Взаимное расположение точек и прямой

На прошлом уроке мы определили две ключевые аксиомы геометрии, описывающие основные свойства принадлежности точек и прямых. Сейчас, когда мы понимаем, как в геометрии задается принадлежность, самое время обсудить взаимное расположение точек и прямой на плоскости. То, каким образом задается расположение прямых и точек, приведет нас к еще одним важным понятиям геометрии.

К фигурам «отрезок» и «луч» и поверхности «полуплоскость».

Отрезок в геометрии

Сидите вы как-то у телевизора. Переключаете канал и попадаете на напряженную гонку. Вдруг комментатор произносит: «А сейчас гонщиков ждет самый сложный отрезок пути».

Нам сразу представляется гоночный трек и его определенный участок, с началом и концом. Отрезок в геометрии чем-то похож на будничную интерпретацию отрезка пути. Начертим на плоскости прямую $a$ и точки $A$, $B$ и $C$ так, что $A\in{a}$, $B\in{a}$, $C\in{a}$.

Под отрезком $AC$ мы в геометрии понимаем часть прямой $a$, которая состоит из всех точек прямой $a$, заключенных между точками $A$ и $C$. Точки $A$ и $C$ называются концами отрезка.

Так, точка $B$ принадлежит отрезку $AC$, поскольку располагается между концами отрезка: $B\in{AC}$. Также с опорой на точки $A$, $B$ и $C$ заметим, что взаимное расположение трех точек и прямой связано свойством:

$A_3$. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

{"questions":[{"content":"Возможно ли на прямой $a$ расположить точки $A$, $B$ и $C$ таким образом, что $B\\in{AC}$ и $A\\in{BC}$? [[speech-1]]<br>[[choice-3]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Не стоит ограничиваться односложными ответами «да» или «нет». Попробуйте мысленно обосновать ответ и после сравнить свой ход размышления с пояснением. Пояснение спрятано в подсказку."},"choice-3":{"type":"choice","options":["Да!","Нет."],"answer":[1]}},"hints":["Если $B\\in{AC}$ и $A\\in{BC}$, то точка $A$ получается «плавающей»: в одно мгновение она является концом отрезка $AC$, и сразу же в другое мгновение перемещается между точками $B$ и $C$, «занимая прежнюю нишу» точки $B$. <br /><br />Согласно аксиоме взаимного расположения <b><i>только одна точка</i></b> может находиться между двумя другими. Условия, заданные в вопросе, противоречат аксиоме. Поэтому нет, на прямой $a$ расположить так точки невозможно."]}]}

Принадлежность отрезка прямой

Отрезок в геометрии, как и точки, принадлежит или не принадлежит прямой. На чертеже выше отрезок $AB$ располагается обоими концами на прямой $a$. Поэтому справедлива следующая запись: $AB\in{a}$. Если бы, например, один из концов отрезка $AB$ не принадлежал прямой $a$, мы должны были бы записать: $AB\notin{a}$.

Взаимное расположение точек и прямой строгое: оба конца отрезка должны располагаться на прямой для того, чтобы заключать принадлежность отрезка прямой.

Логично, что отрезок может принадлежать как прямой, так и другому отрезку. С точкой то же самое: она может принадлежать прямой, на которой расположен отрезок, но не принадлежать самому отрезку. Иными словами, располагаться за концами отрезка.

Разминка для мозга!

Попробуйте начертить все шесть вышеописанных случаев: когда отрезок (не) принадлежит прямой, когда отрезок (не) принадлежит отрезку и когда точка (не) принадлежит отрезку. Готовое решение вы найдете под катом ниже. Но, пожалуйста, не подглядывайте сразу. Дайте своему внутреннему математику шанс на самостоятельность!

🔎 Показать чертеж

Скрыть чертеж

Принадлежность отрезка прямой:

Принадлежность отрезка отрезку:

Принадлежность точки отрезку:

Отрезок в геометрии: определение

Рассмотрев взаимное расположение точек и прямой, мы готовы дать формальное определение тому, что такое отрезок:

Отрезок — это часть прямой, которая состоит из всех точек прямой, лежащих между двумя данными ее точками (концами отрезка).

Обратите внимание, что отрезок в геометрии всегда обозначается концами. На чертеже заметим, что отрезок $AD$ отличается от отрезка $AC$, хоть и $AD\in{AC}$. В каком порядке указывать концы отрезка? В большинстве случаев отрезки указываются слева направо, хотя возможно встретить и порядок наоборот. 

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На плоскости заданы прямая $a$ и точки $A$, $B$, $C$, $F$, $G$. <br /><br /><i>Распределите утверждения о взаимном расположении точек и прямой согласно их истинности относительно заданного чертежа</i>.[[grouper-17]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/test-img.svg","width":"450"},"grouper-17":{"type":"grouper","labels":["Соответствует чертежу","Не соответствует чертежу"],"items":[["$AB\\in{a}$","$AB\\in{AF}$","$AC\\notin{a}$","$G\\notin{AB}$","$B\\in{AF}$"],["$AF\\in{AG}$","$C\\in{a}$","$AF\\in{AB}$"]]}},"hints":["Если испытываете сложности, воспользуйтесь таблицей в разделе «<i>Принадлежность отрезка прямой</i>» и обратитесь к чертежу, спрятанным под ней."]}]}

Расположение прямых и точек: пересечение отрезков

Взаимное расположение точек и прямой на плоскости можно в том числе описать одним удобным словом — «пересечение». Отрезки могут не пересекаться, прямые могут не пересекаться, однако если это происходит, вспомним, что происходит пересечение непременно только в одной точке.

Рассмотрим четыре возможные ситуации.

Прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Ситуация, при которой прямые не пересекаются, называется параллельностью. Подробнее мы ее обсудим далее в курсе.  

Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $A$. Помните, что больше одной точки пересечения у прямых не бывает. В математической нотации записывается следующим образом: $a\cap{b}=A$.  

Пересечение отрезков $AB$ и $CD$ в точке $O$. Пересечение отрезков может быть не в отдельной точке, а в одном из концов отрезка. Для чертежа справедлива запись: $AB\cap{CD}=O$.

Отрезки $AB$ и $CD$ не пересекаются. В отличие от прямых отрезкам не обязательно обладать параллельностью, чтобы не пересекаться, ведь они являются частью прямых. Имеем: $AB\cap{CD}=\varnothing$.

{"questions":[{"content":"Даны утверждения, описанные математическим языком и обычным русским. Соедините пары так, чтобы напротив каждой математической нотации стояло верное текстовое ее прочтение.   [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$a\\cap{b}=H$","$AB\\cap{BC}=B$","$AB\\cap{GF}=\\varnothing$"],"items":["Прямая $a$ пересекается с прямой $b$ в точке $H$","Отрезок $AB$ пересекается с отрезком $BC$ в точке $B$","Отрезок $AB$ не пересекается с отрезком $GF$","Отрезок $AB$ пересекается с отрезком $GF$"]}}}]}

Полуплоскость

Премию «Глаз алмаз года» тем, кто заметил, что помимо четырех случаев есть еще и пятый: пересечение прямой отрезком. Это особый случай, описывающий взаимное расположение точки и прямой, ибо он связан с аксиомой. Ее мы разберем в этом разделе.

Рассмотрим прямую $c$ на плоскости. Она разделяет наше двухмерное пространство на две части — то, что как бы располагается сверху, и то, что ниже. Выделим части на чертеже разными цветами.

Каждая из цветных частей имеет в геометрии особое название — полуплоскость. Определяется полуплоскость следующим образом:

Полуплоскость —  множество точек плоскости, располагающихся по одну сторону от заданной прямой на плоскости.

Плоскость бесконечна, прямая тоже бесконечна. Идея полуплоскости проистекает из того факта, что если на бесконечном «полотне» плоскости провести бесконечную прямую, то плоскость поделится на два отличных друг от друга множества точек.

Полуплоскость и прямая, соответственно, связаны аксиомой:

$A_4$. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Определим взаимное расположение точек и прямой относительно полуплоскостей. Для этого добавим на чертеж точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Разместим точки так: точки $A$, $B$ и $C$ располагаются в одной полуплоскости, а точка $D$ располагается в другой полуплоскости. Если через точки провести отрезки $AB$ и $CD$, мы заметим еще одну аксиоматическую истину:

$A_5$. Отрезок не пересекается с прямой, если его концы принадлежат одной полуплоскости. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок будет пересекаться с прямой.

{"questions":[{"content":"На финал решим задачу. Дана прямая $a$. На плоскости расположены три точки $A$, $B$, $C$ таким образом, что $A, B, C \\notin{a}$. Известно, что отрезок $AB$ пересекает прямую $a$, а отрезок $AC$ ее не пересекает. Пересекает ли прямую отрезок $BC$? [[choice-1]][[speech-3]]<br>","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да, пересекает.","Нет, не пересекает."],"answer":[0]},"speech-3":{"type":"speech","text":"Выполните чертеж самостоятельно и приведите формальное доказательство с опорой на аксиому пересечения отрезка с прямой. Не забудьте сравнить свое решение с тем, что спрятано в подсказках."}},"step":1,"hints":["Прямая $a$ разбивает плоскость на две полуплоскости. Если $AB\\cap{a}$ в некоторой точке, а $AC\\cap{a}=\\varnothing$, то согласно аксиоме о пересечении отрезком прямой мы можем сделать вывод, что точки $A$ и $C$ лежат в одной полуплоскости, а точка $B$ — в другой полуплоскости.","Точки $B$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях, следовательно отрезок $BC$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке.","<b><i>Ответ</i></b>: да, отрезок $BC$ пересекает прямую $a$."]}]}