Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Проценты

Содержание

    В рамках данного урока мы расскажем о том, что такое проценты, как они связаны с десятичными дробями, как найти процент от числа и целое число по известному проценту, а также что такое процентное соотношение.

    Наверняка вы не раз встречали слово «процент». Например, на бутылках молока пишут «$2.5\%$», «$3.2\%$», на баночках сметаны – «$15\%$», «$20\%$». Вы знаете, что в банке кредит дают под проценты, а в прогнозе погоды говорится о влажности воздуха – тоже в процентах. Что из себя представляют проценты и как они высчитываются в математике?

    Что такое проценты

    Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», которое обозначает «на сто», то есть – сотая доля. Проценты обозначаются при помощи специального значка «$\%$».

    Этот значок произошёл от сокращения – сначала употребляли итальянский термин «per cento», потом его сократили до «pco». В те времена много записей велось от руки, и в какой-то момент буква «с», похожая на «о», тоже превратилась в кружочек, а между ними стали писать знак дроби.

    Читая примеры и задачи с значком процента, важно правильно склонять это слово. Например, если мы читаем: «влажность воздуха $20\%$», то это будет звучать как «влажность воздуха двадцать процентов», а надпись на бутылке молока «молоко $3,2\%$» расшифровывается как «молоко с жирностью три целых, две десятых процента».

    Процент как сотая часть

    $$1\% = 0.01$$

    Мы привыкли, что сотая часть метра – это сантиметр. С помощью процентов мы можем обозначить сотую часть чего угодно – например, населения страны, заработанных денег, объёма кастрюли…

    При сравнении двух величин за $100\%$ чаще всего принимается та величина, которая больше. Например, если мы говорим «$5\%$ учащихся школы», значит, $100\%$ — это все учащиеся школы.

    Иногда за $100\% $ принимают исходную величину. Например, если говорится, что прибыль от фильма составила $134\%$, значит, расходы на фильм полностью окупились (на $100\%$), и плюс он принёс доход в размере $34\%$ от потраченных на съёмки денег.

    Десятичные дроби и проценты

    Бросается в глаза сходство процентов и сотых. И действительно, и там, и там мы говорим о сотой доле.

    Таким образом, можно легко переводить десятичные дроби в проценты и наоборот.

    Рисунок 1

    На рисунке 1 показано, что закрашенная часть прямоугольника равна $\frac{1}{10}$ или $0.10$. Также этот участок составляет $10\%$ от целого.

    Если нужно перевести проценты в дробь, нужно убрать значок процентов и разделить число на 100.

    Давайте рассмотрим рисунок 2. Закрашено $25\%$ квадрата. Какая это доля?

    Рисунок 2

    Показать решение

    Скрыть

    Разделим $25$ на $100$. У нас получится $0.25. $

    Можно проверить: $0.25$ – это $\frac{1}{4}$. По клеточкам видно, что это действительно так – $25\%$ составляют $\frac{1}{4}$ квадрата.

    Если нужно перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить число на $100$ и добавить значок процентов.

    Например, $0.2$ от числа – это $20\%$

    Нахождение процентов от числа

    В зале кинотеатра «Орбита» $300$ мест. Сейчас $12\%$ мест свободно. Сколько ещё зрителей может вместить зал?

    Сначала определим, что мы принимаем за $100\%$. Это будет наибольшее число – то есть $300$. Теперь нам нужно найти $1\%$.

    Так как $300$ мест – это $100\%$, то, чтобы найти $1%$, нам нужно разделить $300$ на $100$. Это $3$, то есть $3$ места составляют $1$ процент посадочных мест.

    Чтобы найти $12\%$ нужно умножить $12$ на $3$. У нас получится $36$. Следовательно, ещё $36$ зрителей могут сесть в зале.

    Чтобы найти процент от числа, нам нужно число разделить на $100$ (так мы узнаем, сколько содержится в одном проценте), а затем умножить полученный результат на число процентов.

    Нахождение целого по известным процентам

    В аквариуме $5$ золотых рыбок, что составляет $25\%$ от общего числа рыбок в аквариуме. Сколько всего рыбок в аквариуме?

    Общее число рыбок – это $100\%$. Чтобы найти их, нужно сначала найти $1\%$.

    $1\%$ – это не одна рыбка. Это сколько-то рыбок, составляющих сотую долю всех рыбок в аквариуме. Чтобы найти, сколько рыбок составляет эту долю, нужно разделить $5$ на $25$, получится $0.2$

    Здесь легко совершить ошибку.

    Показать возможную ошибку

    Скрыть

    Ведь удобнее (и логичнее!) было бы разделить $25$ на $5$. В этом случае у нас получится целое число, $5$ рыбок. Почему же мы делим меньшее на большее?

    Предположим, что нам действительно нужно было делить проценты на число, которое их составляет. Тогда один процент – это $5$ рыбок, а $100\%$ – это $500$ рыбок. Но ведь тогда получится, что $25$ процентов  – это $25 \cdot 5 = 125$ рыбок! А у нас в задаче сказано, что $25\%$ – это всего лишь $5$.

    Следовательно, всё-таки нужно было делить $5$ на $25$. Не беспокойтесь, что в результате получатся «кусочки» рыбок. Это просто какое-то количество от общего числа.

    Чтобы узнать, чему равны $100\%$, умножим полученное число на $100$. У нас получится $20$. Это и будет общее число рыбок.

    Для нахождения одного процента нужно разделить число, составляющее $N$ процентов, на $N$.
    Зная, какое число составляет один процент, мы можем вычислить целое, умножив это число на $100$.

    Вычисление процентного соотношения

    Процентное соотношение – это то, какой процент от целого составляет данное число.
    Чтобы найти процентное соотношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на $100$.

    В книге $120$ страниц. Образавр прочитал $60$ страниц. Сколько процентов книги он прочитал?

    $120$ страниц – это вся книга, то есть $100\%$. Образавр прочитал $\frac{60}{120}$ книги. Нам нужно вычислить, сколько это. Разделим $60$ на $120$, получается $0.5$

    Каждая сотая равна $1\%$ книги, значит, сколько сотых прочитал Образавр, столько и процентов. Умножаем $0.5$ на $100$, у нас получается $50\%.$

    Проценты – очень интересная тема. Кроме того, она может пригодиться даже тем, кто редко сталкивается со сложными математическими вычислениями.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение