Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика История
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Угол

Содержание

    Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. 

    Точка, из которой  исходят лучи, образующие угол, называется вершиной угла. Лучи, образовавшие угол – его сторонами.

    Угол может быть назван по имени его вершины или по имени лучей, которые его образовали. Но лучше всего назвать угол, как и луч, по имени отрезков лучей, образующих его, при том, что вершина угла является начальной точкой обоих этих отрезков.

    $ \angle O, \angle kh, \angle AOB$

    Градусная мера угла

    Угол обладает градусной мерой. Представьте себе, что изначально оба луча, образующие угол, совпадали. Можете вспомнить циферблат часов в полдень, когда минутная и часовая стрелка перекрывают друг друга. Со временем минутная стрелка будет все дальше отходить от часовой, но при этом они все равно будут иметь общую точку – ось, на которую они надеты.

    Независимо от величины часов,  длины стрелок, все часы показывают одинаковое время. То есть, их стрелки со временем расходятся на один и тот же градус, хотя между их концами разное расстояние. В три часа пополудни угол между стрелками будет равен 90 градусов; в шесть вечера – 180. Градусные меры остальных углов рассчитываются, исходя из этих значений. То есть, в два часа дня угол между минутной и часовой стрелкой будет равен 60 градусов; в час дня – 30 градусов.

    Угол, равный 180 градусов, называется развернутым

    Внутренняя и внешняя область угла

    Неразвернутый угол имеет внутреннюю и внешнюю области.

    Внутренней областью угла является часть площади, ограниченная образующими его лучами, через которую проходит прямая, соединяющие две точки на этих лучах.

    Если из вершины угла выходит луч, не совпадающий со сторонами угла, и проходящий по внутренней области угла, то он делит этот угол на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере угла

    Если луч делит угол на два равных угла, то он называется биссектрисой угла

    угол $АОС$, луч $OD$ принадлежит внутренней области угла; луч $ОЕ$ является биссектрисой угла АОС

    Методы измерения углов

    Градусную меру углов можно измерить различными способами. Наиболее простым является применение транспортира.

    Транспортир

    Измерение производится так:

    1. Транспортир накладывается на угол
    2. Центральная точка транспортира совмещается с вершиной угла
    3. Прямая сторона выреза инструмента совмещается с одной из сторон угла
    4. Число, на которое укажет вторая сторона угла, и есть градусная мера этого угла

    Есть несколько единиц измерения углов – по аналогии с единицами измерения времени. 1 градус состоит из 60 минут, 1 минута – из 60 секунд.

    Градусная мера угла записывается так: $\angle AOB = 60 \degree 20^{\prime} \space 45^{\prime\prime}$

    Есть особые названия для углов, зависящие от их градусной меры:

    1. Углы от 0 до 90 называют острыми
    2. От 90 до 180 – тупыми
    3. Ровно 90 – прямыми

    Построение углов

    В задачах бывает нужно построить угол с определенной градусной мерой. Делается это при помощи транспортира. Порядок построения такой:

    1. Отметьте точку – вершину угла;
    2. Проведите из точки луч произвольно, если иного не сказано в условии задачи;
    3. Наложите транспортир на луч, так, как если бы вы измеряли уже готовый угол;
    4. Отметьте точку возле метки нужного размера угла;
    5. Соедините эту точку с вершиной будущего угла.

    Задачи

    Задача 1

    Условие: Есть угол $AOB$. Из точки $O$ проведен луч $OC$. Проходит ли луч $OC$  между сторонами угла $AOB$, если $\angle AOC = 30 \degree, \angle COB = 80 \degree \angle AOB = 50 \degree$;

    .

    Короткая запись условия:

    1. $\angle AOB = 50 \degree$;
    2. $\angle AOC = 30 \degree$;
    3. $\angle COB = 80 \degree$.

    Вопрос: Проходит ли луч ОС между сторонами угла АОВ?

    Решение и чертеж

    1. Известно, что луч, исходящий из вершины угла и проходящий между его сторонами, делит угол на два угла, сумма которых равна градусной мере исходного угла. То есть, если луч $OC$ проходит между лучами $OA$ и $OB$, то $\angle AOC+ angle BOC= angle AOB$;
    2. $\angle AOC+ angle BOC= 30 \degree+80 \degree=120 \degree. \angle AOB = 50 \degree$ Значит, луч $OC$ не проходит между сторонами угла $AOB$.

    Ответ: луч $OC$ не проходит между сторонами угла $AOB$.

    Задача 2

    Условие:  даны четыре точки: $A, B, C, D$. Известно, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Также известно, что точки $B, C, D$ лежат на одной прямой.

    Вопрос: докажите, что все точки лежат на одной прямой.

    Короткая запись условия:

    1. $A, B, C \in a$;
    2. $B, C, D \in b$. (Изначально мы предполагаем, что прямые $a$ и $b$ не совпадают)

    Доказать, что: $a=b$.

    Доказательство:

    1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну – аксиома $A \in BC; D \in BC$. Значит, все четыре точки лежат на одной прямой.

    Задача 3

    Условие: Даны четыре прямые: $a, b, c, d$. Известно, что $a, b, c$ пересекаются в одной точке. Также известно, что $b, c, d$ пересекаются в одной точке.

    Вопрос: Докажите, что все четыре прямые пересекаются в одной точке.

    Короткая запись условия:

    1. $a+b+c=A$;
    2. $b+c+d=B$ (предполагаем, что $A \neq B$)

    Доказать, что $A=B$

    Доказательство

    1. Любые две прямые имеют только одну точку пересечения. Следовательно, прямые $b$ и $c$ пересекаются в некоторой точке, через которую проходят также прямые $a$ и $d$. Следовательно, все четыре прямые пересекаются в одной точке.

    Задача 4

    Условие: отрезки $AB$ и $CD$, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке $E$.

    Вопрос: докажите, что отрезок $AC$ не пересекает прямую $BD$.

    Короткая запись условия:

    1. $ AB \cap CD=E$

    Доказать, что: $AC \bcancel{\cap} BD$ 

    Доказательство и чертёж

    1. Пусть $ AB \cap CD=E$
    2. Проведем через точки $B$ и $D$ прямую $BD$.
    3. $ AB \cap BD = B$;
    4. $ CD \cap BD = D$;
    5. Пусть прямая $BD$ делит плоскость $α$ на полуплоскости $α1$ и $α2$. Каждый отрезок может иметь с прямой только одну точку пересечения. Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ имеют с прямой точку пересечения, являющуюся одновременно их конечной точкой, следовательно, все точки отрезка $AB$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BD$, и все точки отрезка $CD$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BD$.
    6. $ AB \cap CD=E$ Tочка $E \in AB, CD$ Поскольку мы знаем, что все точки каждого отрезка лежат в одной полуплоскости, значит, все точки обоих отрезков лежат в полуплоскости, где находится точка $E$. Tо есть, оба отрезка лежат в одной полуплоскости.
    7. Если отрезки $AB$ и $CD$ лежат в одной полуплоскости, то точки $A$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BD$. Значит, $ AC \bcancel{\cap} BD$.

    Как производится измерение транспортиром

    Транспортир накладывается на угол


    Центральная точка транспортира совмещается с вершиной угла


    Прямая сторона выреза инструмента совмещается с одной из сторон угла


    Число, на которое укажет вторая сторона угла, и есть градусная мера этого угла


    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение