12. Наибольшее и наименьшее значение функций: все задания
Найдите точку максимума функции $y=\ln(x+5)-2x+10.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+5>0$$ $$x>-5$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{x+5}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+5}-2=0$$ $$\frac{1}{x+5}=2$$ $$1=2x+10$$ $$2x=-9$$ $$x=-4.5$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-5;-4.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4.5;\infty).$На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-4.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\ln(x+5)-2x+10.$
Найдите точку максимума функции $y=\ln(x+6)-4x+8.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+6>0$$ $$x>-6$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{x+6}-4$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+6}-4=0$$ $$\frac{1}{x+6}=4$$ $$1=4x+24$$ $$4x=-23$$ $$x=-5.75$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;-5.75),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-5.75;\infty).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-5.75$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\ln(x+6)-4x+8.$
Найдите наименьшее значение функции $$y=4x-4\ln(x+7)+6$$ на отрезке $[-6.5;0].$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+7>0$$ $$x>-7$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4-\frac{4}{x+7}$$ Приравняем производную к нулю: $$4-\frac{4}{x+7}=0$$ $$\frac{4}{x+7}=4$$ $$4=4x+28$$ $$4x=-24$$ $$x=-6$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-6.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-6.5;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;0].$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-6$ — это точка минимума функции.
Найдем значение функции $y=4x-4\ln(x+7)+6$ в данной точке: $$y=4\cdot(-6)-4\ln(-6+7)+6=-18$$
Найдите наименьшее значение функции $$y=9x-9\ln(x+11)+20$$ на отрезке $[-10.5;0].$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+11>0$$ $$x>-11$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=9-\frac{9}{x+11}$$ Приравняем производную к нулю: $$9-\frac{9}{x+11}=0$$ $$\frac{9}{x+11}=9$$ $$9=9x+99$$ $$9x=-90$$ $$x=-10$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-10.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-10.5;-10),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-10;0].$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-10$ — это точка минимума функции.
Найдем значение функции $y=9x-9\ln(x+11)+20$ в данной точке: $$y=9\cdot(-10)-9\ln(-10+11)+20=-70$$
Найдите точку максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4x-13+\frac{9}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$4x-13+\frac{9}{x}=0$$ $$4x^2-13x+9=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2.25$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1)\cup(2.25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2.25).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$
Найдите точку максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\ln{x}+5.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=x-27+\frac{50}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$x-27+\frac{50}{x}=0$$ $$x^2-27x+50=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=25$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;2)\cup(25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(2;25).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=2$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\ln{x}+5.$
Найдите наименьшее значение функции $$y=(x+3)^2(x+5)-2$$ на отрезке $[-4;-1].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x+3)(x+5)+(x+3)^2$$ $$f'(x)=(x+3)(3x+13)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x+3)(3x+13)=0$$ $$x_1=-3$$ $$x_2=-\frac{13}{3}$$ Промежутку $[-4;-1]$ принадлежит только $x=-3.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-4;-1]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-4;-3),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-3;-1].$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-3$ — это точка минимума функции.
Найдем значение функции $y=(x+3)^2(x+5)-2$ в данной точке: $$y=(-3+3)^2(-3+5)-2=-2$$
Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-7)^2(x+8)-4$$ на отрезке $[1;12].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-7)(x+8)+(x-7)^2$$ $$f'(x)=(x-7)(2x+16+x-7)$$ $$f'(x)=(x-7)(3x+9)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x-7)(3x+9)=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=-3$$ Промежутку $[1;12]$ принадлежит только $x=7.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[1;12]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;7),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(7;12].$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=7$ — это точка минимума функции.
Найдем значение функции $y=(x-7)^2(x+8)-3$ в данной точке: $$y=(7-7)^2(7+8)-4=-4$$
Найдите наименьшее значение функции $$y=4\tg{x}-4x-\pi+5$$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{4}{\cos^2x}-4$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$: $$\frac{4}{\cos^2x}-4=0$$ $$\frac{1}{\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.
Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\frac{\pi}{4}.$
Найдем значение функции $y=4\tg{x}-4x-\pi+5$ в данной точке: $$y=4\tg\Big({-\frac{\pi}{4}}\Big)-4\cdot \Big( -\frac{\pi}{4}\Big)-\pi+5=1$$
Найдите наименьшее значение функции $$y=12\tg{x}-12x-3\pi+18$$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{12}{\cos^2x}-12$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$: $$\frac{12}{\cos^2x}-12=0$$ $$\frac{1}{\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.
Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\frac{\pi}{4}.$
Найдем значение функции $y=12\tg{x}-12x-3\pi+18$ в данной точке: $$y=12\tg{\Big(-\frac{\pi}{4}\Big)}-12\cdot \Big(-\frac{\pi}{4}\Big)-3\pi+18=6$$
Найдите точку максимума функции $$y=(2x-3)\cos{x}-2\sin{x}+3$$ принадлежащую промежутку $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big).$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2\cos{x}-(2x-3)\sin{x}-2\cos{x}$$ $$f'(x)=-(2x-3)\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$:$$-(2x-3)\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$ $\sin{x}>0.$ Значит: $$-(2x-3)=0$$ $$x=1.5$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1.5;\frac{\pi}{2}).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $1.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(2x-3)\cos{x}-2\sin{x}+3.$
Найдите точку максимума функции $$y=(4x-1)\cos{x}-4\sin{x}+7$$ принадлежащую промежутку $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big).$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4\cos{x}-(4x-1)\sin{x}-4\cos{x}$$ $$f'(x)=-(4x-1)\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$:$$-(4x-1)\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$ $\sin{x}>0.$ Значит: $$-(4x-1)=0$$ $$x=0.25$$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0.25$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(4x-1)\cos{x}-4\sin{x}+7.$
Найдите точку максимума функции $y=(8-x)e^{x+8}.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+8}+(8-x)e^{x+8}$$ $$f'(x)=e^{x+8}(7-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+8}(7-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+8}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$7-x=0$$ $$x=7$$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(8-x)e^{x+8}.$
Найдите точку максимума функции $y=(11-x)e^{x+11}.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+11}+(11-x)e^{x+11}$$ $$f'(x)=e^{x+11}(10-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+11}(10-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+11}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$10-x=0$$ $$x=10$$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(11-x)e^{x+11}.$
Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-2)^2e^{x-2}$$ на отрезке $[1;4].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-2)e^{x-2}+(x-2)^2e^{x-2}$$ $$f'(x)=e^{x-2}(2(x-2)+(x-2)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)(2+x-2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-2}(x-2)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=2$$ На отрезке $[1;4]$ лежит только точка $x=2.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;4],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[1;2).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $2$ — это точка минимума функции на отрезке $[1;4].$
Найдем значение функции $y=(x-2)^2e^{x-2}$ в данной точке: $$y=(2-2)^2e^{2-2}=0$$
Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-15)^2e^{x-15}$$ на отрезке $[13.5;24].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-15)e^{x-15}+(x-15)^2e^{x-15}$$ $$f'(x)=e^{x-15}(2(x-15)+(x-15)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)(15+x-15)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-15}(x-15)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=15$$ На отрезке $[13.5;24]$ лежит только точка $x=15.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(15;24],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[13.5;15).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $15$ — это точка минимума функции на отрезке $[13.5;15].$
Найдем значение функции $y=(x-15)^2e^{x-15}$ в данной точке: $$y=(15-15)^2e^{15-15}=0$$
Найдите точку максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x} .$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(2x-10)e^{5-x}-(x^2-10x+10)e^{5-x}$$ $$f'(x)=e^{5-x}(-x^2+12x-20)$$ Найдем нули производной: $$e^{5-x}(-x^2+12x-20)=0$$ $$x^2-12x+20=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=10$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;10),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\infty;2)\cup(10;\infty).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это точка максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x} .$
Найдите точку максимума функции $y=(5x^2-35x+35)e^{13-x} .$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(10x-35)e^{13-x}-(5x^2-35x+35)e^{13-x}$$ $$f'(x)=e^{13-x}(-5x^2+45x-70)$$ Найдем нули производной: $$e^{13-x}(-5x^2+45x-70)=0$$ $$x^2-9x+14=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=2$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;7),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\infty;2)\cup(7;\infty).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это точка максимума функции $y=(5x^2-35x+35)e^{13-x} .$
Найдите точку минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2=\sqrt{x}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\sqrt{x}-2=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$
Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$
Найдите точку минимума функции $y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+14.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=\frac{1}{2}\sqrt{x}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\frac{1}{2}\sqrt{x}=3$$ $$x=36$$
Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(36;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;36).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $36$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+14.$
Найдите наибольшее значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ на отрезке $[1;23].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+3$$ $$f'(x)=3-\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$3-\sqrt{x}=0$$ $$\sqrt{x}=3$$ $$x=9$$
Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;9),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(9;\infty).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $9$ — это точка максимума функции на данном промежутке.
