Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика История
Тренажёры
Математика ЕГЭ Русский язык Тренажёры для мозга История

Вертикальные углы

Содержание

    Начертите две пересекающиеся прямые. Углы, образованные их пересечением, называются вертикальными. Каждые две прямые, пересекаясь, образуют четыре вертикальных угла.

    Углы называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого.

    Теорема о вертикальных углах

    Вертикальные углы равны

    Доказательство

    1. Пусть $a \cap b = O$.
      Пусть $A, B \in a$, и $O$ лежит между$A$ и $B$
      Тогда $ \angle AOB$ – развернутый, равен $180 \degree$
    2. Пусть $C, D \in b$, и $O$ лежит между $C$ и $D$
      Tогда $\angle DOC$ – развеpнутый и равен $180 \degree$
    3. $\color{#00ad82} \angle AOC$ и $\color{#eb3d3d} \angle COB$ – смежные
      $ \angle AOB = \textcolor{#00ad82}{\angle AOC} + \textcolor{#eb3d3d}{\angle COB} = 180 \degree$.
    4. $\color{#eb3d3d} \angle COB$ и $\color{#3D68EB} \angle BOD$ – смежные
      $ \angle COD = \textcolor{#eb3d3d}{\angle COB} + \textcolor{#3D68EB}{\angle BOD} = 180 \degree$
    5. Значит, $\textcolor{#00ad82}{\angle AOC} + \textcolor{#eb3d3d}{\angle COB} = \textcolor{#eb3d3d}{\angle COB} + \textcolor{#00ad82}{\angle BOD}$
      Отсюда $\textcolor{#00ad82}{\angle AOC} = \textcolor{#3D68EB}{\angle BOD}$.

    Теорема доказана.

    Задача 1

    Найти углы, образованные пересечением двух прямых, если сумма двух из них равна $114$ градусов.

    Короткая запись условия:

    1. $a \cap b = O$;
    2. $A \in a, B \in a, O$ находится между $A$ и $B$;
    3. $C \in b, D \in b, O$ находится между $C$ и $D$;
    4. $ \angle COB$ и $ \angle AOD$ – верт. $ \angle AOC$ и $ \angle BOD$ – верт.
    5. $ \angle COB + \angle AOD = 114 \degree$.

    Найти: $ \angle COB, \angle AOC, \angle BOD, \angle AOD$.

    Решение и чертеж:

    На примере этой задачи мы видим, как важно научиться правильно делать короткую запись условия. Уже на этом этапе удается получить первые подсказки для решения. Например, пытаясь написать, что сумма некоторых двух углов из четырех, образованных пересечением прямых, равна $114 \degree$, мы уже увидели, что это могут быть только вертикальные, но никак не смежные углы, поскольку сумма смежных углов всегда равна $180 \degree$. 

    Поскольку в задаче не указано, сумма каких именно вертикальных углов равна $144 \degree$, мы выбрали пару произвольно. Собственно, мы и углы назвали сами, как захотели, поскольку в задаче ничего не говорится ни о названиях прямых, ни о точках, ни об углах.

    1. Известно, что вертикальные углы равны. Следовательно, если:
      $\textcolor{#4DC46D}{\angle COB} + \textcolor{#4DC46D}{\angle AOD} = 114 \degree$,
      то $\textcolor{#4DC46D}{\angle COB} = \textcolor{#4DC46D}{\angle AOD} = \frac{114}{2} = \textcolor{#4DC46D}{57 \degree}$.
    2. Два оставшихся угла – $\textcolor{#eb3d3d}{\angle AOC}$ и $\textcolor{#eb3d3d}{\angle BOD}$ – тоже являются вертикальными, и их градусные меры, соответственно, тоже равны.
    3. $\angle AOC$ и $\angle AOD$ – смежные.
      Значит, $\angle AOC + \angle AOD = 180 \degree$
      Отсюда, $ \angle AOC = \angle BOD = 180-\angle AOD = 180-57 = 123 \degree$

    Ответ: $57 \degree, 57 \degree, 123 \degree, 123 \degree $.

    Задача 2

    Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

    Короткая запись условия:

    1. $a \cap b = O$;
    2. $A \in a, B \in a, O$ находится между $A$ и $B$;
    3. $C \in b, D \in b, O$ находится между $C$ и $D$;
    4. $\angle COB$ и $\angle AOD$ – верт.
    5. $OE$ – биссектриса $ \angle AOD$; $OE \in c$;
    6. $OM$ – биссектриса $ \angle COB$.

    Доказать, что $O, E, M \in c$.

    Решение и чертеж:

    1. $\angle COB$ и $ \angle AOD$ – верт. Значит, $ \angle COB = \angle AOD$.
    2. $OE$ – биссектриса $ \angle AOD$, значит, $ \angle AOE = \angle BOE = \angle AOD/2$;
    3. $OM$ – биссектриса угла $ \angle COB$, значит, $ \angle COM = \angle BOM = \angle COB/2$;
    4. Если $\angle COB = \angle AOD$, то $\angle AOE = \angle BOE = \angle COM = \angle BOM = \angle AOD / 2$.
    5. и $ \angle AOD$ и $ \angle AOC$ – смежные. Значит, и $ \angle AOC = 180-\angle AOD$.
    6. $\angle EOM = \angle AOE + \angle AOC + \angle COM$;
    7. Получаем:
      $\angle EOM = \frac{\angle AOD}{2} + 180-\angle AOD + \frac{\angle AOD}{2} =$
      $=180-\angle AOD + \angle AOD = 180 \degree$.
      Значит, $ \angle EOM$ – pазвернутый. Следственно, $OE$ и $OM$ являются дополнительными полупрямыми.
    8. Если $OE \in c$, то и $M \in c$, поскольку $OE$ и $OM$ – дополнительные полупрямые прямой $C$.
    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение