Одночлены: сложение и вычитание. Подобные одночлены

Предыдущий урок познакомил вас с понятием одночлена, его коэффициентом и стандартным видом. Эти знания пригодятся на данном занятии, где мы научимся простейшим действиям: складывать и вычитать одночлены. Вы узнаете также, со всеми ли из них можно выполнять данные действия, а также какие одночлены называют подобными.

Итак, попробуем в качестве примера сложить два выражения: $$-4fx^3\times n^2b^2\times 20x$$

и

$$-38f\times b^2$$ Как видим, оба они являются одночленами. Для любых действий сначала по правилу каждый одночлен нам необходимо привести к стандартному виду. С помощью тождественных преобразований получим: $$-80b^2fn^2x^4$$

и

$-38b^2f$

Можно ли складывать такие одночлены? Правило гласит:

Складывать или вычитать можно только подобные одночлены.

Выясним, что это значит.

Какие одночлены являются подобными 

Нужно запомнить:

Одночлены, имеющие полностью одинаковый состав букв и их степеней, называются подобными.

Приведем пример таких одночленов:

$-14\textcolor{blue}{nz^5}$ и $69,3\textcolor{blue}{z^5n}$

еще:

$\textcolor{blue}{t^7}\textcolor{green}{h^3}\times 21\textcolor{green}{h^2}$ и $5,75\textcolor{green}{h^5}\textcolor{blue}{t^7}$

и еще:

$\frac {1}{7}\times \textcolor{green}{b^3}\textcolor{blue}{y^2}\times 8\textcolor{orange}{a}$ и $\textcolor{orange}{a}\textcolor{green}{b^3}\textcolor{blue}{y^2}\times 9,4$

Во всех примерах выше одночлены имеют одинаковую буквенную часть с повторяющимися в точности показателями их степеней. Для того чтобы в этом убедиться, часто необходимо привести их предварительно к стандартному виду.

Посмотрим, какие же одночлены не будут подобными. Примеры:

• $6\textcolor{blue}{m}\textcolor{green}{d}$ и $-7\textcolor{green}{d}$, так как во втором одночлене не хватает $m$ в буквенной части;

• $\textcolor{blue}{g^4k^5}\textcolor{orange}{p}$ и $\textcolor{purple}{p^3}\textcolor{blue}{g^4k^5}$, так как в первом одночлене буква $\color{orange}p$ в первой степени, а во втором показатель степени у переменной $\color{purple}p$ равен $\color{purple}3$.

Данные в начале урока одночлены, стандартный вид которых $-80 \color{blue}b^2fn^2x^4$ и $-38 \color{purple}b^2f$, также не являются подобными. Ведь буквенный состав первого $\color{blue}b^2fn^2x^4$ отличается от произведения переменных второго $\color{purple}b^2f$. Следовательно, сложить мы их не можем.

Нужно запомнить:

Складывать и вычитать одночлены, у которых произведения переменных (буквенная часть) отличаются, нельзя.

{"questions":[{"content":"Будут ли подобными одночлены $3rj^2u^9ab\\times 0,5a$ и $7baru^9j^2$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да","Нет"],"explanations":["","Стандартный вид первого одночлена содержит переменную $a$ в квадрате, во втором одночлене $a$ в первой степени."],"answer":[1]}}}]}

Сложение и вычитание одночленов

После того как вы убедились, что одночлены являются подобными, их можно складывать. При этом действию сложения подвергаются только коэффициенты подобных одночленов.

Вспомнить, что является коэффициентом одночлена, можно здесь. Буквенный состав в результате сложения остается всегда неизменным.

Сложим, к примеру, два одночлена:

$\color{green}5 \color{blue}g^3y$ и $\color{green}17 \color{blue}yg^3$

Как видим, буквенная часть у них одинакова: $\color{blue}g^3y$. Складываем лишь коэффициенты $\color{green}5$ и $\color{green}17$. В итоге получим: $$\color{green}5 \textcolor{blue}{g^3y} + \textcolor{green}{17} \textcolor{blue}{yg^3} = \textcolor{green}{22} \textcolor{blue}{g^3y}$$

Аналогичным образом действуем, когда необходимо из одного подобного одночлена вычесть другой подобный одночлен. Разберем пример: $$-74 \textcolor{purple}{ac^5x}-51\color{purple}ac^5x$$ Видим, что одночлены имеют абсолютно одинаковую буквенную часть. Для того чтобы выполнить действие вычитания, в данном случае нужно из коэффициента $-74$ вычесть коэффициент $51$. В итоге получим: $$-125\color{purple}ac^5x$$

Итак, запомним:

Для того чтобы выполнить действия сложения или вычитания над одночленами:

• нужно, в первую очередь, привести их к стандартному виду;
• далее надо убедиться, что одночлены подобны;
• затем необходимо соответственно заданию сложить (или вычесть) их коэффициенты, оставив неизменной буквенную часть.

{"questions":[{"content":"Сложите устно одночлены $u\\times 67d$ и $-17dju$ и выберите правильный ответ:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$84dju$","$50dju$","нет правильного ответа"],"explanations":["","","Буквенная часть данных одночленов отличается, они не подобны, поэтому и складывать их нельзя"],"answer":[2]}}}]}

Сумма противоположных одночленов

Как же действовать, если коэффициенты в сумме или в результате вычитания дают ноль? Например, $\textcolor{coral}{-183} \textcolor{blue}{m^2}+\textcolor{green}{183} \textcolor{blue}{m^2}$. Сумма коэффициентов этих одночленов равна $0$. При умножении на ноль мы и в результате получим $0$. 

Другими словами, сумма противоположных одночленов равна нулю.

{"questions":[{"content":"Посчитайте, чему будет равен результат и выберите правильный ответ: $$18set+32est-50ets$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$80est$","$est$","$0$"],"answer":[2]}}}]}