Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Плоскость

Содержание

    Все геометрические фигуры в планиметрии принадлежат одной, самой большой, бесконечной во всех направлениях фигуре – плоскости. Образно плоскость можно представить как тетрадный лист, но только бесконечно большой. Плоскость не имеет толщины, а её длина и ширина – бесконечно велики.

    Аксиома 4:

    Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости, лежащие по обоим сторонам прямой

    Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита, а полуплоскости – теми же буквами, но с индексами «1» или «2». В планиметрии все фигуры лежат в одной плоскости, потому плоскость как таковая в задачах появляется редко.

    Примеры задач

    Задача 1

    Условие: Три точки: А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ=43 см, АС=75 см, ВС=32 см.

    Вопрос: Какая из двух точек лежит между двумя другими?

    Короткая запись условия:

    1. $A, B, C \in a$ (а – некая прямая, упомянутая в условии задачи. Поскольку в условии её название не указано, мы можем придумать свое, рабочее. Не обязательно это должно быть «а». Подойдёт любая маленькая латинская буква).
    2. АВ=43 мм;
    3. АС=75 мм;
    4. ВС=32 мм.

    Вопрос к задаче лучше написать полностью.

    Чертёж: в чертеже нужно максимально точно и полно отразить все данные, содержащиеся в условии:

    1. Нам известно о трёх точках, лежащих на одной прямой:
    2. Нам не известен порядок расположения этих точек – его нужно определить.
    3. Нам известно расстояние между отдельными точками и их имена.

    Фактически, данная задача будет решаться по мере построения

    Решение:

    Нам известно, что из трех точек, лежащих на прямой, одна и только одна находится между двумя другими: это – вторая аксиома планиметрии. Наша задача – определить, какая именно точка лежит между двумя другими.

    Также нам известно, что между любыми двумя точками можно начертить отрезок, и что этот отрезок будет принадлежать той же прямой, что и точки его начала и конца. Следовательно, в нашем случае отрезок будет принадлежать прямой «а»: все точки принадлежат этой прямой по условию.

    На основании третьей аксиомы геометрии мы знаем, что длина отрезка, отличная от нуля, равна сумме длин отрезков, на которые его делит некая принадлежащая ему точка.

    Следовательно, самое большое расстояние должно быть между крайними точками отрезка, а меньшие – между одной из крайних и промежуточной.

    Самый большой отрезок – АС. Значит, точка В лежит между точками А и С.

    Ответ: $B \in AC$

    Задача 2

    Условие: Есть прямая. Точки А, В и С не принадлежат этой прямой. Отрезок АВ пересекает прямую, отрезок АС не пересекает прямую.

    Вопрос: пересекает ли прямую отрезок ВС?

    Короткая запись условия:

    1. $A, B, C \notin a$ (даём название прямой сами, потому что в условии задачи оно не указано. Надеемся, что прямая не будет возражать);
    2. $AB \cap a$;
    3. $AC \space \bcancel{\cap} \space a$.

    Вопрос: $BC \cap a$? (В данном случае вопрос можно записать языком планиметрии. Такой вариант всегда следует предпочитать для короткой записи)

    Чертеж 

    Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости: $AB \cap a$ = $a_1$ + $a_2$ – 4 аксиома. Обозначим эту плоскость $a$, а полуплоскости – $a_1$ + $a_2$.

    Если $AB \cap a$, и при этом $A, B \notin a$, значит, точки А и В принадлежат разным полуплоскостям. Это очевидно.

    Предположим, что $A \in a_1$, $В \in a_2$. В условии задачи не сказано, какая именно точка принадлежит какой полуплоскости – там и названия прямой и плоскости даже не дано. Потому мы можем взять за основу любой вариант.

    В записи этой задачи мы в полной мере встречаемся с очень большой проблемой планиметрии: с тем, что приходится многое домысливать, но не произвольно, а так, что бы это соответствовало условию задачи. И затем следовать своим домыслам, как если бы они были частью условия. 

    Часто школьникам бывает это не понятно. Они говорят: «Откуда взялась плоскость α? Ведь о ней не упоминается в условии?» или «Откуда мы знаем, что точка А принадлежит именно полуплоскости α1?»

    Все дело в том, что на самом деле не важно для решения задачи, как именно назвать плоскость. И с какой стороны отметить первую точку. Лишь бы все остальные шаги построения чертежа и логика решения не противоречили первому шагу. Планиметрия – наука о воображаемых вещах. Но воображаемых научно – с оглядкой на уже известные факты. 

    Отметим точку С. По условию задачи $АС \space \bcancel{\cap}\space а$, значит, точки и $А$ и $С$ лежат в одной полуплоскости.

    Поскольку изначально мы отметили точку $A \in a_1$, то и $C \in a_1$. Здесь уже вариантов нет.

    Мы видим, что точки С и В принадлежат разным полуплоскостям. Следовательно, отрезок $ВС \cap а$.

    Мы решили задачу, но не только. На примере этой задачи мы ясно увидели ещё одну трудность, с которой сталкиваются учащиеся при изучении планиметрии: необходимо помнить все определения и теоремы, изученные на предыдущих уроках, чтобы решать задачи из уроков последующих. Притом помнить настолько хорошо, чтобы пользоваться или в любой момент при построении своих рассуждений. Это действительно нелегко и требует развитой памяти.

    Но памяти можно помочь: заведите отдельную тетрадь для записи всех определений, аксиом и теорем, чтобы вы в любую минуту могли отыскать подходящий инструмент для решения новых задач. Держите тетрадку всегда под рукой

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение