Луч

В предыдущих уроках мы познакомились с базовыми геометрическими фигурами: точкой, прямой, отрезком, плоскостью. Настало время идти дальше и узнать, что такое «луч» и «угол», какие характеристики они имеют, как их чертить и измерять.

Луч

Пусть $a$ – некоторая прямая. Начертите её произвольно.

Пусть $A$ – некоторая точка, принадлежащая прямой $a$. 

Мы видим, что точка разделила прямую на две части – две полупрямые. Мы ничего не можем о них сказать, кроме того, что их две. Мы не можем их сравнить, поскольку не знаем ничего о длине прямой, кроме того, что она бесконечна. Мы знаем только, что обе полупрямые начинаются в точке $A$.

Сотрите участок прямой с одной стороны от точки $A$, а с другой – оставьте. Получится луч.

Луч – это полупрямая, которая начинается в известной точке и продолжается бесконечно в некотором направлении

В геометрии луч может обозначаться одной маленькой латинской буквой, чем намеренно подчёркивается его сходство с прямой. Но гораздо более информативно называть луч именем отрезка, через который этот луч проходит, при том, что и отрезок и луч имеют общую начальную точку. Имя этой точки всегда должно быть первым в имени луча.

 Верните на место ту полупрямую, которую вы стерли. Этот луч называется «дополнительный» к лучу $AB$.

Дополнительный луч (полупрямая) – это луч (полупрямая) которая лежит на одной прямой с лучом, который она дополняет, и исходит с ним из одной точки

Из одной точки можно провести бесконечно большое количество лучей, если это нужно. Каждый из лучей, исходящих из точки, может иметь дополнительный луч.

1. Лучи $AD, AC, AB, AE, e, h$ исходят из точки $A$;
2. Луч $h$ является дополнительным к лучу $AB$;
3. Луч $AE$ является дополнительным к лучу $e$.)

Задача 1

Условие: даны прямая $a$ и четыре точки: $A, B, C, E$. Все четыре данные точки принадлежат прямой $a$. Tочка $A$ делит прямую $a$ на два луча. Известно, что точки $B, C$ принадлежат одному лучу. Известно также, что точки $B, E$ тоже принадлежат одному лучу.

Вопрос: принадлежат ли одному лучу точки $C, E$?

Краткая запись условия:

1. $A, B, C, E \in a$;
2. $A \in а= а_1+а_2$;
3. $В, С \in а_1$;
4. $В, Е \in а_1$.

Решение и чертеж

1. Начертим прямую $a$. В этот раз её имя указано в условии, и мы не будем его менять;
2. Известно, что точка $A$ принадлежит прямой $a$ и делит её на два луча: $a_1$ и $a_2$. Отметим точку $A$ на прямой и присвоим лучам имена в произвольном порядке.
3. Известно, что точки $B$ и $C$ принадлежат одному лучу. Но не сказано, какому. Отметим эти точки на одном из лучей, исходящих из точки $A$. Пусть это будет луч $a_1$.
4. Известно, что точки $B$ и $E$ также принадлежат одному лучу. Точка $B$ у нас уже есть, отметим точку $E$ так, чтобы она принадлежала тому же лучу, что и $B$. То есть, $E \in a_1$.
5. Мы видим, что все три точки оказались на одном луче.

Ответ: точки $C$ и $E$ принадлежат одному и тому же лучу.

Задача 2

Условие: Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Известно, что $AC$ = 5 см, $BC$=7 см.

Вопрос: принадлежит ли точка $B$ отрезку $AC$?

Короткая запись:

1. $А, В, С \in а$
2. $AC=5 см$
3. $BC=7 см$

Вопрос: $В \in АС$?

Решение и чертеж

Если $B \in AC$, то $BC+AB=AC$ (аксиома 3).

$AC = 5 см$, $BC = 7 см$.

Тогда

$AB=AC-BC=(5-7)cм=(-2)см$

Oтрезок не может иметь длину, выраженную отрицательным числом. Потому $B \notin AC$.