$.<br /><br />2. Формула кинетической энергии:<br />   Кинетическая энергия вычисляется по формуле:<br />   $$E_k = \\frac{mv^2}{2}.$$<br />3. Связь энергий до и после загрузки:<br />   — Начальная энергия:<br />     $$E_{k0} = \\frac{m_0 v^2}{2} = 2.5 \\cdot 10^5\\,\\text{Дж}.$$<br />   — После увеличения массы:<br />     $$E_k = \\frac{(2m_0) v^2}{2} = 2 \\cdot \\left(\\frac{m_0 v^2}{2}\\right) = 2E_{k0}.$$<br />4. Вычисление новой кинетической энергии:<br />   $$E_k = 2 \\cdot 2.5 \\cdot 10^5\\,\\text{Дж} = 5 \\cdot 10^5\\,\\text{Дж}.$$<br />5. Перевод в килоджоули:<br />   $$5 \\cdot 10^5\\,\\text{Дж} = 500\\,\\text{кДж}.$$<br />Ответ: $500$"]},{"content":"Какова кинетическая энергия автомобиля массой $500\\,\\text{кг}$, движущегося со скоростью $36\\,\\text{км/ч}$? (Ответ дайте в джоулях.)[[fill_choice_big-9]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$25\\ 000$","$100\\ 000$","$120\\ 000$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод скорости в СИ:<br />   Скорость необходимо выразить в метрах в секунду:<br />   $$36\\,\\text{км/ч} = 36 \\cdot \\frac{1\\ 000\\,\\text{м}}{3\\ 600\\,\\text{с}} = 10\\,\\text{м/с}.$$<br />2. Формула кинетической энергии:<br />   Кинетическая энергия вычисляется по формуле:<br />   $$E_k = \\frac{mv^2}{2},$$где:<br />   — $m = 500\\,\\text{кг}$ — масса автомобиля,<br />   — $v = 10\\,\\text{м/с}$ — скорость автомобиля.<br /><br />3. Подстановка данных:<br />   $$E_k = \\frac{500\\,\\text{кг} \\cdot (10\\,\\text{м/с})^2}{2}.$$<br />4. Вычисления:<br />   — Квадрат скорости:<br />     $$(10\\,\\text{м/с})^2 = 100\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2.$$<br />   — Умножение массы на квадрат скорости:<br />     $$500\\,\\text{кг} \\cdot 100\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2 = 50\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}^2/\\text{с}^2.$$<br />   — Деление на $2$:<br />     $$\\frac{50\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}^2/\\text{с}^2}{2} = 25\\ 000\\,\\text{Дж}.$$<br />Ответ: $25\\ 000$"]},{"content":"Определите кинетическую энергию груза массой $0.4\\,\\text{кг}$, движущегося со скоростью $2\\,\\text{м/с}$. Ответ выразите в джоулях.[[fill_choice_big-10]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.8$","$0.4$","$0.01$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула кинетической энергии:<br />   Кинетическая энергия вычисляется по формуле:<br />   $$E_k = \\frac{mv^2}{2},$$  где:<br />   — $m = 0.4\\,\\text{кг}$ — масса груза,<br />   — $v = 2\\,\\text{м/с}$ — скорость груза.<br /><br />2. Подстановка значений:<br />   $$E_k = \\frac{0{,}4\\,\\text{кг} \\cdot (2\\,\\text{м/с})^2}{2}.$$<br />3. Пошаговые вычисления:<br />   — Возведение скорости в квадрат:<br />     $$(2\\,\\text{м/с})^2 = 4\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2.$$<br />   — Умножение массы на квадрат скорости:<br />     $$0.4\\,\\text{кг} \\cdot 4\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2 = 1{,}6\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}^2/\\text{с}^2.$$<br />   — Деление на $2$:<br />     $$\\frac{1{,}6\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}^2/\\text{с}^2}{2} = 0{,}8\\,\\text{Дж}.$$<br />Ответ: $0.8$"]},{"content":"Шарик массой $200\\,\\text{г}$ падает с высоты $20\\,\\text{м}$ без начальной скорости. Какова его кинетическая энергия в момент перед ударом о землю, если потеря энергии на сопротивление воздуха составила $4\\,\\text{Дж}?$ Ускорение свободного падения $g=10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-11]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$40$","$100$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц:<br />   Массу переводим в килограммы: $$m = 200\\,\\text{г} = 0.2\\,\\text{кг}.$$<br />2. Начальная энергия системы:<br />   В начальный момент (на высоте $h=20\\,\\text{м}$) шарик обладает только потенциальной энергией:$$E_п = mgh = 0.2\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 20\\,\\text{м} = 40\\,\\text{Дж}.$$Кинетическая энергия равна нулю ($v_0=0$).<br /><br />3. Учет потерь энергии:<br />   По условию, $4\\,\\text{Дж}$ энергии теряется на преодоление сопротивления воздуха. Согласно закону сохранения энергии:<br />   $$E_п = E_к + \\Delta E,$$где $\\Delta E = 4\\,\\text{Дж}$ — потери энергии.<br /><br />4. Вычисление кинетической энергии:<br />   $$E_к = E_п — \\Delta E = 40\\,\\text{Дж} — 4\\,\\text{Дж} = 36\\,\\text{Дж}.$$Ответ: $36$"]}]}

{"questions":[{"content":"Два тела движутся с одинаковой скоростью. Кинетическая энергия первого тела в $4$ раза меньше кинетической энергии второго тела. Определите отношение масс тел $\\dfrac{m_1}{m_2}$.[[fill_choice_big-1]][[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Запишем выражения для кинетических энергий:<br />   — Для первого тела:<br />     $$E_{k1} = \\frac{m_1 v^2}{2}$$ — Для второго тела:<br />     $$E_{k2} = \\frac{m_2 v^2}{2}$$<br />2. Учтем условие задачи:<br />   Кинетическая энергия первого тела в 4 раза меньше:<br />   $$E_{k2} = 4 E_{k1}$$<br />3. Подставим выражения для энергий:<br />   $$\\frac{m_2 v^2}{2} = 4 \\cdot \\frac{m_1 v^2}{2}$$<br />4. Упростим уравнение:<br />   — Сократим общие множители ($\\frac{v^2}{2}$):<br />     $$m_2 = 4 m_1$$ — Выразим искомое отношение:<br />     $$\\frac{m_1}{m_2} = \\frac{1}{4} = 0.25$$<br />Ответ: $0.25$"]},{"content":"Тело массой $1\\,\\text{кг}$, подброшенное вертикально вверх, достигло максимальной высоты $20\\,\\text{м}$. Определите кинетическую энергию тела сразу после броска. Ускорение свободного падения принять равным $10\\,\\text{м/с}^2$.[[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$200$","$400$","$50$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Применяем закон сохранения механической энергии:<br />   Полная механическая энергия системы сохраняется:<br />   $$E_{\\text{полн}} = E_{\\text{кин}} + E_{\\text{пот}} = \\text{const}$$<br />2. Анализируем энергетические состояния:<br />   — В момент броска (у поверхности Земли):<br />     $$E_{\\text{пот}} = 0$$$$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv^2}{2}$$ — В верхней точке траектории:<br />     $$E_{\\text{кин}} = 0$$ $$E_{\\text{пот}} = mgh$$<br />3. Приравниваем энергии:<br />   $$\\frac{mv^2}{2} = mgh$$<br />4. Вычисляем кинетическую энергию:<br />   $$E_{\\text{кин}} = mgh = 1\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 20\\,\\text{м} = 200\\,\\text{Дж}$$<br />Ответ: $200$"]},{"content":"Шайба начинает соскальзывать без начальной скорости по наклонной плоскости с высоты $80\\,\\text{см}$. Какой максимальной скоростью будет обладать шайба в конце плоскости? Ускорение свободного падения принять равным $10\\,\\text{м/с}^2$.[[fill_choice_big-44]]","widgets":{"fill_choice_big-44":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц:  <br />   Высоту переводим в метры:  <br />   $$h = 80\\,\\text{см} = 0.8\\,\\text{м}.$$  <br />2. Закон сохранения энергии:  <br />   В начальный момент шайба обладает только потенциальной энергией:  <br />   $$E_{\\text{пот}} = mgh.$$  <br />   В конце спуска вся потенциальная энергия переходит в кинетическую:  <br />   $$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv^2}{2}.$$  <br />   Согласно закону сохранения энергии:  <br />   $$mgh = \\frac{mv^2}{2}.$$  <br />3. Вычисление скорости:  <br />   Масса $m$ сокращается:  <br />   $$gh = \\frac{v^2}{2}.$$  <br />   Выражаем скорость:  <br />   $$v = \\sqrt{2gh}.$$  <br />   Подставляем значения:  <br />   $$v = \\sqrt{2 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 0.8\\,\\text{м}} = \\sqrt{16} = 4\\,\\text{м/с}.$$  <br />Ответ: $4$"]},{"content":"Шайба массой $10\\,\\text{г}$ в основании гладкой наклонной плоскости имеет кинетическую энергию $0.04\\,\\text{Дж}$. Определите максимальную высоту подъема шайбы по плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-76]]","widgets":{"fill_choice_big-76":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц:  <br />   Массу переводим в килограммы:  <br />   $$m = 10\\,\\text{г} = 0.01\\,\\text{кг}.$$<br />2. Закон сохранения энергии:  <br />   В начальный момент (у основания плоскости) шайба обладает только кинетической энергией:  <br />   $$E_{\\text{кин}} = 0.04\\,\\text{Дж}.$$  <br />   На максимальной высоте $h$ скорость шайбы становится равной нулю, и вся кинетическая энергия переходит в потенциальную:  <br />   $$E_{\\text{пот}} = mgh.$$  <br />   Согласно закону сохранения энергии:  <br />   $$mgh = E_{\\text{кин}}.$$<br />3. Вычисление высоты:  <br />   Выражаем высоту $h$:  <br />   $$h = \\frac{E_{\\text{кин}}}{mg} = \\frac{0.04\\,\\text{Дж}}{0.01\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2} = 0.4\\,\\text{м}.$$<br />Ответ:  $0.4$"]},{"content":"Груз массой $0.4\\,\\text{кг}$ движется со скоростью $3\\,\\text{м/с}$. Чему равна его кинетическая энергия? Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-178]]","widgets":{"fill_choice_big-178":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.8$","$2.5$","$3.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула кинетической энергии:  <br />Кинетическая энергия вычисляется по формуле:  <br />$$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv^2}{2},$$  <br />где:  — $m = 0.4\\,\\text{кг}$ — масса груза,  <br />- $v = 3\\,\\text{м/с}$ — скорость груза.<br /><br />2. Подстановка значений:  <br />$$E_{\\text{кин}} = \\frac{0.4\\,\\text{кг} \\cdot (3\\,\\text{м/с})^2}{2}$$<br />3. Вычисления:  <br />- Возводим скорость в квадрат:  <br />$$(3\\,\\text{м/с})^2 = 9\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2$$  — Умножаем массу на квадрат скорости:  <br />$$0.4\\,\\text{кг} \\cdot 9\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2 = 3.6\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}^2/\\text{с}^2$$  <br />- Делим на $2$:  <br />$$\\frac{3.6\\,\\text{Дж}}{2} = 1.8\\,\\text{Дж}$$<br />Ответ:  $1.8$"]},{"content":"Шарик массой $100\\,\\text{г}$ падает с высоты $100\\,\\text{м}$ с нулевой начальной скоростью. Чему равна его кинетическая энергия в момент перед ударом о землю, если потеря энергии на сопротивление воздуха составила $20\\,\\text{Дж}$? Ускорение свободного падения принять равным $10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-220]]","widgets":{"fill_choice_big-220":{"type":"fill_choice_big","options":["$80$","$100$","$120$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц:<br />   — Масса: $m = 100\\,\\text{г} = 0.1\\,\\text{кг}$.<br />   — Высота: $h = 100\\,\\text{м}$.<br /><br />2. Расчет потенциальной энергии:<br />   В начальный момент шарик обладает потенциальной энергией:<br />   $$E_{\\text{пот}} = mgh = 0.1\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 100\\,\\text{м} = 100\\,\\text{Дж}.$$<br />3. Учет потерь энергии:<br />   По условию, $20\\,\\text{Дж}$ теряется на сопротивление воздуха. Согласно закону сохранения энергии:<br />   $$E_{\\text{кин}} = E_{\\text{пот}} -\\Delta E = 100\\,\\text{Дж} -20\\,\\text{Дж} = 80\\,\\text{Дж}.$$<br />Ответ: $80$"]},{"content":"Шайба массой $40\\,\\text{г}$ поднимается по гладкой наклонной плоскости на максимальную высоту $0.2\\,\\text{м}$ относительно начального положения. Определите кинетическую энергию шайбы в начальном положении. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-241]]","widgets":{"fill_choice_big-241":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.08$","$0.2$","$0.22$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц массы:  <br />   Массу переводим в килограммы:  <br />   $$m = 40\\,\\text{г} = 0.04\\,\\text{кг}.$$<br />2. Применение закона сохранения энергии:  <br />   — В начальном положении шайба обладает только кинетической энергией:  $$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv^2}{2}.$$ — В конечном положении (на высоте $h = 0.2\\,\\text{м}$) скорость шайбы равна нулю, и вся кинетическая энергия переходит в потенциальную:  <br />     $$E_{\\text{пот}} = mgh.$$  <br />3. Вычисление кинетической энергии:  <br />   По закону сохранения энергии:  <br />   $$E_{\\text{кин}} = E_{\\text{пот}} = mgh.$$  <br />   Подставляем значения:  <br />   $$E_{\\text{кин}} = 0.04\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 0.2\\,\\text{м} = 0.08\\,\\text{Дж}.$$<br />Ответ: $0.08$"]},{"content":"Автомобиль с выключенным двигателем начинает движение под уклон с углом $30^\\circ$ к горизонту. Проехав $10\\,\\text{м}$, он выходит на горизонтальный участок дороги. Определите скорость автомобиля в момент выезда на горизонтальный участок. Трением пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в метрах в секунду.[[fill_choice_big-262]]","widgets":{"fill_choice_big-262":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$20$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Определение высоты спуска:<br />   Высота $h$, на которой находился автомобиль в начале движения, рассчитывается через пройденное расстояние $l = 10\\,\\text{м}$ и угол наклона $\\alpha = 30^\\circ$:<br />   $$h = l \\cdot \\sin\\alpha = 10\\,\\text{м} \\cdot \\sin 30^\\circ = 10\\,\\text{м} \\cdot 0.5 = 5\\,\\text{м}.$$<br />2. Применение закона сохранения энергии:<br />   — В начальный момент (на высоте $h$) автомобиль обладает потенциальной энергией:$$E_{\\text{пот}} = mgh.$$<br />   — На горизонтальном участке (высота $h = 0$) вся потенциальная энергия переходит в кинетическую: $$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv^2}{2}.$$<br />3. Уравнение сохранения энергии:<br />   $$mgh = \\frac{mv^2}{2}.$$<br />4. Вычисление скорости:<br />   — Сокращаем массу $m$: $$gh = \\frac{v^2}{2}.$$<br />   — Выражаем скорость: $$v = \\sqrt{2gh}.$$<br />   — Подставляем значения: $$v = \\sqrt{2 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 5\\,\\text{м}} = \\sqrt{100} = 10\\,\\text{м/с}.$$<br />Ответ: $10$"]},{"content":"Мяч массой $100\\,\\text{г}$ падает с высоты без начальной скорости. При ударе о землю его кинетическая энергия составляет $6\\,\\text{Дж}$, а потеря энергии на сопротивление воздуха равна $1\\,\\text{Дж}$. Определите высоту, с которой упал мяч. Ускорение свободного падения $g=10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-283]]","widgets":{"fill_choice_big-283":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$15$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц массы:<br />   $$m = 100\\,\\text{г} = 0.1\\,\\text{кг}$$<br />2. Анализ энергетических изменений:<br />   — Начальная энергия (потенциальная): $$E_{\\text{нач}} = mgh$$<br />   — Конечная энергия (кинетическая): $$E_{\\text{кон}} = 6\\,\\text{Дж}$$<br />   — Потери энергии: $$\\Delta E = 1\\,\\text{Дж}$$<br />3. Применение закона сохранения энергии:<br />   $$mgh = E_{\\text{кон}} + \\Delta E$$  $$0.1\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot h = 6\\,\\text{Дж} + 1\\,\\text{Дж}$$<br />4. Решение уравнения:<br />   $$1\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}^2 \\cdot h = 7\\,\\text{Дж}$$  $$h = \\frac{7\\,\\text{Дж}}{1\\,\\text{Н}} = 7\\,\\text{м}$$<br />Ответ:  $7$"]},{"content":"Пружина при растяжении на $2\\,\\text{см}$ обладает потенциальной энергией $2\\,\\text{Дж}$. Определите модуль изменения потенциальной энергии при уменьшении растяжения пружины на $0.5\\,\\text{см}$. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-304]]","widgets":{"fill_choice_big-304":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.875$","$0.7$","$0.555$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула потенциальной энергии пружины:<br />   $$E_p = \\frac{kx^2}{2},$$ где:<br />   — $k$ — жесткость пружины,<br />   — $x$ — величина деформации.<br /><br />2. Нахождение жесткости пружины:<br />   Для начального состояния ($x_1 = 2\\,\\text{см} = 0.02\\,\\text{м}$):<br />   $$2\\,\\text{Дж} = \\frac{k \\cdot (0.02\\,\\text{м})^2}{2}$$<br />   $$k = \\frac{4\\,\\text{Дж}}{(0.02\\,\\text{м})^2} = 10\\ 000\\,\\text{Н/м}$$<br />3. Расчет изменения энергии:<br />   — Новая деформация: $x_2 = 2\\,\\text{см} -0.5\\,\\text{см} = 1.5\\,\\text{см} = 0.015\\,\\text{м}$<br />   — Изменение энергии:<br />     $$\\Delta E_p = \\frac{k}{2}(x_1^2 -x_2^2)$$<br />     $$\\Delta E_p = \\frac{10\\ 000}{2} \\left( (0.02)^2 -(0.015)^2 \\right)$$<br />     $$\\Delta E_p = 5\\ 000 \\left( 0.0004 -0.000225 \\right) = 0.875\\,\\text{Дж}$$<br />Ответ:  $0.875$"]}]}

{"questions":[{"content":"Тело массой $600\\,\\text{г}$, брошенное вертикально вверх с поверхности Земли, достигло максимальной высоты $8\\,\\text{м}$. Какой кинетической энергией обладало тело в момент броска? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-10]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$48$","$36$","$22$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц массы:<br />   $$m = 600\\,\\text{г} = 0.6\\,\\text{кг}$$<br />2. Применение закона сохранения энергии:<br />   — В момент броска (у поверхности Земли) тело обладает только кинетической энергией:<br />     $$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv^2}{2}$$- В верхней точке траектории (на высоте $h = 8\\,\\text{м}$) скорость тела равна нулю, и вся кинетическая энергия перешла в потенциальную:<br />     $$E_{\\text{пот}} = mgh$$<br />3. Расчет кинетической энергии:<br />   По закону сохранения энергии:<br />   $$E_{\\text{кин}} = E_{\\text{пот}} = mgh$$Подставляем значения:<br />   $$E_{\\text{кин}} = 0.6\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 8\\,\\text{м} = 48\\,\\text{Дж}$$<br />Ответ: $48$"]},{"content":"Камень массой $2\\,\\text{кг}$, брошенный вертикально вверх с поверхности Земли, обладает начальной кинетической энергией $100\\,\\text{Дж}$. На какую максимальную высоту поднимется камень? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в метрах.[[fill_choice_big-9]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$6$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения энергии:<br />   В момент броска камень обладает только кинетической энергией:<br />   $$E_{\\text{кин}} = 100\\,\\text{Дж}$$ В верхней точке подъема скорость камня равна нулю, поэтому вся кинетическая энергия перешла в потенциальную:<br />   $$E_{\\text{пот}} = mgh$$<br />2. Приравнивание энергий:<br />   $$E_{\\text{кин}} = E_{\\text{пот}}$$  $$100\\,\\text{Дж} = 2\\,\\text{кг} \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot h$$<br />3. Вычисление высоты:<br />   $$h = \\frac{100\\,\\text{Дж}}{20\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}^2} = 5\\,\\text{м}$$<br />Ответ: $5$"]},{"content":"Камень брошен вертикально вверх с поверхности Земли и достиг максимальной высоты $5\\,\\text{м}$. Определите начальную скорость камня. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в метрах в секунду.<br />[[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$20$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения энергии:<br />   В момент броска камень обладает только кинетической энергией:<br />   $$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv_0^2}{2}$$ В верхней точке траектории (на высоте $h = 5\\,\\text{м}$) скорость камня равна нулю, и вся энергия перешла в потенциальную:<br />   $$E_{\\text{пот}} = mgh$$<br />2. Приравнивание энергий:<br />   $$\\frac{mv_0^2}{2} = mgh$$<br />3. Вывод формулы для скорости:<br />   Сокращаем массу $m$ с обеих сторон:<br />   $$\\frac{v_0^2}{2} = gh$$ Выражаем начальную скорость:<br />   $$v_0 = \\sqrt{2gh}$$<br />4. Подстановка значений:<br />   $$v_0 = \\sqrt{2 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 5\\,\\text{м}} = \\sqrt{100} = 10\\,\\text{м/с}$$<br />Ответ: $10$"]},{"content":"Тело брошено вертикально вверх с поверхности Земли и достигло максимальной высоты $12.8\\,\\text{м}$. Определите начальную скорость тела. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10\\,\\text{м/с}^2$. Ответ дайте в метрах в секунду.[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$15$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения энергии:<br />   — В момент броска тело обладает кинетической энергией:$$E_{\\text{кин}} = \\frac{mv_0^2}{2}$$ — В верхней точке траектории (на высоте $h = 12.8\\,\\text{м}$) скорость тела равна нулю, и вся энергия перешла в потенциальную:<br />     $$E_{\\text{пот}} = mgh$$<br />2. Приравнивание энергий:<br />   $$\\frac{mv_0^2}{2} = mgh$$<br />3. Вывод формулы для начальной скорости:<br />   Сокращаем массу $m$ с обеих сторон:<br />   $$\\frac{v_0^2}{2} = gh$$Выражаем начальную скорость:<br />   $$v_0 = \\sqrt{2gh}$$<br />4. Подстановка значений и вычисления:<br />   $$v_0 = \\sqrt{2 \\cdot 10\\,\\text{м/с}^2 \\cdot 12.8\\,\\text{м}}$$ $$v_0 = \\sqrt{256} = 16\\,\\text{м/с}$$<br /><br />5. Проверка размерности:<br />   $$\\sqrt{\\text{м/с}^2 \\cdot \\text{м}} = \\sqrt{\\text{м}^2/\\text{с}^2} = \\text{м/с}$$<br />Ответ: $16$"]},{"content":"При упругой деформации пружины на $3\\,\\text{см}$ ее потенциальная энергия составляет $6\\,\\text{Дж}$. Определите, на сколько изменится потенциальная энергия пружины при увеличении деформации еще на $3\\,\\text{см}$. Ответ дайте в джоулях.[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$12$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула потенциальной энергии пружины:<br />   $$E_p = \\frac{kx^2}{2},$$ где:<br />   — $k$ — жесткость пружины,<br />   — $x$ — величина деформации.<br /><br />2. Определение жесткости пружины:<br />   Для начальной деформации $x_1 = 3\\,\\text{см} = 0.03\\,\\text{м}$:<br />   $$6\\,\\text{Дж} = \\frac{k \\cdot (0.03\\,\\text{м})^2}{2}$$ $$k = \\frac{12\\,\\text{Дж}}{(0.03\\,\\text{м})^2} = 13333.33\\,\\text{Н/м}$$<br />3. Расчет новой потенциальной энергии:<br />   — Новая деформация: $x_2 = 3\\,\\text{см} + 3\\,\\text{см} = 6\\,\\text{см} = 0.06\\,\\text{м}$<br />   — Новая энергия:<br />     $$E_{p2} = \\frac{13333.33\\,\\text{Н/м} \\cdot (0.06\\,\\text{м})^2}{2} = 24\\,\\text{Дж}$$<br />4. Вычисление изменения энергии:<br />   $$\\Delta E_p = E_{p2} -E_{p1} = 24\\,\\text{Дж} -6\\,\\text{Дж} = 18\\,\\text{Дж}$$<br />Ответ: $18$"]},{"content":"Груз массой $280\\,\\text{г}$ обладает кинетической энергией $45.36\\,\\text{Дж}$. Определите скорость движения груза. Ответ дайте в метрах в секунду.[[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$14$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод единиц массы:<br />   $$m = 280\\,\\text{г} = 0.28\\,\\text{кг}$$<br />2. Формула кинетической энергии:<br />   $$E_k = \\frac{mv^2}{2}$$<br />3. Вывод формулы для скорости:<br />   $$v = \\sqrt{\\frac{2E_k}{m}}$$<br />4. Подстановка значений и вычисления:<br />   $$v = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 45.36\\,\\text{Дж}}{0.28\\,\\text{кг}}} = \\sqrt{\\frac{90.72}{0.28}} = \\sqrt{324} = 18\\,\\text{м/с}$$<br />Ответ: $18$"]},{"content":"При равномерном перемещении саней по горизонтальному пути длиной $50\\,\\text{м}$ сила тяги совершает работу $1\\ 000\\,\\text{Дж}$. Определите силу трения скольжения. Ответ дайте в ньютонах.[[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$30$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Физические условия задачи:<br />   — Движение равномерное ($\\sum \\vec{F} = 0$)<br />   — Сила тяги $F_{\\text{тяги}}$ уравновешивает силу трения $F_{\\text{тр}}$<br />   — Путь $s = 50\\,\\text{м}$<br />   — Работа $A = 1000\\,\\text{Дж}$<br /><br />2. Формула работы силы:<br />   $$A = F_{\\text{тяги}} \\cdot s$$<br />3. Вычисление силы тяги:<br />   $$F_{\\text{тяги}} = \\frac{A}{s} = \\frac{1000\\,\\text{Дж}}{50\\,\\text{м}} = 20\\,\\text{Н}$$<br />4. Определение силы трения:<br />   Так как движение равномерное:<br />   $$F_{\\text{тр}} = F_{\\text{тяги}} = 20\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $20$"]},{"content":"Легковой автомобиль движется со скоростью $v_1 = 108\\,\\text{км/ч}$, а грузовик — со скоростью $v_2 = 54\\,\\text{км/ч}$. Масса грузовика $m = 3\\ 000\\,\\text{кг}$. Определите массу легкового автомобиля $M$, если импульс грузовика превышает импульс автомобиля на $15\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\ 000$","$2\\ 000$","$4\\ 000$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод скоростей в м/с: $$v_1 = 108\\,\\text{км/ч} = \\frac{108}{3.6} = 30\\,\\text{м/с}$$ $$v_2 = 54\\,\\text{км/ч} = \\frac{54}{3.6} = 15\\,\\text{м/с}$$<br />2. Формулы импульсов:<br />   — Импульс автомобиля: $p_1 = Mv_1 = M \\cdot 30\\,\\text{м/с}$<br />   — Импульс грузовика: $p_2 = mv_2 = 3\\ 000\\,\\text{кг} \\cdot 15\\,\\text{м/с} = 45\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$<br /><br />3. Уравнение по условию задачи:<br />   $$p_2 = p_1 + 15\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$ $$45\\ 000 = 30M + 15\\ 000$$<br />4. Решение уравнения:<br />   $$30M = 45\\ 000 — 15\\ 000$$ $$30M = 30\\ 000$$ $$M = \\frac{30\\ 000}{30} = 1\\ 000\\,\\text{кг}$$<br />Ответ: $1\\ 000$"]},{"content":"Легковой автомобиль массой $m_1 = 1\\ 000\\,\\text{кг}$ движется со скоростью $v_1 = 108\\,\\text{км/ч}$, а грузовик массой $m_2 = 3\\ 000\\,\\text{кг}$ — со скоростью $v_2 = 54\\,\\text{км/ч}$. На сколько импульс грузовика больше импульса легкового автомобиля? Ответ дайте в $\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$.[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$15\\ 000$","$30\\ 000$","$5\\ 000$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Перевод скоростей в СИ:<br />   $$v_1 = 108\\,\\text{км/ч} = \\frac{108}{3.6} = 30\\,\\text{м/с}$$ $$v_2 = 54\\,\\text{км/ч} = \\frac{54}{3.6} = 15\\,\\text{м/с}$$<br />2. Расчет импульсов:<br />   — Импульс автомобиля:<br />     $$p_1 = m_1 v_1 = 1\\ 000\\,\\text{кг} \\cdot 30\\,\\text{м/с} = 30\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$  — Импульс грузовика:<br />     $$p_2 = m_2 v_2 = 3\\ 000\\,\\text{кг} \\cdot 15\\,\\text{м/с} = 45\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />3. Вычисление разности импульсов:<br />   $$\\Delta p = p_2 -p_1 = 45\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} -30\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 15\\ 000\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />Ответ: $15\\ 000$"]},{"content":"Легковой автомобиль массой $m_1 = 1\\ 000\\,\\text{кг}$ движется со скоростью $v_1 = 108\\,\\text{км/ч}$, а грузовик массой $m_2 = 3\\ 000\\,\\text{кг}$ — со скоростью $v_2 = 54\\,\\text{км/ч}$. Во сколько раз импульс грузовика больше импульса легкового автомобиля?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5$","$1.6$","$3.6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формулы импульсов:<br />   — Импульс автомобиля: $p_1 = m_1 v_1$<br />   — Импульс грузовика: $p_2 = m_2 v_2$<br /><br />2. Вычисление отношения импульсов:<br />   $$\\frac{p_2}{p_1} = \\frac{m_2 v_2}{m_1 v_1} = \\frac{3\\ 000\\,\\text{кг} \\cdot 54\\,\\text{км/ч}}{1\\ 000\\,\\text{кг} \\cdot 108\\,\\text{км/ч}}$$<br />3. Упрощение выражения:<br />   — Сокращаем массы: $\\frac{3\\ 000}{1\\ 000} = 3$<br />   — Сокращаем скорости: $\\frac{54}{108} = 0.5$<br />   — Получаем: $3 \\cdot 0.5 = 1.5$<br /><br />4. Итоговый результат:<br />   Импульс грузовика больше импульса автомобиля в $1.5$ раза.<br /><br />Ответ: $1.5$"]}]}

{"questions":[{"content":"Легковой автомобиль движется со скоростью $v_1 = 108\\,\\text{км/ч}$, а грузовик массой $m = 4500\\,\\text{кг}$ — со скоростью $v_2 = 54\\,\\text{км/ч}$. Определите массу легкового автомобиля $M$, если импульс грузовика превышает импульс автомобиля в $1.5$ раза. Ответ дайте в килограммах.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\ 500$","$4\\ 500$","$3\\ 000$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формулы импульсов:<br />  — Импульс автомобиля: $p_1 = Mv_1$<br />  — Импульс грузовика: $p_2 = mv_2$<br /><br />2. Соотношение импульсов по условию:<br />   $$p_2 = 1.5 p_1$$ $$mv_2 = 1.5 Mv_1$$<br />3. Вывод формулы для массы автомобиля:<br />   $$M = \\frac{mv_2}{1.5 v_1}$$<br />4. Подстановка значений:<br />   $$M = \\frac{4500\\,\\text{кг} \\cdot 54\\,\\text{км/ч}}{1.5 \\cdot 108\\,\\text{км/ч}} = 1\\ 500\\,\\text{кг}$$<br />Ответ:  $1\\ 500$"]},{"content":"Тело массой $2\\,\\text{кг}$ движется прямолинейно под действием постоянной силы $3\\,\\text{Н}$. На сколько увеличится импульс тела за $5\\,\\text{с}$ движения? Ответ дайте в $\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$.[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$30$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула изменения импульса:<br />   Изменение импульса тела равно произведению силы на время ее действия:<br />   $$\\Delta p = F \\cdot \\Delta t$$<br />2. Подстановка значений:<br />   $$\\Delta p = 3\\,\\text{Н} \\cdot 5\\,\\text{с} = 15\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />Ответ: $15$"]},{"content":"Тело массой $2\\,\\text{кг}$ движется прямолинейно под действием постоянной силы. За $2\\,\\text{с}$ его скорость изменилась на $6\\,\\text{м/с}$. Определите модуль действующей силы. Ответ дайте в ньютонах.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$8$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Основной закон динамики:<br />   Согласно второму закону Ньютона:<br />   $$F = \\frac{\\Delta p}{\\Delta t}$$ где $\\Delta p$ — изменение импульса, $\\Delta t$ — время действия силы.<br /><br />2. Вычисление изменения импульса:<br />   $$\\Delta p = m \\cdot \\Delta v = 2\\,\\text{кг} \\cdot 6\\,\\text{м/с} = 12\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />3. Расчет силы:<br />   $$F = \\frac{\\Delta p}{\\Delta t} = \\frac{12\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}}{2\\,\\text{с}} = 6\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $6$"]},{"content":"Отношение массы автобуса к массе легкового автомобиля составляет $8:1.$ Каково отношение их скоростей, если отношение импульса автобуса к импульсу легкового автомобиля равно $4?$[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.2$","$1.2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Дано:<br />  — Отношение масс: $\\frac{m_1}{m_2} = 8$<br />  — Отношение импульсов: $\\frac{p_1}{p_2} = 4$<br /><br />2. Формулы импульсов:<br />  — Импульс автобуса: $p_1 = m_1 v_1$<br />  — Импульс автомобиля: $p_2 = m_2 v_2$<br /><br />3. Соотношение импульсов:<br />   $$\\frac{p_1}{p_2} = \\frac{m_1 v_1}{m_2 v_2} = 4$$<br />4. Подстановка отношения масс:<br />   $$8 \\cdot \\frac{v_1}{v_2} = 4$$<br />5. Вычисление отношения скоростей:<br />   $$\\frac{v_1}{v_2} = \\frac{4}{8} = 0.5$$<br />Ответ: $0.5$"]},{"content":"Тело движется прямолинейно в инерциальной системе отсчета под действием постоянной силы величиной $5\\,\\text{Н}$. За $4\\,\\text{с}$ импульс тела увеличился и стал равен $35\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. Чему был равен начальный импульс тела? Ответ дайте в $\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$30$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула изменения импульса:<br />   $$\\Delta p = F \\cdot \\Delta t$$ $$\\Delta p = 5\\,\\text{Н} \\cdot 4\\,\\text{с} = 20\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />2. Связь начального и конечного импульса:<br />   $$p_{\\text{кон}} = p_{\\text{нач}} + \\Delta p$$<br />3. Вычисление начального импульса:<br />   $$35\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = p_{\\text{нач}} + 20\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />   $$p_{\\text{нач}} = 35\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}- 20\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 15\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />Ответ: $15$"]},{"content":"Тело массой $3\\,\\text{кг}$ движется со скоростью $4\\,\\text{м/с}$. Через какое время тело остановится, если на него начинает действовать постоянная сила $6\\,\\text{Н}$, направленная противоположно движению? Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Исходные данные:<br />  — Масса тела: $m = 3\\,\\text{кг}$<br />  — Начальная скорость: $v_0 = 4\\,\\text{м/с}$<br />  — Сила торможения: $F = 6\\,\\text{Н}$ (направлена противоположно движению)<br /><br />2. Формула изменения импульса:<br />   Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме:<br />   $$F \\cdot t = \\Delta p = m \\cdot \\Delta v$$<br />3. Расчет времени остановки:<br />  — Изменение скорости при остановке: $\\Delta v = v_0 = 4\\,\\text{м/с}$<br />  — Время до остановки:<br />     $$t = \\frac{m \\cdot \\Delta v}{F} = \\frac{3\\,\\text{кг} \\cdot 4\\,\\text{м/с}}{6\\,\\text{Н}} = 2\\,\\text{с}$$<br />Ответ: $2$"]},{"content":"Отношение импульса легкового автомобиля к импульсу мотоцикла составляет $5:1.$ При этом отношение массы автомобиля к массе мотоцикла равно $2.5:1.$ Определите отношение скоростей автомобиля и мотоцикла.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$1$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Дано:<br />  — Отношение импульсов: $\\frac{p_1}{p_2} = 5$<br />  — Отношение масс: $\\frac{m_1}{m_2} = 2.5$<br /><br />2. Формулы импульсов:<br />  — Импульс автомобиля: $p_1 = m_1 v_1$<br />  — Импульс мотоцикла: $p_2 = m_2 v_2$<br /><br />3. Выражение для скоростей:<br />   $$v_1 = \\frac{p_1}{m_1}, \\quad v_2 = \\frac{p_2}{m_2}$$<br />4. Расчет отношения скоростей:<br />   $$\\frac{v_1}{v_2} = \\frac{p_1}{p_2} \\cdot \\frac{m_2}{m_1} = 5 \\cdot \\frac{1}{2.5} = 2$$<br />Ответ: $2$"]},{"content":"Легковой автомобиль массой $m_1 = 1\\ 000\\,\\text{кг}$ и грузовик массой $m_2 = 3\\ 000\\,\\text{кг}$ движутся по дороге. Определите отношение скорости грузовика к скорости легкового автомобиля $\\frac{v_2}{v_1}$, если отношение их импульсов $\\frac{p_2}{p_1} = 1.5$.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$2$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формулы импульсов:<br />  — Импульс автомобиля: $p_1 = m_1 v_1$<br />  — Импульс грузовика: $p_2 = m_2 v_2$<br /><br />2. Условие задачи:<br />   $$\\frac{p_2}{p_1} = 1.5 \\Rightarrow m_2 v_2 = 1.5 m_1 v_1$$<br />3. Вывод отношения скоростей:<br />   $$\\frac{v_2}{v_1} = \\frac{1.5 m_1}{m_2}$$<br />4. Подстановка значений масс:<br />   $$\\frac{v_2}{v_1} = \\frac{1.5 \\cdot 1\\ 000\\,\\text{кг}}{3\\ 000\\,\\text{кг}} = \\frac{1\\ 500}{3\\ 000} = 0.5$$<br />Ответ: $0.5$"]},{"content":"Даны два тела с отношением масс $\\frac{m_1}{m_2} = 2.2$ и отношением скоростей $\\frac{v_1}{v_2} = 0.6$. Найдите отношение импульсов этих тел $\\frac{p_1}{p_2}$.[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.32$","$1.5$","$1.68$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Формула импульса тела:<br />   $$p = m \\cdot v$$<br />2. Выражение для импульсов каждого тела:<br />  — Импульс первого тела: $p_1 = m_1 v_1$<br />  — Импульс второго тела: $p_2 = m_2 v_2$<br /><br />3. Расчет отношения импульсов:<br />   $$\\frac{p_1}{p_2} = \\frac{m_1}{m_2} \\cdot \\frac{v_1}{v_2} = 2.2 \\cdot 0.6 = 1.32$$<br />Ответ: $1.32$"]},{"content":"В инерциальной системе отсчета тело движется прямолинейно под действием постоянной силы $F = 20\\,\\text{Н}$. Начальный импульс тела составляет $p_1 = 70\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. Каким будет модуль импульса тела через $4\\,\\text{с}?$ Ответ дайте в $\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$.[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$150$","$300$","$450$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Основной закон динамики:<br />   Второй закон Ньютона в импульсной форме:<br />   $$F \\cdot \\Delta t = \\Delta p = p_2- p_1$$<br />2. Вычисление изменения импульса:<br />   $$\\Delta p = 20\\,\\text{Н} \\cdot 4\\,\\text{с} = 80\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />3. Определение конечного импульса:<br />   $$p_2 = p_1 + \\Delta p = 70\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} + 80\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 150\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />Ответ: $150$"]}]}

{"questions":[{"content":"Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы $F = 40\\,\\text{Н}$, направленной вдоль линии движения. Импульс тела уменьшился с $200\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$ до $120\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. <br />Определите время, за которое произошло это изменение. Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Изменение импульса:<br />   $$\\Delta p = p_{\\text{кон}}- p_{\\text{нач}} $$ $$ 120\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}- 200\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = -80\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$ Модуль изменения: $|\\Delta p| = 80\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$<br /><br />2. Второй закон Ньютона:<br />   $$F = \\frac{\\Delta p}{\\Delta t}$$<br />3. Вычисление времени:<br />   $$\\Delta t = \\frac{|\\Delta p|}{F} = \\frac{80\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}}{40\\,\\text{Н}} = 2\\,\\text{с}$$<br />Ответ: $2$"]},{"content":"Тело движется прямолинейно с начальным импульсом $p_1 = 60\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. Под действием постоянной силы $F = 10\\,\\text{Н}$, направленной вдоль линии движения, за время $\\Delta t = 5\\,\\text{с}$ импульс тела уменьшился. <br />Определите конечный импульс тела. Ответ дайте в $\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$.[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$0$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Согласно второму закону Ньютона:<br />   $$\\Delta p = F \\cdot \\Delta t$$ $$\\Delta p = 10\\,\\text{Н} \\cdot 5\\,\\text{с} = 50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />2. Поскольку сила направлена против движения (импульс уменьшается):<br />   $$p_2 = p_1- \\Delta p = 60\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}- 50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 10\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />Ответ: $10$"]},{"content":"Тело движется прямолинейно с начальным импульсом $p_1 = 30\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. Под действием постоянной силы $F = 5\\,\\text{Н}$, направленной против движения, за время $\\Delta t = 6\\,\\text{с}$ импульс тела уменьшился. <br />Определите конечный импульс тела. Ответ дайте в $\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$0$","$2$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Согласно второму закону Ньютона:<br />   $$\\Delta p = -F \\cdot \\Delta t$$ Знак «минус» указывает на уменьшение импульса.<br /><br />2. Расчет изменения импульса:<br />   $$\\Delta p = -5\\,\\text{Н} \\cdot 6\\,\\text{с} = -30\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />3. Определение конечного импульса:<br />   $$p_2 = p_1 + \\Delta p = 30\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}- 30\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 0$$<br />4. Результат показывает, что тело полностью остановилось под действием силы.<br /><br />Ответ: $0$"]},{"content":"Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы $F = 10\\,\\text{Н}$, направленной вдоль линии движения. <br />Определите время $\\Delta t$, за которое импульс тела изменится на $\\Delta p = 50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. Ответ дайте в секундах.[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$8$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Второй закон Ньютона в импульсной форме:<br />   $$F = \\frac{\\Delta p}{\\Delta t}$$<br />2. Вывод формулы для времени:<br />   $$\\Delta t = \\frac{\\Delta p}{F}$$<br />3. Подстановка значений:<br />   $$\\Delta t = \\frac{50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}}{10\\,\\text{Н}} = 5\\,\\text{с}$$<br />Ответ: $5$"]},{"content":"Тележка массой $50\\,\\text{кг}$ с мальчиком массой $50\\,\\text{кг}$ движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью $1\\,\\text{м/с}$. Мальчик прыгает с тележки со скоростью $2\\,\\text{м/с}$ относительно дороги в направлении, противоположном первоначальному движению. <br />Определите скорость тележки после прыжка. Ответ дайте в метрах в секунду.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения импульса:<br />   $$\\vec{p}_{\\text{нач}} = \\vec{p}_{\\text{кон}}$$ $$(M + m)v_0 = MV- mv$$<br />2. Подстановка значений:<br />  — Общая масса системы: $M + m = 50\\,\\text{кг} + 50\\,\\text{кг} = 100\\,\\text{кг}$<br />  — Начальный импульс: $100\\,\\text{кг} \\cdot 1\\,\\text{м/с} = 100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$<br />  — Импульс мальчика после прыжка: $50\\,\\text{кг} \\cdot 2\\,\\text{м/с} = 100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$ (противоположно направлен)<br /><br />3. Уравнение сохранения импульса:<br />   $$100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 50\\,\\text{кг} \\cdot V- 100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$ $$200\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 50\\,\\text{кг} \\cdot V$$<br />4. Вычисление скорости тележки:<br />   $$V = \\frac{200\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}}{50\\,\\text{кг}} = 4\\,\\text{м/с}$$<br />Ответ: $4$"]},{"content":"Тележка массой $50\\,\\text{кг}$ с мальчиком массой $50\\,\\text{кг}$ движется слева направо по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью $1\\,\\text{м/с}$. Мальчик прыгает с тележки в направлении первоначального движения со скоростью $3\\,\\text{м/с}$ относительно дороги. <br />Определите модуль скорости тележки после прыжка. Ответ дайте в метрах в секунду.[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения импульса:<br />   $$\\vec{p}_{\\text{нач}} = \\vec{p}_{\\text{кон}}$$ $$(M + m)v_0 = mv + MV$$<br />2. Подстановка значений:<br />  — Общая масса системы: $M + m = 50\\,\\text{кг} + 50\\,\\text{кг} = 100\\,\\text{кг}$<br />  — Начальный импульс: $100\\,\\text{кг} \\cdot 1\\,\\text{м/с} = 100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$<br />  — Импульс мальчика после прыжка: $50\\,\\text{кг} \\cdot 3\\,\\text{м/с} = 150\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$ (вправо)<br /><br />3. Уравнение сохранения импульса:<br />   $$100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 150\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} + 50\\,\\text{кг} \\cdot V$$ $$-50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 50\\,\\text{кг} \\cdot V$$<br />4. Вычисление скорости тележки:<br />   $$V = -1\\,\\text{м/с}$$<br />5. Модуль скорости равен $1\\,\\text{м/с}$.<br /><br />Ответ: $1$"]},{"content":"Тележка массой $50\\,\\text{кг}$ с мальчиком массой $50\\,\\text{кг}$ движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью $1\\,\\text{м/с}$. Мальчик прыгает с тележки в направлении ее первоначального движения со скоростью $2\\,\\text{м/с}$ относительно дороги. <br />Определите модуль скорости тележки после прыжка. Ответ дайте в метрах в секунду.[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$0$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Закон сохранения импульса:<br />   $$\\vec{p}_{\\text{нач}} = \\vec{p}_{\\text{кон}}$$$$(M + m)v_0 = mv + MV$$<br />2. Подстановка значений:<br />  — Общая масса системы: $M + m = 50\\,\\text{кг} + 50\\,\\text{кг} = 100\\,\\text{кг}$<br />  — Начальный импульс: $100\\,\\text{кг} \\cdot 1\\,\\text{м/с} = 100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$<br />  — Импульс мальчика после прыжка: $50\\,\\text{кг} \\cdot 2\\,\\text{м/с} = 100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$<br /><br />3. Уравнение сохранения импульса:<br />   $$100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 100\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} + 50\\,\\text{кг} \\cdot V$$$$0 = 50\\,\\text{кг} \\cdot V$$<br />4. Вычисление скорости тележки:<br />   $$V = 0\\,\\text{м/с}$$<br />5. Тележка полностью останавливается, так как весь ее начальный импульс перешел к мальчику.<br /><br />Ответ: $0$"]},{"content":"Под действием постоянной силы за $10\\,\\text{с}$ импульс тела, движущегося прямолинейно, изменился на $50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. <br />Определите модуль действующей силы. Ответ дайте в ньютонах.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$2$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Согласно второму закону Ньютона:<br />   $$F = \\frac{\\Delta p}{\\Delta t}$$<br />2. Подстановка значений:<br />   $$F = \\frac{50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}}{10\\,\\text{с}} = 5\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $5$"]},{"content":"Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы, направленной вдоль линии движения. За $3\\,\\text{с}$ импульс тела увеличился с $5\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$ до $50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$. <br />Определите модуль действующей силы. Ответ дайте в ньютонах.[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$30$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Изменение импульса:<br />   $$\\Delta p = p_{\\text{кон}}- p_{\\text{нач}} = 50\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}- 5\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с} = 45\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br />2. Второй закон Ньютона:<br />   $$F = \\frac{\\Delta p}{\\Delta t}$$<br />3. Расчет силы:<br />   $$F = \\frac{45\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}}{3\\,\\text{с}} = 15\\,\\text{Н}$$<br />Ответ: $15$"]},{"content":"Тело движется прямолинейно в инерциальной системе отсчета под действием постоянной силы $F = 8\\,\\text{Н}$. <br />На сколько изменится импульс тела за $4\\,\\text{с}?$ Ответ дайте в $\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$.[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$32$","$16$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["1. Согласно второму закону Ньютона:<br />   $$\\Delta p = F \\cdot \\Delta t$$<br />2. Подстановка значений:<br />   $$\\Delta p = 8\\,\\text{Н} \\cdot 4\\,\\text{с} = 32\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м/с}$$<br /><br />Ответ: $32$"]}]}