Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика История
Тренажёры
Математика ЕГЭ Русский язык Тренажёры для мозга История

Смежные углы. Теоремы. Следствия

Содержание

    Смежные углы

    Проведите на листе прямую $a$ и отметьте на ней три точки: $A, B, C$ так, чтобы точка $B$ лежала между точками $A$ и $C$. Из точки $B$ проведите луч, который не совпадает с прямой $a$, и отметьте на нем точку $D$.

    На чертеже вы увидите два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. У них общая вершина и одна общая сторона. А другие две стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Такие углы называются смежными.

    Углы $\angle ABD$ и $\angle DBC$ смежные

    Смежными углами называются углы, которые имеют общую вершину и одну сторону, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми

    Сколько может быть смежных углов?

    Смежных углов может быть не только два. Теоретически, их количество может быть бесконечно большим, потому что из точки на прямой можно провести неограниченное количество лучей, лежащих в одной полуплоскости.

    Теорема о смежных углах

    Сумма смежных углов равна $180 \degree$. Градусную меру одного из смежных углов можно узнать, вычтя сумму всех смежных с ним углов из $180 \degree$

    Утверждение о том, что сумма смежных углов равна $180 \degree$ называется теоремой о смежных углах. Ее доказательство просто и базируется на знании того, что любой луч, проведенный из вершины угла, и проходящий по его внутренней области, делит этот угол на два угла, сумма которых равна первому углу.

    Доказательство теоремы о смежных углах

    1. Пусть $a$ – прямая,
      $B \in a$,
      $A, C \in a$
      $B$ лежит между $A$ и $C$.
      Тогда $ \angle ABC$ – развернутый угол = $180 \degree$.
    2. Относительного развернутого угла считается, что обе области, на которые он делит плоскость, являются его внутренними областями.
      Значит, любой луч, проведенный из точки $O$, будет лежать во внутренней области $ \angle ABC$.
    3. Известно, что сумма углов, на которые делит угол луч, исходящий из его вершины и лежащий в его внутренней области, равна исходному углу.
      Проведем из точки $B$ луч $BD$.
      Он разделит $ \angle ABC$ на углы $ \angle ABD$ и $ \angle DBC$.
      $ \angle ABD + \angle DBC = \angle ABC = 180 \degree$.

    Теорема доказана.

    Углы $\angle ABD$ и $\angle DBC$ смежные

    Очевидно, что аналогично теорема может быть доказана для любого количества смежных углов.

    Следствие из теоремы о смежных углаx

    Теорема о смежных углах имеет следствие.

    Следствием теоремы называется логический вывод, следующий из теоремы, и не требующий отдельного доказательства.

    Следствие из теоремы о смежных углаx: если некоторые два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

    Задача 1

    Найти угол, смежный с $ \angle AOB$  если $ \angle AOB = 30 \degree$.

    Короткая запись условия:

    1. $ \angle AOB= 30 \degree$;
    2. $ \angle AOC$ – смежный с $ \angle AOB$. (B этом случае мы сами принимаем решение о том, как будет называться смежный угол, но сохраняем логику: смежные углы имеют общую вершину и одну общую сторону).

    Найти: $ \angle AOC$.

    Решение и чертеж:

    $ \angle AOC$ и $ \angle AOB$ – смежные.
    Значит, $ \angle AOC + \angle AOB = 180 \degree$
    Отсюда $ \angle AOC = 180 \degree-\angle AOB = 180\degree-30\degree = 150 \degree$.

    Ответ: $150 \degree$

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение