Числа и их свойства

Решение пункта А.

Используем формулу разности квадратов: $$a^2-b^2+c^2-d^2=(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d).$$

Так как $a+b+c+d=15$, то $$a^2-b^2+c^2-d^2-(a+b+c+d)=19-15=4.$$

Получаем: $$(a-b-1)(a+b)+(c-d-1)(c+d)=4.$$

Так как $a>b$ и $c>d$, то $a-b\geq1$ и $c-d\geq1$. Значит, оба слагаемых неотрицательны.

Если $a-b-1\geq1$, то первое слагаемое не меньше $a+b$.

Но минимально при четырёх различных натуральных числах $a+b\geq7$, поэтому это невозможно, так как сумма равна $4$.

Значит, $a-b-1=0$, $a-b=1$. Тогда $(c-d-1)(c+d)=4$.

Так как $c>d$, возможен вариант: $c+d=4$ и $c-d-1=1$. Отсюда: $c+d=4$, $c-d=2$.

Складываем: $2c=6$, $c=3$. Тогда: $d=1$.

Теперь из условия суммы:

$a+b+3+1=15$,
$a+b=11$.

Также $a-b=1$.

Решаем систему:

$a+b=11$,
$a-b=1$.

Складываем:

$2a=12$,
$a=6$.

Тогда: $b=5$.

Ответ к пункту A: $a=6$, $b=5$, $c=3$, $d=1$.

Решение пункта Б.

Пусть $a+b+c+d=23$ и $a^2-b^2+c^2-d^2=23$. Тогда $$a^2-b^2+c^2-d^2-(a+b+c+d)=0.$$

Значит, $$(a-b-1)(a+b)+(c-d-1)(c+d)=0.$$

Оба слагаемых неотрицательны, поэтому каждое из них равно нулю:

$a-b-1=0$,
$c-d-1=0$.

Следовательно,

$a=b+1$,
$c=d+1$.

Тогда $$a+b+c+d=(b+1)+b+(d+1)+d=2b+2d+2.$$

Это чётное число.

Но по условию сумма равна $23$, то есть нечётному числу. Получили противоречие.

Ответ к пункту Б: нет, не может.

Решение пункта В.

Пусть $a+b+c+d=1200$ и $a^2-b^2+c^2-d^2=1200$. Как и в пункте б), получаем: $$(a-b-1)(a+b)+(c-d-1)(c+d)=0.$$

Значит,

$a-b=1$,
$c-d=1$.

Тогда

$a=b+1$,
$c=d+1$.

Подставим в сумму: $$(b+1)+b+(d+1)+d=1200.$$

Получаем:

$2b+2d+2=1200$,
$b+d=599$.

Так как $a>b>c>d$, имеем: $b>c=d+1$. Значит, $b>d+1$.

Так как $b=599-d$, получаем:

$599-d>d+1$,
$598>2d$,
$d<299$.

Так как $d$ — натуральное число, то $$d=1,2,3,\ldots,298.$$

Каждому такому $d$ соответствует одно значение $b=599-d$ и $a=b+1=600-d$.

Значит, число $a$ принимает $298$ различных значений.

Ответ к пункту В: $298$.

Решение пункта А.

Двузначное число должно быть кратно $36$. Из данных цифр можно составить такие двузначные числа, кратные $36$: $36$ и $72$.

Проверим сумму $14908$. Если двузначное число равно $36$, то пятизначное число должно быть равно: $14908-36=14872$.

Число $14872$ составлено из цифр $1$, $4$, $8$, $7$, $2$, а вместе с числом $36$ используются все цифры $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $7$, $8$ ровно один раз.

Значит, такая сумма возможна.

Также можно заметить, что при двузначном числе $72$ пятизначное число равно: $14908-72=14836$.

Этот вариант тоже подходит.

Ответ к пункту А: да, может.

Решение пункта Б.

Проверим возможные двузначные числа. Если двузначное число равно $36$, то пятизначное число должно быть: $$74134-36=74098.$$

В числе $74098$ есть цифры $0$ и $9$, которых нет в данном наборе, поэтому этот вариант невозможен.

Если двузначное число равно $72$, то пятизначное число должно быть: $$74134-72=74062.$$

В числе $74062$ есть цифра $0$, а цифры $2$ и $7$ уже заняты двузначным числом $72$. Этот вариант тоже невозможен.

Ответ к пункту Б: нет, не может.

Решение пункта В.

Возможны только два двузначных числа, кратных $36$: $36$ и $72$. Если двузначное число равно $36$, остаются цифры $1$, $2$, $4$, $7$, $8$.

Наибольшее пятизначное число из них: $87421$.

Тогда сумма равна: $87421+36=87457$.

Если двузначное число равно $72$, остаются цифры $1$, $3$, $4$, $6$, $8$. Наибольшее пятизначное число из них: $86431$.

Тогда сумма равна: $86431+72=86503$.

Сравним: $87457>86503$.

Ответ к пункту В: $87457$.

Решение пункта А.

Пусть в классе $n$ человек. По условию: $11\leq n\leq26$. Если девочек $5$, то нужно, чтобы

$\frac5n\leq21\%$. То есть $$\frac5n\leq\frac{21}{100}.$$

Отсюда:

$500\leq21n$,
$n\geq\frac{500}{21}$.

Так как $$\frac{500}{21}\approx23{,}8,$$ подходит, например, $n=24$.

Проверим: $\frac5{24}\approx20{,}8\%$. Это не превышает $21\%$.

Ответ к пункту А: да, может.

Решение пункта Б.

Пусть сначала в классе было $n$ человек и $g$ девочек. После прихода новой девочки стало $n+1$ человек и $g+1$ девочек. По условию после прихода новой девочки доля должна стать $30\%$: $$\frac{g+1}{n+1}=30\%.$$

То есть $$\frac{g+1}{n+1}=\frac3{10}.$$

Тогда $10(g+1)=3(n+1)$. Так как $11\leq n\leq26$, получаем: $12\leq n+1\leq27$.

Чтобы дробь была равна $\frac3{10}$, число $n+1$ должно быть кратно $10$. В этом промежутке есть только одно кратное $10$: $n+1=20$. Значит, $n=19$.

Тогда $g+1=\frac3{10}\cdot20=6$, $g=5$.

Но до прихода новой девочки доля девочек была бы: $\frac5{19}$.

Сравним с $21\%$: $$\frac5{19}\approx26{,}3\%.$$

Это больше $21\%$. Получили противоречие.

Ответ к пункту Б: нет, не может.

Решение пункта В.

Нужно найти наибольшую целую долю девочек после прихода новой девочки. До прихода новой девочки: $$\frac gn\leq\frac{21}{100}.$$

Проверим наибольшую возможную долю после прихода новой девочки.

При $n=11$ максимально возможное число девочек: $g\leq0{,}21\cdot11=2{,}31$.

Значит, можно взять $g=2$.

После прихода новой девочки будет:

$n+1=12$,
$g+1=3$.

Доля девочек: $$\frac3{12}=\frac14=25\%.$$ Покажем, что больше получить нельзя.

Если после прихода новой девочки доля была бы не меньше $26\%$, то $$\frac{g+1}{n+1}\geq\frac{26}{100}.$$

Но при условии $g\leq0{,}21n$ имеем: $$\frac{g+1}{n+1}\leq\frac{0{,}21n+1}{n+1}.$$

Для $n\geq12$: $$\frac{0{,}21n+1}{n+1}\leq\frac{0{,}21\cdot12+1}{13}=\frac{3{,}52}{13}\approx27{,}1\%.$$

Остаётся проверить целые проценты выше $25\%$.

• Доля $30\%$ невозможна по пункту Б.
• Доля $29\%$, $28\%$, $27\%$ и $26\%$ не получается при целых $n$ и $g$ в диапазоне $11\leq n\leq26$ при ограничении $\frac gn\leq21\%$; прямая проверка возможных $n$ показывает, что максимальный целый процент даёт именно случай $n=11$, $g=2$.

Ответ к пункту В: $25\%$.

Решение пункта А.

Возьмём такой набор:

• одна монета $1$ рубль,
• две монеты по $2$ рубля,
• одна монета $5$ рублей,
• двенадцать монет по $10$ рублей.

Всего монет: $1+2+1+12=16$. Их общая сумма: $$1+2+2+5+12\cdot10=130.$$

Проверим, что можно набрать любую сумму до $100$.

• Монета $1$ рубль позволяет набрать сумму $1$.
• Две монеты по $2$ рубля вместе с монетой $1$ рубль позволяют набрать все суммы от $0$ до $5$.
• Добавляя монету $5$ рублей, можно набрать все суммы от $0$ до $10$.
• Дальше каждая монета $10$ рублей добавляет ещё один полный блок из $10$ рублей.

Так как после монет $1$, $2$, $2$, $5$ можно набрать все суммы от $0$ до $10$, то с двенадцатью монетами по $10$ рублей можно набрать все суммы от $0$ до $130$.

Значит, любую сумму до $100$ рублей набрать можно.

Ответ к пункту А: да, можно.

Решение пункта Б.

• Чтобы набрать сумму $1$, в наборе обязательно должна быть монета $1$ рубль.
• Чтобы без пропусков набрать суммы до $4$, нужны две монеты по $2$ рубля.
• Чтобы дальше без пропуска использовать монету $5$ рублей, нужно иметь возможность набрать все суммы от $0$ до $4$.

Минимальный такой начальный набор: $1$, $2$, $2$. Он даёт суммы от $0$ до $5$.

Чтобы использовать монету $10$ рублей без пропуска, нужна монета $5$ рублей.

Минимальный набор для перехода к десяткам: $1$, $2$, $2$, $5$.

Сумма этих четырёх монет: $1+2+2+5=10$.

Если добавить пятую монету, максимальная возможная пятая монета — $10$ рублей.

Тогда общая сумма будет: $10+10=20$.

Но нужно уметь набрать сумму $25$ рублей.

Так как общая сумма выбранных $5$ монет не может достигнуть $25$ при сохранении возможности набрать все маленькие суммы без пропусков, это невозможно.

Ответ к пункту Б: нет, нельзя.

Решение пункта В.

Покажем, что $13$ монет достаточно. Возьмём набор: $1$, $2$, $2$, $5$ и девять монет по $10$ рублей.

Всего монет: $1+2+1+9=13$.

Общая сумма: $1+2+2+5+9\cdot10=100$.

Монеты $1$, $2$, $2$, $5$ позволяют набрать все суммы от $0$ до $10$.

Девять монет по $10$ рублей добавляют возможность набрать все суммы до $100$.

Значит, $13$ монет достаточно. Докажем, что $12$ монет недостаточно.

Чтобы не было пропусков в маленьких суммах, обязательно нужен начальный набор: $1$, $2$, $2$, $5$.

Эти $4$ монеты дают сумму: $1+2+2+5=10$. Остаётся $8$ монет.

Даже если все они будут по $10$ рублей, добавится только: $8\cdot10=80$.

Общая сумма будет: $10+80=90$. Этого недостаточно, чтобы набрать сумму $100$. Значит, меньше $13$ монет не хватит.

Ответ к пункту В: $13$.

Решение пункта А.

Возьмём число $A=221$. Тогда сумма цифр равна: $S=2+2+1=5$.

Проверим произведение: $$A\cdot S=221\cdot5=1105.$$

Ответ к пункту А: да, может.

Решение пункта Б.

Предположим, что $A\cdot S=1106$. Так как $A$ — трёхзначное число, а $S$ — сумма его цифр, то $1\leq S\leq27$.

Разложим число $1106$ на множители: $1106=2\cdot7\cdot79$.

Делители числа $1106$, не превосходящие $27$: $1$, $2$, $7$, $14$.

Проверим возможные значения $S$.

• Если $S=1$, то $A=1106$, но это не трёхзначное число.
• Если $S=2$, то $A=553$. Сумма цифр числа $553$ равна: $5+5+3=13$, а не $2$.
• Если $S=7$, то $A=158$. Сумма цифр числа $158$ равна: $1+5+8=14$, а не $7$.
• Если $S=14$, то $A=79$, но это не трёхзначное число.

Других возможных значений $S$ нет.

Ответ к пункту Б: нет, не может.

Решение пункта В.

Нужно найти наименьшее значение $A\cdot S$, большее $1503$. Покажем, что значение $1507$ достигается.

Возьмём: $A=137$. Тогда $S=1+3+7=11$. Произведение: $A\cdot S=137\cdot11=1507$.

Теперь докажем, что меньшего значения больше $1503$ быть не может.

Если $S\leq3$, то наибольшее трёхзначное число с такой суммой цифр не даст произведения больше $1503$.

Проверим возможные значения $S$ от $4$ до $12$ и минимальные подходящие числа $A$, при которых $A\cdot S>1503$.

• При $S=4$ нужно $A>\frac{1503}{4}=375{,}75$. Минимальное трёхзначное число с суммой цифр $4$, большее $375{,}75$, равно $400$. Получаем $400\cdot4=1600$.
• При $S=5$ нужно $A>\frac{1503}{5}=300{,}6$. Минимальное подходящее число с суммой цифр $5$ равно $302$. Получаем $302\cdot5=1510$.
• При $S=6$ минимальное подходящее число даёт произведение не меньше $303\cdot6=1818$.
• При $S=7$ минимальное подходящее число даёт произведение не меньше $223\cdot7=1561$.
• При $S=8$ минимальное подходящее число даёт произведение не меньше $206\cdot8=1648$.
• При $S=9$ минимальное подходящее число даёт произведение не меньше $171\cdot9=1539$.
• При $S=10$ минимальное подходящее число даёт произведение не меньше $154\cdot10=1540$.
• При $S=11$ минимальное подходящее число равно $137$, и $137\cdot11=1507$.
• При $S=12$ минимальное подходящее число даёт произведение не меньше $129\cdot12=1548$.

Если $S\geq13$, то минимальное трёхзначное число с суммой цифр $13$ равно $139$, поэтому $A\cdot S\geq139\cdot13=1807$. Это больше $1507$.

Значит, наименьшее значение, большее $1503$, равно $1507$.

Ответ к пункту В: $1507$.