Практика к уроку «Кредит с дифференцированными платежами»

Пусть сумма долга каждый год к началу июля уменьшается на одну и ту же величину.

Кредит взят на $6$ лет, значит за $6$ лет долг должен уменьшиться с $12$ млн рублей до $0$. Ежегодное уменьшение долга равно: $\frac{12}{6}=2$.

Значит, к началу июля долг будет изменяться так: $$12;\ 10;\ 8;\ 6;\ 4;\ 2;\ 0.$$

Последний год начинается с долга $2$ млн рублей.

В январе этот долг увеличивается на $r\%$, то есть становится равным: $$2\left(1+\frac{r}{100}\right).$$

Так как к началу июля последнего года долг должен стать равен $0$, последний платёж равен всей этой сумме: $$2\left(1+\frac{r}{100}\right).$$

По условию последний платёж не менее $2{,}5$ млн рублей: $$2\left(1+\frac{r}{100}\right)\ge2{,}5.$$

Разделим обе части на $2$:

$1+\frac{r}{100}\ge1{,}25$
$\frac{r}{100}\ge0{,}25$
$r\ge25$.

Наименьшая возможная ставка: $r=25$.

Ответ: $25\%$.

Так как кредит взят на $24$ месяца, а долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину, то ежемесячное уменьшение долга равно $\frac{A}{24}$. Обозначим эту величину через $d$: $d=\frac{A}{24}$.

Тогда долг на 15-е число каждого месяца уменьшается так: $$A;\ A-d;\ A-2d;\ \ldots;\ A-24d=0.$$

В 2028 году проходят последние $12$ платежей: с 13-го по 24-й месяц. Перед 13-м платежом долг на 15-е число предыдущего месяца равен $A-12d$. Перед 14-м платежом: $A-13d$. И так далее. Перед 24-м платежом: $A-23d$.

Каждый месяц сначала долг увеличивается на $2\%$, а затем после платежа уменьшается на $d$.

Значит, каждый платёж состоит из двух частей: проценты за месяц и уменьшение долга на $d$.

Сумма платежей за 2028 год равна: $$0{,}02\left((A-12d)+(A-13d)+\ldots+(A-23d)\right)+12d.$$

Так как $d=\frac{A}{24}$, получаем:

$(A-12d)+(A-13d)+\ldots+(A-23d)=$
$=12A-(12+13+\ldots+23)d$.

Найдём сумму чисел: $$12+13+\ldots+23=\frac{12+23}{2}\cdot12=210.$$

Тогда:

$12A-210d=12A-210\cdot\frac{A}{24}$
$=12A-\frac{35A}{4}$
$=\frac{48A}{4}-\frac{35A}{4}$
$=\frac{13A}{4}$.

Сумма платежей за 2028 год: $$0{,}02\cdot\frac{13A}{4}+12\cdot\frac{A}{24}.$$

Упростим:

$0{,}02\cdot\frac{13A}{4}=0{,}005\cdot13A=0{,}065A$.
$12\cdot\frac{A}{24}=\frac{A}{2}=0{,}5A$.

Значит, общая сумма платежей за 2028 год равна: $$0{,}065A+0{,}5A=0{,}565A.$$

По условию она составила $11,300$ тыс. рублей, то есть $11{,}3$ млн рублей. Получаем уравнение:

$0{,}565A=11{,}3$
$A=\frac{11{,}3}{0{,}565}$
$A=20$.

Ответ: $20$ млн рублей.

Пусть кредит взят на $n$ лет. Так как долг каждый год уменьшается на одну и ту же сумму, то ежегодное уменьшение долга равно $\frac{6}{n}$ млн рублей.

Тогда долг в июле каждого года будет равен: $$6;\ 6-\frac{6}{n};\ 6-\frac{12}{n};\ \ldots;\ \frac{6}{n};\ 0.$$

Общая сумма выплат состоит из самого долга $6$ млн рублей и процентов, которые начислялись каждый январь.

• Перед первым январём долг равен $6$.
• Перед вторым январём долг равен $6-\frac{6}{n}$.
• Перед третьим январём долг равен $6-\frac{12}{n}$.
• Перед последним январём долг равен $\frac{6}{n}$.

Значит, сумма долгов, на которые начислялись проценты, равна: $$6+\left(6-\frac{6}{n}\right)+\left(6-\frac{12}{n}\right)+\ldots+\frac{6}{n}.$$

Это арифметическая прогрессия, в которой $n$ слагаемых, первое слагаемое $6$, последнее $\frac{6}{n}$.

Сумма равна:

$\frac{6+\frac{6}{n}}{2}\cdot n$
$=\frac{6n+6}{2}$
$=3n+3$.

Каждый год начисляется $10\%$ от долга, значит общая сумма процентов равна:

$0{,}1(3n+3)$
$=0{,}3n+0{,}3$.

Общая сумма выплат равна: $6+0{,}3n+0{,}3$. По условию она составляет $8{,}4$ млн рублей:

$6+0{,}3n+0{,}3=8{,}4$
$6{,}3+0{,}3n=8{,}4$
$0{,}3n=2{,}1$
$n=7$.

Ответ: кредит планируется взять на $7$ лет.

Пусть сумма кредита равна $A$ тысяч рублей.

Так как в течение первых $15$ месяцев долг каждый месяц уменьшается на $40$ тысяч рублей, то долги на 15-е число каждого месяца будут такими: $$A,\ A-40,\ A-80,\ A-120,\ldots,\ A-600.$$

Всего перед начислением процентов будет $16$ значений долга: $A,\ A-40,\ A-80,\ldots,\ A-600$. Найдём их сумму.

Это арифметическая прогрессия, где:

• первый член равен $A$,
• последний член равен $A-600$,
• количество членов равно $16$.

Тогда сумма долгов, на которые начислялись проценты:

$\frac{A+(A-600)}{2}\cdot16$
$=\frac{2A-600}{2}\cdot16$
$=(A-300)\cdot16$
$=16A-4800$.

Общая сумма выплат состоит из самого долга $A$ и всех начисленных процентов.

Так как каждый месяц долг возрастает на $2\%$, сумма процентов равна: $0{,}02(16A-4800)$.

Тогда общая сумма выплат: $$A+0{,}02(16A-4800).$$

По условию она равна $960$ тысяч рублей:

$A+0{,}02(16A-4800)=960$
$A+0{,}32A-96=960$
$1{,}32A=1056$
$A=800$.

Ответ: $800$ тысяч рублей.

Пусть сумма кредита равна $S$ тыс. рублей.

С $2026$ по $2030$ год долг уменьшается равномерно и к июлю $2030$ года становится равен $600$ тыс. рублей. Значит, ежегодное уменьшение долга на первом этапе равно: $\frac{S-600}{5}$. Обозначим эту величину через $d$: $d=\frac{S-600}{5}$.

Тогда долги, на которые начисляются проценты в первые пять лет, равны: $$S;\ S-d;\ S-2d;\ S-3d;\ S-4d.$$

Найдём их сумму: $$S+(S-d)+(S-2d)+(S-3d)+(S-4d)=5S-10d.$$

Подставим $d=\frac{S-600}{5}$:

$5S-10\cdot\frac{S-600}{5}=5S-2(S-600)$
$5S-2S+1200=3S+1200$.

Теперь рассмотрим второй этап.

В июле $2030$ года долг равен $600$ тыс. рублей, а к июлю $2035$ года он должен стать равен $0$. За $5$ лет долг уменьшается на одну и ту же величину: $\frac{600}{5}=120$.

Значит, долги, на которые начисляются проценты во второй части выплат, равны: $600;\ 480;\ 360;\ 240;\ 120$.

Их сумма: $600+480+360+240+120=1800$.

Общая сумма долгов, на которые начислялись проценты: $$3S+1200+1800=3S+3000.$$

Так как каждый январь долг возрастает на $20\%$, общая сумма процентов равна: $0{,}2(3S+3000).$$

Общая сумма всех платежей состоит из самого долга $S$ и процентов: $S+0{,}2(3S+3000)=1880$. Решим уравнение:

$S+0{,}6S+600=1880$
$1{,}6S=1280$
$S=800$.

Значит, сумма кредита равна $800$ тыс. рублей.

Теперь найдём платёж в $2026$ году. Ежегодное уменьшение долга на первом этапе: $$d=\frac{800-600}{5}=40.$$

В январе $2026$ года долг $800$ тыс. рублей увеличится на $20\%$: $0{,}2\cdot800=160$.

Платёж в $2026$ году состоит из процентов и уменьшения основного долга: $160+40=200$ тыс. рублей.

Ответ: $200\ 000$ рублей.

Пусть ставка равна $r\%$. Кредит составляет $900$ тыс. рублей. Сначала долг уменьшается с $900$ тыс. рублей до $300$ тыс. рублей за $5$ лет.

Ежегодное уменьшение долга на первом этапе: $$\frac{900-300}{5}=120.$$

Значит, долги на июль перед начислением процентов в первые пять лет: $900;\ 780;\ 660;\ 540;\ 420$. Их сумма: $$900+780+660+540+420=3300.$$

Затем долг уменьшается с $300$ тыс. рублей до $0$ за следующие $5$ лет.

Ежегодное уменьшение долга на втором этапе: $\frac{300}{5}=60$.

Значит, долги перед начислением процентов во вторые пять лет: $300;\ 240;\ 180;\ 120;\ 60$. Их сумма: $$300+240+180+120+60=900.$$

Общая сумма долгов, на которые начислялись проценты: $3300+900=4200$.

Общая сумма всех выплат равна сумме основного долга и всех процентов: $$900+\frac{r}{100}\cdot4200.$$

По условию эта сумма равна $1\ 740$ тыс. рублей:

$900+\frac{r}{100}\cdot4200=1740$
$\frac{r}{100}\cdot4200=840$
$\frac{r}{100}=\frac{840}{4200}$
$\frac{r}{100}=0{,}2$
$r=20$.

Ответ: $20\%$.