ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Центральные и вписанные углы
Ранее мы познакомились со взаимным расположением окружностей, а также с положением прямой относительно окружности. Теперь рассмотрим углы, связанные с окружностью, — вписанные и центральные.
Эти углы играют важную роль в решении многих геометрических задач.
Градусная мера дуги
Нам уже известно, что вся окружность содержит в себе $360^\circ$.
А если взять две точки на окружности, то они разделят ее на две части, каждая из которых называется дуга.
Дуга обозначается по ее концам, например, $_{\smile} AB$.
Заметим, что точки $A$ и $B$ разделят окружность на две дуги — большую (голубая) и меньшую (зеленая). Чтобы понять о какой именно дуге идет речь, вводят дополнительные точки.
Тогда обозначения дуг записывают так: большая дуга — $_{\smile} ALB$, меньшая — $_{\smile} AMB$.
Отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$ на окружности, как мы помним, называется хордой. Говорят, что хорда стягивает дугу величиной «столько-то» градусов.
Например, выражение: хорда $AB$ стягивает дугу в $40^\circ$, означает, что сама $_{\smile} AB = 40^\circ$.
Из того, что $_{\smile} AB = 40^\circ$ понятно, что это меньшая из двух дуг. Поэтому дополнительные точки не ставятся. Если потребуется, мы можем вычислить большую дугу $AB$: $_{\smile} AB = 360^\circ -40^\circ = 320^\circ$.
Если дуга занимает ровно половину окружности, то ее градусная мера равна $180^\circ$. Хорда, которая соединяет концы такой дуги, — это диаметр (самая большая хорда окружности). Диаметр делит окружность на две равные дуги.
Центральные углы
Внутри окружности можно начертить множество самых разных углов, но все они не имеют особого значения и никак не связаны с самой окружностью.
А вот если поместить вершину угла в центр, ситуация меняется. Такой угол связан с окружностью напрямую: его стороны проходят через точки дуги окружности и величина угла показывает, какую часть окружности он «захватывает».
Такой угол называется центральным. Что абсолютно логично — его вершина находится в центре окружности. И говорят, что угол $AOB$ опирается на дугу $AB$.
Данное выражение — угол опирается на дугу — довольно распространенное и часто используется во всевозможных высказываниях, поэтому его нужно запомнить.
Так какова же взаимосвязь между центральным углом и окружностью?
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги окружности, на которую он опирается.
То есть, если центральный угол равен $70^\circ$, то и дуга, на которой он «стоит», равна $70^\circ$. И наоборот: если дуга, на которую опирается центральный угол, равна $70^\circ$, то и сам угол также будет равен $70^\circ$.
Вписанные углы
Итак, мы знаем, что центральный угол показывает, какую часть окружности он занимает, и равен величине дуги, на которую опирается.
Но ведь вершину угла можно поставить не только в центр. Что будет, если она окажется на самой окружности?
Такие углы называют вписанными, так как все точки угла находятся на самой окружности. И он опирается на дугу, напротив которой лежит вершина этого угла.
То есть вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$.
Так как вписанный угол делит окружность на три дуги, важно понимать: на какую из них он именно опирается. Чтобы не запутаться, можно мысленно «вычеркнуть» вершину угла из его обозначения и останется только название дуги на которой он стоит (опирается).
Например, дан вписанный угол $MKN$:
Если мы вычеркнем вершину $K$ из обозначения угла $M\cancel{K}N$, то останется дуга $MN$. Значит, на нее он и опирается.
Почему вписанные углы выделяют так же, как и центральные? Потому что его величина так же связана градусной мерой с дугой, на которую он опирается.
Теорема
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Скрыть
Пусть $O$ — центр окружности, $A$, $B$, $C$ — точки на окружности.
Проведем радиусы $OA$ и $OB$, соединим точки $A$ с $C$ и $B$ с $C$. Тогда $\angle AOB$ — центральный, а $\angle ACB$ — вписанный; оба угла опираются на одну и ту же дугу $_{\smile} AB$.
Соединим точки $O$ и $C$.
В треугольниках $AOC$ и $BOC$ стороны $OA = OC$ и $OB = OC$ как радиусы, поэтому треугольники равнобедренные. У них:
$\angle OAC = \angle OCA$, $\angle OBC = \angle OCB$.
Следовательно, $\angle AOC = 180^\circ -2\angle OCA$, $\angle BOC = 180^\circ -2\angle OCB$.
Центральный угол $AOB = 360^\circ -\angle AOC -\angle BOC = 360^\circ -(180^\circ -2\angle OCA) -(180^\circ -2\angle OCB) = 2\angle OCA + 2\angle OCB = 2(\angle OCA + \angle OCB)$.
Вписанный угол $ACB = \angle OCA + \angle OCB$ $\Rightarrow$ $\angle AOB = 2\angle ACB$ $\Rightarrow$ $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle AOB$.
Так как $\angle AOB$ является центральным, он равен градусной мере $_{\smile} AB$, а вписанный $\angle ACB$ будет равен половине градусной меры этой дуги.
Что и требовалось доказать.
Следствие из теоремы
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на одну и ту же дугу.
Свойства вписанных углов
Нам известно, что вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
А значит, если несколько вписанных углов опираются на одну и ту же дугу, их градусная мера будет одинакова.
Есть и особый случай. Если вписанный угол опирается на диаметр, где дуга равна $180^\circ$, то угол будет равен половине этой дуги, то есть $90^\circ$.
Следовательно, вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Пересекающиеся хорды
Поскольку мы уже знаем свойства вписанных углов, теперь можно перейти к новому интересному случаю, связанному с пересечением двух хорд.
Используя эти свойства, несложно доказать теорему, которая устанавливает связь между отрезками хорд, пересекающихся внутри окружности.
Теорема
При пересечении двух хорд внутри окружности произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:
$AE \cdot EB = CE \cdot ED$.
Доказательство
Скрыть
Дано: хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.
Доказать: $AE\cdot EB = CE\cdot ED$.
Соединим точки $A$ с $D$ и $C$ с $B$. Рассмотрим $\triangle DAE$ и $\triangle BCE$.
- $\angle DAB = \angle BCD$, так как они являются вписанными и опираются на одну дугу $_{\smile} BD$.
- $\angle DEA = \angle CEB$ как вертикальные.
Следовательно, $\triangle DAE \sim \triangle BCE$ (по двум углам).
Из подобия треугольников составим отношение соответствующих сторон:
$\dfrac{AE}{CE} = \dfrac{DE}{BE} \ \Rightarrow \ AE\cdot BE = CE\cdot DE$.
Что и требовалось доказать.
Решение задач
Центральные и вписанные углы встречаются во многих геометрических задачах.
Чтобы лучше понять, как работают их свойства, разберем несколько примеров и научимся применять теоремы на практике.
Задача
Центральный угол на $18^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.
Решение
Скрыть
Пусть $A$ — вписанный угол, а $O$ — центральный.
Пусть вписанный угол $A = x$.
Так как центральный угол опирается на ту же дугу, то он вдвое больше вписанного: $\angle O = 2x$.
По условию, центральный угол на $18^\circ$ больше вписанного, значит:
$2x -x = 18$,
$x = 18$.
Ответ: $18^\circ$.
Задача
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $51^\circ$, угол $CAD$ равен $62^\circ$. Найдите угол $ABC$.
Решение
Скрыть
Угол $ABD$ опирается на дугу $_{\smile}AD$. По свойству вписанного угла дуга, на которую он опирается, в два раза больше самого угла. Значит,
${\smile}AD = 2\cdot \angle ABD = 2\cdot 51^\circ = 102^\circ$.
Угол $CAD$ опирается на дугу $_{\smile}CD$, следовательно:
${\smile}CD = 2\cdot \angle CAD = 2\cdot 62^\circ = 124^\circ$.
Искомый угол $ABC$ опирается на $_{\smile}AC$, которая состоит из суммы дуг:
$_{\smile}AC = _{\smile}AD + _{\smile}CD = 102^\circ + 124^\circ = 226^\circ $.
Угол $ABC$ — вписанный $\Rightarrow$ $\angle ABC = \dfrac{1}{2}\cdot _{\smile}AC = \dfrac{1}{2}\cdot 226^\circ = 113^\circ$.
Ответ: $\angle ABC = 113^\circ$.
Из приведенных задач становится понятно, что зная свойства центральных и вписанных углов, можно без труда находить любые неизвестные углы в окружности и градусные меры дуг. Главное, нужно понимать, какая дуга соответствует тому или иному углу.
Это интересно
Древнегреческий ученый Фалес Милетский первым доказал, что угол, вписанный в полуокружность, всегда прямой. По легенде, он так обрадовался своему открытию, что принес в жертву быка — ведь это было одно из первых доказательств в геометрии.
Позже теорема о вписанном угле вошла в знаменитое сочинение Евклида «Начала», где собраны почти все известные на тот момент геометрические знания.
Этими свойствами пользовались не только математики, но и астрономы, определяя по углам положение звезд и планет.
В Средние века интерес к геометрии не угас. В арабском мире создавали астролябии — приборы, которые с помощью углов и дуг позволяли измерять высоту небесных тел и определять время суток.
Позже эти знания вместе с трудами Евклида были переведены на латинский язык и попали в Европу. А в XIV веке еврейский математик Леви бен Гершон написал трактат «О синусах, хордах и дугах«, где подробно рассматривал связи между углами и дугами окружности.
Так идеи древних греков о центральных и вписанных углах продолжили жить и развиваться даже спустя тысячу лет.
И даже сегодня понятия вписанных и центральных углов используются в инженерии, архитектуре и компьютерной графике — везде, где нужно точно рассчитывать формы, траектории и повороты.
Свойства углов в окружности пережили века: от античных доказательств до научных приборов Средневековья. Эти идеи доказали, что геометрия — язык, на котором можно описать и небо, и Землю.
Часто задаваемые вопросы
Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а вписанный — на самой окружности.
Вписанный угол равен половине центрального.
Такой угол равен $90^\circ$.
Они равны между собой.
Умножить градусную меру вписанного угла на $2$.
При пересечении двух хорд произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти