Сложение и вычитание десятичных дробей

Складывать и вычитать десятичные дроби проще, чем обыкновенные. Есть только несколько правил, запомнив которые, вы сможете легко это делать. Проще всего проводить подобные вычисления «в столбик».

Сложение десятичных дробей

Сложение десятичных дробей, как и сложение натуральных чисел, осуществляется по разрядам.

Что это значит?

Скрыть

Например, если мы складываем $123$ и $456$, то мы будем складывать их так:

$3+6$

$20+50$

$100 + 400$

Привычнее такая запись:

То есть мы складываем единицы с единицами, десятки с десятками и сотни с сотнями. Сложение десятичных дробей проходит по тому же принципу: сотые складываются с сотыми, десятые – с десятыми, единицы – с единицами и т.п.

При сложении десятичных дробей нужно:
1) Подписать слагаемые одно под другим таким образом, чтобы цифры одинаковых разрядов располагались друг под другом, а запятая – под запятой.
2) Сложить числа, не обращая внимания на запятую.
3) В полученной сумме поставить запятую под запятыми слагаемых.

Выглядит совсем просто! Давайте потренируемся.

{"questions":[{"content":"Решите примеры и соедините примеры с ответами.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$18.21 + 8.31$","$16.48 + 12.14$","$11.15 + 16.57$"],"items":["$26.52$","$28.62$","$27.72$"]}}}]}

Распространённая ошибка при сложении десятичных дробей

Самая распространённая ошибка при сложении и вычитании десятичных дробей – запись чисел так, что запятая оказывается не на месте, то есть не соблюдая расположение цифр одинаковых разрядов. Разберём вот такой пример:

И в одном, и в другом числе три цифры, и будь это натуральные числа, мы бы так и записали их одно под другим. Но так как это десятичные дроби, то при такой записи «сбивается» разряд, и получается, что $6$ из разряда единиц складывается с $1$ из разряда десятков.

Правильной будет такая запись:

Обратите внимание: мы записали $15.7$ как $15.70$. $0$ означает, что у нас $0$ сотых; согласно главному свойству десятичных дробей, он никак не влияет на величину дроби и служит исключительно для удобства. Делая количество знаком после запятой равными, мы упрощаем себе задачу и помогаем избежать ошибок.

{"questions":[{"content":"В одном из слагаемых допущена ошибка, не там стоит точка, отделяющая целые числа от десятых. Догадайтесь, в каком из них, и запишите это слагаемое правильно. <br />$14.12 + 21.23 = 22.642$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1.412"}}}]}

Вычитание десятичных дробей

При вычитании десятичных дробей нужно:
1) Подписать вычитаемое под уменьшаемым одно под другим таким образом, чтобы цифры одинаковых разрядов располагались друг под другом, а запятая – под запятой.
2) Произвести вычитание, не обращая внимания на запятую.
3) В полученной разности поставить запятую под запятыми.

Как видите, вычитание дробей похоже на обычное вычитание в столбик натуральных чисел. Давайте подробно разберём пример:

$$8.9-5.67$$

Сначала записываем дроби друг под другом (рисунок 5, а). Обращаем внимание, чтобы запятая была под запятой. Также в конце дроби $8.9$ пишем $0.$ Это нужно нам для того, чтобы уравнять количество знаков после запятой в обеих дробях.

Начинаем вычитание справа. Нам нужно отнять $7$ сотых от $0$ сотых, это невозможно, поэтому занимаем десяток из соседнего разряда (рисунок 5, б)

У нас получается $223$, теперь остаётся только поставить запятую, отделяющую целую часть дроби от десятых (рисунок 5, в).

Разберём ещё один пример:

$$1.2-0.8$$

Так как мы не можем вычесть $8$ из $2$ , занимаем десяток из соседнего разряда. Вычитаем $8$ из $12$. Теперь в уменьшаемом числе в разряде десятков остался $0,$ а $0 — 0 = 0$. Может быть, его и писать не стоит?

Нет, писать $0$ необходимо, ведь мы знаем, что $0$ играет очень большую роль в сохранении разрядов; если после окончания вычисления мы поймём, что он не нужен, тогда и сможем его убрать, используя главное свойство десятичной дроби.

У нас получилось $04$. Ставим запятую под запятыми.

Теперь видно, что $0$ был необходим, так как он показывает количество целых в получившейся дроби.

{"questions":[{"content":"Решите пример и запишите ответ в виде десятичной дроби <br />$7\\frac{7}{10}-2\\frac{3}{100}-3\\frac{47}{100}$<br />[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["2.2","2.20"]}},"step":1,"hints":["Можно записать данный пример как $7.7-2.03-3.47$","Запишем $7.7$ как $7.70$, а все вычитаемые – под уменьшаемым, так, чтобы запятые были друг под другом.","В результате вычислений получается $2.20$. Правильным будет записать эту дробь как $2.2$ (хотя и дробь $2.20$   не является ошибкой)."]}]}

Распространённые ошибки при вычитании дробей те же: неправильная запись чисел, при которой запятая смещается. Необходимо помнить, что место разряда в десятичных дробях очень важно.

{"questions":[{"content":"Найдите закономерность и запишите следующее число<br />$5.34 ; 7.56 ; 9.78 …$<br />[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"step":1,"hints":["Чтобы вычислить закономерность, вычислим, сколько будет $7.56-5.34$. У нас получится $2.2$","Проверяем: <br />$7.56 + 2.2 = 9.78$<br />Значит, мы нашли закономерность верно.","Теперь произведём вычисление: <br />$9.78 + 2.2 = 12$"]},{"content":"Решите уравнения и совместите с соответствующим значением $x$.[[matcher-12]]","widgets":{"matcher-12":{"type":"matcher","labels":["$8.62 + x = 13.82$","$11.92 + x = 17.44$","$x + 6.7 = 12.11$"],"items":["$x = 5.2$","$x = 5.53$","$x = 5.41$"]}}},{"content":"Расстояние от дома до школы $1.78$ км, а расстояние от дома до детской площадки, которая находится по пути к школе – $0.9$ км. Каково расстояние от детской площадки до школы? [[input-27]]","widgets":{"input-27":{"type":"input","answer":"0.88"}}}]}