Найдем значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ в данной точке: $$y=-\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac{3}{2}}+3\cdot 9+1=10$$
Найдите наибольшее значение функции $y=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+12x+20$ на отрезке $[36;43].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+12$$ $$f'(x)=12-2\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$12-2\sqrt{x}=0$$ $$2\sqrt{x}=12$$ $$x=36$$
Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;36),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(36;\infty).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $36$ — это точка максимума функции на данном промежутке.
Найдем значение функции $y=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+12x+20$ в данной точке: $$y=-\frac{4}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}+12 \cdot 36+20=164$$
Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1.$
Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$
Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1.$
Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$
Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-30$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-30=0$$ $$\sqrt{x}=20$$ $$x=400$$
Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(400;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;400).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=400$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$
Найдите наибольшее значение функции $$y=12 \cos{x}+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3} \pi+6$$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-12\sin{x}+6\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-12\sin{x}+6\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.
Найдем значение функции $y=12 \cos{x}+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3} \pi+6$ в данной точке: $$y=12 \cos{\frac{\pi}{3}}+6\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-2\sqrt{3} \pi+6=12$$
Найдите наибольшее значение функции $$y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-16\sin{x}+8\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-16\sin{x}+8\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.
Найдем значение функции $y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$ в данной точке: $$y=16 \cos{\frac{\pi}{3}}+8\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4= 12$$
Найдите наименьшее значение функции $$y=7 \sin{x}-8x+9$$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=7\cos{x}-8$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0]$: $$7\cos{x}-8=0$$ $$\cos{x}=\frac{8}{7}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.
Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\frac{3\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$
Найдем значение функции $y=7 \sin{x}-8x+9$ в данной точке: $$y=7 \sin{0}-8 \cdot 0+9=9$$
Найдите наименьшее значение функции $$y=48 \sin{x}-101x+60$$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=48\cos{x}-101$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0]$: $$48\cos{x}-101=0$$ $$\cos{x}=\frac{101}{48}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.
Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\frac{3\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$
Найдем значение функции $y=48 \sin{x}-101x+60$ в данной точке: $$y=48 \sin{0}-101 \cdot 0+60=60$$
Найдите точку минимума функции $y=x^3-48x+17.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-48$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-48=0$$ $$x^2-16=0$$ $$x_1=4$$ $$x_2=-4$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-4)\cup(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4;-4).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-48x+17.$
Найдите точку минимума функции $y=x^3-588x-17.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-588$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-588=0$$ $$x^2-196=0$$ $$x_1=14$$ $$x_2=-14$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-14)\cup(14;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-14;-14).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $14$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-588x-17.$
Найдите наибольшее значение функции $y=9x^2-x^3$ на отрезке $[2;10].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=18x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$18x-3x^2=0$$ $$6x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=6$$ На отрезке $[2;10]$ лежит только точка $x=6.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;0)\cup(6;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(0;6).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $6$ — это точка максимума функции на данном промежутке.
Найдем значение функции $y=9x^2-x^3$ в данной точке: $$y=9\cdot 6^2-6^3=108$$
Найдите наибольшее значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ на отрезке $[-3;2].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-48x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$-48x-3x^2=0$$ $$-16x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=-16$$ На отрезке $[-3;2]$ лежит только точка $x=0.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-16)\cup(0;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-16;0).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0$ — это точка максимума функции на данном промежутке.
Найдем значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ в данной точке: $$y=-24\cdot 0^2-0^3+4=4$$
Найдите точку максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2+4x+1$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2+4x+1=0$$ $$x_1=-1$$ $$x_2=-\frac{1}{3}$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(-\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-1;-\frac{1}{3}).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$
Найдите точку максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-10x+7$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-10x+7=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2\frac{1}{3}$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;1)\cup(2\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2\frac{1}{3}).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$
Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2+1}{x}.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{1}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{1}{x^2}=0$$ $$\frac{1}{x^2}=1$$ $$x^2=1$$ $$x_1=1$$ $$x_2=-1$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(1;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-1;1).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+1}{x}.$
Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2+441}{x}.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{441}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{441}{x^2}=0$$ $$\frac{441}{x^2}=1$$ $$x^2=441$$ $$x_1=21$$ $$x_2=-21$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-21)\cup(21;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-21;21).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-21$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+441}{x}.$
Найдите наименьшее значение функции $y=x+\frac{36}{x}$ на отрезке $[1;9].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=1-\frac{36}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$1-\frac{36}{x^2}=0$$ $$\frac{36}{x^2}=1$$ $$x^2=36$$ $$x_1=6$$ $$x_2=-6$$ На отрезке $[1;9]$ лежит только точка $x=6.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(6;9].$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=6$ — это точка минимума функции.
Найдем значение функции $y=x+\frac{36}{x}$ в данной точке: $$y=6+\frac{36}{6}=12$$