Признаки делимости на 9 и 3

Ранее мы узнали, как определить, делится ли число без остатка на $10$, на $5$ и $2$. Теперь выясним, как определить, делится ли число на $9$ и на $3$ без остатка.

Признаки делимости на 9

Рассмотрим числа $207$; $33453$; $4869$; $533$ и $9047$. Часть из них будет делиться на $9$ без остатка, а часть — нет. Как это узнать?

Первый способ — делить каждое число столбиком и вычленять те, которые будут делиться без остатка. Это будет довольно долго. Мы можем справиться и быстрее.

Второй способ — посчитать, чему будет равна сумма цифр в натуральном числе.

Если сумма цифр натурального числа делится на $9$ без остатка, то и само число делится на $9$ нацело. Если сумма цифр натурального числа не делится на $9$ без остатка, то и число нацело делиться на $9$ не будет.

Вернемся к нашему числовому ряду: $207$; $33453$; $4869$; $533$ и $9047$.

В числе $207$ сумма цифр будет равна $9$, значит оно будет делиться на $9$.
Сумма цифр числа $33453$ равна $18$, оно тоже будет делиться на $9$.
В числе $4869$ сумма цифр равна $27$, оно разделится на $9$ без остатка.

А вот в числах $533$ и $9047$ сумма цифр будет равна $11$ и $20$. Оба этих числа не будут делиться нацело на число $9$. Значит, оба числа можно разделить на $9$ только с получением остатка.

{"questions":[{"content":"В каком ряду все числа делятся на $9$ без остатка?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$900$; $2 079$; $18 945$","$511$; $999$; $9 033$","$603$; $3 142$; $42 832$","$772$; $5 843$; $22 880$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Признаки делимости на 3

Теперь понаблюдаем за числами $582$; $930$; $866$. Какие из них будут делиться на $3$ без остатка?

Произведя действие деления мы увидим, что без остатка разделятся $582$ и $930$, а $866$ — нет. Присмотревшись к числам внимательно, увидим ту же закономерность, что и с числом $9$.

Сумма цифр числа $582$ равна $15$ и делится на $3$ без остатка.
Сумма цифр числа $930$ равна $12$ и тоже делится на $3$ без остатка.
А вот сумма цифр числа $866$ равна $20$, это число на $3$ без остатка не делится.

Если сумма цифр натурального числа делится на $3$ без остатка, то и само число будет делиться на $3$ нацело. Если сумма цифр натурального числа не делится на $3$ нацело, то и само число делиться на $3$ не будет.

{"questions":[{"content":"В каком ряду все числа делятся на $3$ без остатка?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2922$; $7 734$; $21 891$","$331$; $4 322$; $173$","$62$; $7 733$; $16 902$","$77$; $4 100$; $352$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Практика

{"questions":[{"content":"Найдите среди представленных рядов тот, в котором оба числа делятся без остатка сразу и на $3$, и на $9$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$378$ и $70 380$","$33$ и $15 663$","$117$ и $71 040$","$919$ и $11 542$"],"explanations":["","Число $33$ делится только на $3$, на $9$ — нет.","Число $71 040$ делится только на $3$, на $9$ — нет.","Оба числа не делятся ни на $3$, ни на $9$ без остатка."],"answer":[0]}}},{"content":"Какую цифру в записи числа $37 856*$ надо поставить на месте звездочки, чтобы число делилось без остатка на и на $3$, и на $9$?[[fill_choice_big-11]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$1$","$4$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}}},{"content":"Света на день рождения заказала $108$ пирожных. Удастся ли поровну разделить их между девятью гостями? Если да — сколько пирожных получит каждый?[[fill_choice_big-34]]","widgets":{"fill_choice_big-34":{"type":"fill_choice_big","options":["Удастся распределить, по $12$ каждому.","Удастся распределить, по $11$ каждому.","Не удастся распределить.","При распределении останется остаток в $1$ пирожное."],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Часто задаваемые вопросы