ЕГЭ
Назад
Библиотека флеш-карточек Создать флеш-карточки
Библиотека тестов Создать тест
Математика Английский язык Тренажёры для мозга ЕГЭ Русский язык Чтение Биология Всеобщая история Окружающий мир
Классы
Темы
Математика Алгебра Геометрия ОГЭ Физика География Химия Биология Всеобщая история История России Обществознание Русский язык Литература ЕГЭ Английский язык
Подобрать занятие
Классы
Темы

12. Наибольшее и наименьшее значение функций: все задания

1. Задание #167225
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=\ln(x+5)-2x+10.$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+5>0$$ $$x>-5$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{x+5}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+5}-2=0$$ $$\frac{1}{x+5}=2$$ $$1=2x+10$$ $$2x=-9$$ $$x=-4.5$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-5;-4.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4.5;\infty).$На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-4.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\ln(x+5)-2x+10.$

Показать ответ
2. Задание #167230
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=\ln(x+6)-4x+8.$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+6>0$$ $$x>-6$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{x+6}-4$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+6}-4=0$$ $$\frac{1}{x+6}=4$$ $$1=4x+24$$ $$4x=-23$$ $$x=-5.75$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;-5.75),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-5.75;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-5.75$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\ln(x+6)-4x+8.$

Показать ответ
3. Задание #167231
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=4x-4\ln(x+7)+6$$ на отрезке $[-6.5;0].$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+7>0$$ $$x>-7$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4-\frac{4}{x+7}$$ Приравняем производную к нулю: $$4-\frac{4}{x+7}=0$$ $$\frac{4}{x+7}=4$$ $$4=4x+28$$ $$4x=-24$$ $$x=-6$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-6.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-6.5;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;0].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-6$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=4x-4\ln(x+7)+6$ в данной точке: $$y=4\cdot(-6)-4\ln(-6+7)+6=-18$$

Показать ответ
4. Задание #167232
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=9x-9\ln(x+11)+20$$ на отрезке $[-10.5;0].$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+11>0$$ $$x>-11$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=9-\frac{9}{x+11}$$ Приравняем производную к нулю: $$9-\frac{9}{x+11}=0$$ $$\frac{9}{x+11}=9$$ $$9=9x+99$$ $$9x=-90$$ $$x=-10$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-10.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-10.5;-10),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-10;0].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-10$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=9x-9\ln(x+11)+20$ в данной точке: $$y=9\cdot(-10)-9\ln(-10+11)+20=-70$$

Показать ответ
5. Задание #167233
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4x-13+\frac{9}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$4x-13+\frac{9}{x}=0$$ $$4x^2-13x+9=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2.25$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1)\cup(2.25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2.25).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$

Показать ответ
6. Задание #167234
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\ln{x}+5.$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=x-27+\frac{50}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$x-27+\frac{50}{x}=0$$ $$x^2-27x+50=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=25$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;2)\cup(25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(2;25).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=2$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\ln{x}+5.$

Показать ответ
7. Задание #167247
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x+3)^2(x+5)-2$$ на отрезке $[-4;-1].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x+3)(x+5)+(x+3)^2$$ $$f'(x)=(x+3)(3x+13)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x+3)(3x+13)=0$$ $$x_1=-3$$ $$x_2=-\frac{13}{3}$$ Промежутку $[-4;-1]$ принадлежит только $x=-3.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-4;-1]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-4;-3),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-3;-1].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-3$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=(x+3)^2(x+5)-2$ в данной точке: $$y=(-3+3)^2(-3+5)-2=-2$$

Показать ответ
8. Задание #167250
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-7)^2(x+8)-4$$ на отрезке $[1;12].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-7)(x+8)+(x-7)^2$$ $$f'(x)=(x-7)(2x+16+x-7)$$ $$f'(x)=(x-7)(3x+9)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x-7)(3x+9)=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=-3$$ Промежутку $[1;12]$ принадлежит только $x=7.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[1;12]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;7),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(7;12].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=7$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=(x-7)^2(x+8)-3$ в данной точке: $$y=(7-7)^2(7+8)-4=-4$$

Показать ответ
9. Задание #167262
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=4\tg{x}-4x-\pi+5$$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{4}{\cos^2x}-4$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$: $$\frac{4}{\cos^2x}-4=0$$ $$\frac{1}{\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.

Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\frac{\pi}{4}.$

Найдем значение функции $y=4\tg{x}-4x-\pi+5$ в данной точке: $$y=4\tg\Big({-\frac{\pi}{4}}\Big)-4\cdot \Big( -\frac{\pi}{4}\Big)-\pi+5=1$$

Показать ответ
10. Задание #167263
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=12\tg{x}-12x-3\pi+18$$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{12}{\cos^2x}-12$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$: $$\frac{12}{\cos^2x}-12=0$$ $$\frac{1}{\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.

Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\frac{\pi}{4}.$

Найдем значение функции $y=12\tg{x}-12x-3\pi+18$ в данной точке: $$y=12\tg{\Big(-\frac{\pi}{4}\Big)}-12\cdot \Big(-\frac{\pi}{4}\Big)-3\pi+18=6$$

Показать ответ
11. Задание #167265
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $$y=(2x-3)\cos{x}-2\sin{x}+3$$ принадлежащую промежутку $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big).$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2\cos{x}-(2x-3)\sin{x}-2\cos{x}$$ $$f'(x)=-(2x-3)\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$:$$-(2x-3)\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$ $\sin{x}>0.$ Значит: $$-(2x-3)=0$$ $$x=1.5$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1.5;\frac{\pi}{2}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $1.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(2x-3)\cos{x}-2\sin{x}+3.$

Показать ответ
12. Задание #167266
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $$y=(4x-1)\cos{x}-4\sin{x}+7$$ принадлежащую промежутку $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big).$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4\cos{x}-(4x-1)\sin{x}-4\cos{x}$$ $$f'(x)=-(4x-1)\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$:$$-(4x-1)\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$ $\sin{x}>0.$ Значит: $$-(4x-1)=0$$ $$x=0.25$$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0.25$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(4x-1)\cos{x}-4\sin{x}+7.$

Показать ответ
13. Задание #167267
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=(8-x)e^{x+8}.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+8}+(8-x)e^{x+8}$$ $$f'(x)=e^{x+8}(7-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+8}(7-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+8}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$7-x=0$$ $$x=7$$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(8-x)e^{x+8}.$

Показать ответ
14. Задание #167268
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=(11-x)e^{x+11}.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+11}+(11-x)e^{x+11}$$ $$f'(x)=e^{x+11}(10-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+11}(10-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+11}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$10-x=0$$ $$x=10$$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(11-x)e^{x+11}.$

Показать ответ
15. Задание #167269
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-2)^2e^{x-2}$$ на отрезке $[1;4].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-2)e^{x-2}+(x-2)^2e^{x-2}$$ $$f'(x)=e^{x-2}(2(x-2)+(x-2)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)(2+x-2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-2}(x-2)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=2$$ На отрезке $[1;4]$ лежит только точка $x=2.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;4],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[1;2).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $2$ — это точка минимума функции на отрезке $[1;4].$

Найдем значение функции $y=(x-2)^2e^{x-2}$ в данной точке: $$y=(2-2)^2e^{2-2}=0$$

Показать ответ
16. Задание #167270
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-15)^2e^{x-15}$$ на отрезке $[13.5;24].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-15)e^{x-15}+(x-15)^2e^{x-15}$$ $$f'(x)=e^{x-15}(2(x-15)+(x-15)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)(15+x-15)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-15}(x-15)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=15$$ На отрезке $[13.5;24]$ лежит только точка $x=15.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(15;24],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[13.5;15).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $15$ — это точка минимума функции на отрезке $[13.5;15].$

Найдем значение функции $y=(x-15)^2e^{x-15}$ в данной точке: $$y=(15-15)^2e^{15-15}=0$$

Показать ответ
17. Задание #167272
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x} .$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(2x-10)e^{5-x}-(x^2-10x+10)e^{5-x}$$ $$f'(x)=e^{5-x}(-x^2+12x-20)$$ Найдем нули производной: $$e^{5-x}(-x^2+12x-20)=0$$ $$x^2-12x+20=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=10$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;10),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\infty;2)\cup(10;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это точка максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x} .$

Показать ответ
18. Задание #167273
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=(5x^2-35x+35)e^{13-x} .$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(10x-35)e^{13-x}-(5x^2-35x+35)e^{13-x}$$ $$f'(x)=e^{13-x}(-5x^2+45x-70)$$ Найдем нули производной: $$e^{13-x}(-5x^2+45x-70)=0$$ $$x^2-9x+14=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=2$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;7),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\infty;2)\cup(7;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это точка максимума функции $y=(5x^2-35x+35)e^{13-x} .$

Показать ответ
19. Задание #167418
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2=\sqrt{x}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\sqrt{x}-2=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$

Показать ответ
20. Задание #167420
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+14.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=\frac{1}{2}\sqrt{x}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\frac{1}{2}\sqrt{x}=3$$ $$x=36$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(36;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;36).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $36$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+14.$

Показать ответ
21. Задание #167421
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ на отрезке $[1;23].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+3$$ $$f'(x)=3-\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$3-\sqrt{x}=0$$ $$\sqrt{x}=3$$ $$x=9$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;9),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(9;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $9$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ в данной точке: $$y=-\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac{3}{2}}+3\cdot 9+1=10$$

Показать ответ
22. Задание #167422
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $y=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+12x+20$ на отрезке $[36;43].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+12$$ $$f'(x)=12-2\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$12-2\sqrt{x}=0$$ $$2\sqrt{x}=12$$ $$x=36$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;36),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(36;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $36$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+12x+20$ в данной точке: $$y=-\frac{4}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}+12 \cdot 36+20=164$$

Показать ответ
23. Задание #167423
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1.$

Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1.$

Показать ответ
24. Задание #167426
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$

Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-30$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-30=0$$ $$\sqrt{x}=20$$ $$x=400$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(400;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;400).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=400$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$

Показать ответ
25. Задание #167427
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $$y=12 \cos{x}+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3} \pi+6$$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-12\sin{x}+6\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-12\sin{x}+6\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.

Найдем значение функции $y=12 \cos{x}+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3} \pi+6$ в данной точке: $$y=12 \cos{\frac{\pi}{3}}+6\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-2\sqrt{3} \pi+6=12$$

Показать ответ
26. Задание #167428
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $$y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-16\sin{x}+8\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-16\sin{x}+8\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.

Найдем значение функции $y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$ в данной точке: $$y=16 \cos{\frac{\pi}{3}}+8\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4= 12$$

Показать ответ
27. Задание #167477
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=7 \sin{x}-8x+9$$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=7\cos{x}-8$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0]$: $$7\cos{x}-8=0$$ $$\cos{x}=\frac{8}{7}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.

Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\frac{3\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$

Найдем значение функции $y=7 \sin{x}-8x+9$ в данной точке: $$y=7 \sin{0}-8 \cdot 0+9=9$$

Показать ответ
28. Задание #167478
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=48 \sin{x}-101x+60$$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=48\cos{x}-101$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0]$: $$48\cos{x}-101=0$$ $$\cos{x}=\frac{101}{48}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.

Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\frac{3\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$

Найдем значение функции $y=48 \sin{x}-101x+60$ в данной точке: $$y=48 \sin{0}-101 \cdot 0+60=60$$

Показать ответ
29. Задание #167479
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=x^3-48x+17.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-48$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-48=0$$ $$x^2-16=0$$ $$x_1=4$$ $$x_2=-4$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-4)\cup(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4;-4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-48x+17.$

Показать ответ
30. Задание #167481
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=x^3-588x-17.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-588$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-588=0$$ $$x^2-196=0$$ $$x_1=14$$ $$x_2=-14$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-14)\cup(14;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-14;-14).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $14$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-588x-17.$

Показать ответ
31. Задание #167482
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $y=9x^2-x^3$ на отрезке $[2;10].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=18x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$18x-3x^2=0$$ $$6x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=6$$ На отрезке $[2;10]$ лежит только точка $x=6.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;0)\cup(6;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(0;6).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $6$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=9x^2-x^3$ в данной точке: $$y=9\cdot 6^2-6^3=108$$

Показать ответ
32. Задание #167483
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ на отрезке $[-3;2].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-48x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$-48x-3x^2=0$$ $$-16x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=-16$$ На отрезке $[-3;2]$ лежит только точка $x=0.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-16)\cup(0;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-16;0).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ в данной точке: $$y=-24\cdot 0^2-0^3+4=4$$

Показать ответ
33. Задание #167484
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2+4x+1$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2+4x+1=0$$ $$x_1=-1$$ $$x_2=-\frac{1}{3}$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(-\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-1;-\frac{1}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$

Показать ответ
34. Задание #167485
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-10x+7$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-10x+7=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2\frac{1}{3}$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;1)\cup(2\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2\frac{1}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$

Показать ответ
35. Задание #167486
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2+1}{x}.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{1}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{1}{x^2}=0$$ $$\frac{1}{x^2}=1$$ $$x^2=1$$ $$x_1=1$$ $$x_2=-1$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(1;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-1;1).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+1}{x}.$

Показать ответ
36. Задание #167487
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2+441}{x}.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{441}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{441}{x^2}=0$$ $$\frac{441}{x^2}=1$$ $$x^2=441$$ $$x_1=21$$ $$x_2=-21$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-21)\cup(21;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-21;21).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-21$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+441}{x}.$

Показать ответ
37. Задание #167488
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $y=x+\frac{36}{x}$ на отрезке $[1;9].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=1-\frac{36}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$1-\frac{36}{x^2}=0$$ $$\frac{36}{x^2}=1$$ $$x^2=36$$ $$x_1=6$$ $$x_2=-6$$ На отрезке $[1;9]$ лежит только точка $x=6.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(6;9].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=6$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=x+\frac{36}{x}$ в данной точке: $$y=6+\frac{36}{6}=12$$

Показать ответ
Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение