Практика к уроку «Неравенства с логарифмами»

Сначала запишем ОДЗ:

$x^2-9>0$
$x^2>9$
$x<-3$ или $x>3$.

Сделаем замену: $$t=\log_2(x^2-9).$$

Тогда неравенство принимает вид: $$t^2-9t+20\ge0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $(t-4)(t-5)\ge0$. Решаем методом интервалов: $$t\in(-\infty;4]\cup[5;+\infty).$$

Возвращаемся к замене.

Первый случай: $$\log_2(x^2-9)\le4.$$

Так как основание $2>1$, получаем:

$x^2-9\le2^4$
$x^2-9\le16$
$x^2\le25$.

С учётом ОДЗ $x<-3$ или $x>3$: $x\in[-5;-3)\cup(3;5]$.

Второй случай:

$\log_2(x^2-9)\ge5$
$x^2-9\ge2^5$
$x^2-9\ge32$
$x^2\ge41$
$x\le-\sqrt{41}$ или $x\ge\sqrt{41}$.

Ответ: $(-\infty;-\sqrt{41}]\cup[-5;-3)\cup(3;5]\cup[\sqrt{41};+\infty)$.

Сначала найдём ОДЗ:

$x^2-4>0$
$x^2>4$
$x<-2$ или $x>2$.

Сделаем замену: $$t=\log_3(x^2-4).$$

Тогда неравенство принимает вид: $$t^2-7t+12\ge0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $(t-3)(t-4)\ge0$. Решаем методом интервалов: $$t\in(-\infty;3]\cup[4;+\infty).$$

Возвращаемся к замене.

Первый случай: $\log_3(x^2-4)\le3$.

Так как основание $3>1$, знак неравенства не меняется:

$x^2-4\le3^3$
$x^2-4\le27$
$x^2\le31$.

С учётом ОДЗ $x<-2$ или $x>2$ получаем: $$x\in[-\sqrt{31};-2)\cup(2;\sqrt{31}].$$

Второй случай:

$\log_3(x^2-4)\ge4$
$x^2-4\ge3^4$
$x^2-4\ge81$
$x^2\ge85$
$x\le-\sqrt{85}$ или $x\ge\sqrt{85}$.

Объединяем решения: $$(-\infty;-\sqrt{85}]\cup[-\sqrt{31};-2)\cup(2;\sqrt{31}]\cup[\sqrt{85};+\infty).$$

Ответ: $(-\infty;-\sqrt{85}]\cup[-\sqrt{31};-2)\cup(2;\sqrt{31}]\cup[\sqrt{85};+\infty)$.

Сначала найдём ОДЗ. Для логарифмов должны выполняться условия:

$4x^2-1>0$
$x>0$
$5x+\frac{9}{x}-11>0$.

Из условия $x>0$ и $4x^2-1>0$ получаем:

$4x^2>1$
$x^2>\frac14$.

Так как $x>0$, то: $x>\frac12$.

Проверим третье условие: $$5x+\frac{9}{x}-11>0.$$

Так как $x>0$, умножим на $x$: $5x^2-11x+9>0$.

Дискриминант: $$D=(-11)^2-4\cdot5\cdot9=121-180=-59.$$

Так как $D<0$ и старший коэффициент положительный, выражение $5x^2-11x+9$ всегда положительно.

Значит, ОДЗ: $x>\frac12$.

Теперь преобразуем левую часть: $$\log_2(4x^2-1)-\log_2x=\log_2\frac{4x^2-1}{x}.$$

Получаем: $$\log_2\frac{4x^2-1}{x}\le \log_2\left(5x+\frac{9}{x}-11\right).$$

Так как основание $2>1$, можно сравнить аргументы: $$\frac{4x^2-1}{x}\le 5x+\frac{9}{x}-11.$$

Умножим на $x$, учитывая, что $x>0$: $$4x^2-1\le5x^2+9-11x.$$

Перенесём всё в правую часть: $0\le x^2-11x+10$. То есть: $x^2-11x+10\ge0$.

Разложим квадратный трёхчлен: $$(x-1)(x-10)\ge0.$$

Решаем методом интервалов: $$x\in(-\infty;1]\cup[10;+\infty).$$

Теперь учитываем ОДЗ $x>\frac12$: $x\in(\frac12;1]\cup[10;+\infty)$.

Ответ: $(\frac12;1]\cup[10;+\infty)$.

Сначала найдём ОДЗ. Для логарифмов должны выполняться условия:

$9x^2-1>0$
$x>0$
$10x+\frac{5}{x}-7>0$.

Из условий $9x^2-1>0$ и $x>0$ получаем:

$9x^2>1$
$x^2>\frac19$.

Так как $x>0$, то: $x>\frac13$.

Проверим третье условие: $$10x+\frac{5}{x}-7>0.$$

Так как $x>0$, умножим на $x$: $10x^2-7x+5>0$.

Дискриминант: $$D=(-7)^2-4\cdot10\cdot5=49-200=-151.$$

Так как $D<0$ и старший коэффициент положительный, выражение $10x^2-7x+5$ всегда положительно.

Значит, ОДЗ: $x>\frac13$.

Преобразуем левую часть: $$\log_3(9x^2-1)-\log_3x=\log_3\frac{9x^2-1}{x}.$$

Получаем: $$\log_3\frac{9x^2-1}{x}\le \log_3\left(10x+\frac{5}{x}-7\right).$$

Так как основание $3>1$, сравниваем аргументы: $$\frac{9x^2-1}{x}\le10x+\frac{5}{x}-7.$$

Умножим на $x$, учитывая, что $x>0$: $9x^2-1\le10x^2+5-7x$.

Перенесём всё в правую часть: $0\le x^2-7x+6$. То есть: $x^2-7x+6\ge0$.

Разложим квадратный трёхчлен: $(x-1)(x-6)\ge0$. Решаем методом интервалов: $$x\in(-\infty;1]\cup[6;+\infty).$$

Теперь учитываем ОДЗ $x>\frac13$: $x\in(\frac13;1]\cup[6;+\infty)$.

Ответ: $(\frac13;1]\cup[6;+\infty)$.

Сначала найдём ОДЗ. Так как есть $\log_4x$, то $x>0$.

Также знаменатель не должен быть равен нулю:

$\log_4^2x-9\ne0$
$\log_4^2x\ne9$
$\log_4x\ne3$ и $\log_4x\ne-3$
$x\ne64$ и $x\ne\frac{1}{64}$.

Сделаем замену: $t=\log_4x$. Тогда преобразуем числитель:

$\log_4(16x^4)+11=\log_416+\log_4x^4+11$
$\log_416=2$
$\log_4x^4=4\log_4x=4t$.

Значит, $\log_4(16x^4)+11=2+4t+11=4t+13$.

Знаменатель: $\log_4^2x-9=t^2-9$.

Получаем неравенство: $$\frac{4t+13}{t^2-9}\ge -1.$$

Перенесём $-1$ в левую часть: $$\frac{4t+13}{t^2-9}+1\ge0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{4t+13+t^2-9}{t^2-9}\ge0$
$\frac{t^2+4t+4}{t^2-9}\ge0$.

Разложим на множители: $$\frac{(t+2)^2}{(t-3)(t+3)}\ge0.$$

Критические точки: $t=-3$, $t=-2$, $t=3$.

При этом $t=-3$ и $t=3$ не входят в ответ, так как это нули знаменателя.

Методом интервалов получаем: $$t\in(-\infty;-3)\cup{-2}\cup(3;+\infty).$$

Возвращаемся к замене $t=\log_4x$.

Первый промежуток: $\log_4x<-3$.

Так как основание $4>1$, знак неравенства не меняется:

$x<4^{-3}$
$x<\frac{1}{64}$.

С учётом $x>0$: $0<x<\frac{1}{64}$.

Второй случай:

$\log_4x=-2$
$x=4^{-2}$
$x=\frac{1}{16}$.

Третий промежуток:

$\log_4x>3$
$x>4^3$
$x>64$.

Ответ: $(0;\frac{1}{64})\cup{\frac{1}{16}}\cup(64;+\infty)$.

Сначала найдём ОДЗ. Так как есть $\log_3x$, то $x>0$.

Также знаменатель не должен быть равен нулю:

$\log_3^2x-16\ne0$
$\log_3^2x\ne16$
$\log_3x\ne4$ и $\log_3x\ne-4$
$x\ne81$ и $x\ne\frac{1}{81}$.

Сделаем замену: $t=\log_3x$.

Преобразуем числитель:

$\log_3(27x^4)+13=\log_327+\log_3x^4+13$
$=3+4\log_3x+13$
$=4t+16$.

Получаем неравенство: $$\frac{4t+16}{t^2-16}\ge -1.$$

Переносим $-1$ влево:

$\frac{4t+16}{t^2-16}+1\ge0$
$\frac{4t+16+t^2-16}{t^2-16}\ge0$
$\frac{t^2+4t}{t^2-16}\ge0$
$\frac{t(t+4)}{(t-4)(t+4)}\ge0$.

При $t\ne-4$ можно сократить, но важно не забыть ОДЗ: $\frac{t}{t-4}\ge0$, где $t\ne-4$, $t\ne4.$

Критические точки: $t=-4$, $t=0$, $t=4$.

Решаем методом интервалов: $$t\in(-\infty;-4)\cup[0;4)\cup(4;+\infty).$$

Но $t=4$ не входит, а $t=-4$ тоже не входит.

Возвращаемся к замене $t=\log_3x$.

Первый промежуток:

$\log_3x<-4$
$x<3^{-4}$
$x<\frac{1}{81}$.

С учётом $x>0$: $0<x<\frac{1}{81}$.

Второй промежуток:

$0\le\log_3x<4$
$1\le x<81$.

Третий промежуток:

$\log_3x>4$
$x>81$.

Ответ: $(0;\frac{1}{81})\cup[1;81)\cup(81;+\infty)$.

Сделаем замену: $t=\log_8x$. Тогда $x>0$.

Преобразуем выражения: $\log_8\frac{x}{64}=\log_8x-\log_864=t-2$, так как $64=8^2$.

Также: $\log_8x^2=2\log_8x=2t$

Значит, $$\log_8^2x-\log_8x^2=t^2-2t=t(t-2).$$

Получаем неравенство: $$\frac{t}{t-2}\ge \frac{2}{t}+\frac{3}{t(t-2)}.$$

ОДЗ: $t\ne0$, $t\ne2$.

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{t}{t-2}-\frac{2}{t}-\frac{3}{t(t-2)}\ge0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t^2-2(t-2)-3}{t(t-2)}\ge0.$$

Раскроем скобки:

$\frac{t^2-2t+4-3}{t(t-2)}\ge0$
$\frac{t^2-2t+1}{t(t-2)}\ge0$
$\frac{(t-1)^2}{t(t-2)}\ge0$.

Критические точки: $t=0$, $t=1$, $t=2$.

При этом $t=0$ и $t=2$ не входят в ответ, так как это нули знаменателя.

Так как $(t-1)^2\ge0$, получаем: $$t\in(-\infty;0)\cup{1}\cup(2;+\infty).$$

Возвращаемся к замене $t=\log_8x$.

Первый промежуток:

$\log_8x<0$
$x<1$.

С учётом $x>0$: $0<x<1$.

Второй случай:

$\log_8x=1$
$x=8$.

Третий промежуток:

$\log_8x>2$
$x>8^2$
$x>64$.

Ответ: $(0;1)\cup{8}\cup(64;+\infty)$.

Сделаем замену: $t=\log_3x$. Тогда $x>0$.

Преобразуем выражения:

$\log_3\frac{x}{27}=\log_3x-\log_327$
$\log_3\frac{x}{27}=t-3$.

Также: $\log_3x^3=3\log_3x=3t$.

Значит: $$\log_3^2x-\log_3x^3=t^2-3t=t(t-3).$$

Получаем неравенство: $$\frac{t}{t-3}\ge \frac{2}{t}+\frac{5}{t(t-3)}.$$

ОДЗ: $t\ne0$, $t\ne3$.

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{t}{t-3}-\frac{2}{t}-\frac{5}{t(t-3)}\ge0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t^2-2(t-3)-5}{t(t-3)}\ge0.$$

Раскроем скобки:

$\frac{t^2-2t+6-5}{t(t-3)}\ge0$
$\frac{t^2-2t+1}{t(t-3)}\ge0$
$\frac{(t-1)^2}{t(t-3)}\ge0$.

Критические точки: $t=0$, $t=1$, $t=3$.

При этом $t=0$ и $t=3$ не входят в ответ, так как это нули знаменателя.

Так как $(t-1)^2\ge0$, получаем: $$t\in(-\infty;0)\cup{1}\cup(3;+\infty).$$

Возвращаемся к замене $t=\log_3x$.

Первый промежуток:

$\log_3x<0$
$x<1$.

С учётом $x>0$: $0<x<1$.

Второй случай:

$\log_3x=1$
$x=3$.

Третий промежуток:

$\log_3x>3$
$x>3^3$
$x>27$.

Ответ: $(0;1)\cup{3}\cup(27;+\infty)$.

Сначала найдём ОДЗ.

$x^2-13x+42>0$
$(x-6)(x-7)>0$.

Отсюда: $x<6$ или $x>7$.

Также должно выполняться: $$\frac{(x-7)^7}{x-6}>0.$$

Так как степень $7$ нечётная, знак $(x-7)^7$ совпадает со знаком $x-7$.

Получаем то же условие: $x<6$ или $x>7$.

Значит, ОДЗ: $x\in(-\infty;6)\cup(7;+\infty)$.

Преобразуем неравенство: $$7\log_{12}(x^2-13x+42)\le 8+\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}.$$

Так как $x^2-13x+42=(x-6)(x-7)$, получаем: $$7\log_{12}((x-6)(x-7))\le 8+\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}.$$

Запишем $8$ как логарифм: $$8=\log_{12}12^8.$$

Тогда: $$\log_{12}((x-6)(x-7))^7\le \log_{12}\left(12^8\cdot\frac{(x-7)^7}{x-6}\right).$$

Так как основание $12>1$, сравниваем аргументы: $$((x-6)(x-7))^7\le 12^8\cdot\frac{(x-7)^7}{x-6}.$$

Разделим обе части на положительное выражение $\frac{(x-7)^7}{x-6}$: $$(x-6)^8\le12^8.$$

Отсюда:

$|x-6|\le12$
$-12\le x-6\le12$
$-6\le x\le18$.

Теперь учитываем ОДЗ: $x\in(-\infty;6)\cup(7;+\infty)$.

Пересекаем: $$[-6;18]\cap\left((-\infty;6)\cup(7;+\infty)\right).$$

Получаем: $[-6;6)\cup(7;18]$.

Ответ: $[-6;6)\cup(7;18]$.

Сначала найдём ОДЗ. $$x^2-7x+12>0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Тогда: $(x-3)(x-4)>0$.

Отсюда: $x<3$ или $x>4$.

Также должно выполняться: $$\frac{(x-4)^5}{x-3}>0.$$

Так как степень $5$ нечётная, знак $(x-4)^5$ совпадает со знаком $x-4$.

Получаем то же условие: $x<3$ или $x>4$. Значит, ОДЗ: $x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty)$.

Преобразуем неравенство: $$5\log_{10}(x^2-7x+12)\le 6+\log_{10}\frac{(x-4)^5}{x-3}.$$

Так как $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$, получаем: $$5\log_{10}((x-3)(x-4))\le 6+\log_{10}\frac{(x-4)^5}{x-3}.$$

Запишем число $6$ как логарифм: $$6=\log_{10}10^6.$$

Тогда: $$\log_{10}((x-3)(x-4))^5\le \log_{10}\left(10^6\cdot\frac{(x-4)^5}{x-3}\right).$$

Так как основание $10>1$, сравниваем аргументы: $$((x-3)(x-4))^5\le 10^6\cdot\frac{(x-4)^5}{x-3}.$$

На ОДЗ выражение $\frac{(x-4)^5}{x-3}$ положительно, поэтому можно разделить обе части на него: $(x-3)^6\le10^6$.

Отсюда:

$|x-3|\le10$
$-10\le x-3\le10$
$-7\le x\le13$.

Теперь учитываем ОДЗ: $x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty)$.

Пересекаем: $$[-7;13]\cap\left((-\infty;3)\cup(4;+\infty)\right).$$

Получаем: $[-7;3)\cup(4;13]$.

Ответ: $[-7;3)\cup(4;13]$.

Сначала найдём ОДЗ.

$x+3>0$
$x+2>0$.

Значит: $x>-2$.

Также заметим: $$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Так как $x>-2$, то $x+3>1>0$, поэтому выражение под логарифмом положительно.

Преобразуем первую скобку.

Так как $0{,}25=\frac14=4^{-1}$, то $\log_{0{,}25}(x+3)=-\log_4(x+3)$.

Тогда: $$\log_{0{,}25}^2(x+3)=\log_4^2(x+3)$$ $$\log_4(x^2+6x+9)=\log_4((x+3)^2)=2\log_4(x+3).$$

Пусть $t=\log_4(x+3)$.

Тогда первая скобка равна: $t^2-2t+1=(t-1)^2$.

Получаем неравенство: $$(\log_4(x+3)-1)^2\cdot\log_4(x+2)\le0.$$

Первый множитель всегда неотрицателен: $$(\log_4(x+3)-1)^2\ge0.$$

Поэтому произведение будет не больше нуля, если $\log_4(x+2)\le0$ или если первый множитель равен нулю.

Рассмотрим первый случай: $$\log_4(x+2)\le0.$$

Так как основание $4>1$, получаем:

$x+2\le1$
$x\le-1$.

С учётом ОДЗ $x>-2$: $x\in(-2;-1]$.

Рассмотрим второй случай:

$(\log_4(x+3)-1)^2=0$
$\log_4(x+3)-1=0$
$\log_4(x+3)=1$
$x+3=4$
$x=1$.

Ответ: $(-2;-1]\cup{1}$.

Сначала найдём ОДЗ.

$x+4>0$
$x+3>0$.

Значит: $x>-3$.

Также заметим, что $x^2+8x+16=(x+4)^2$.

При $x>-3$ выражение $x+4$ положительно, поэтому логарифмы определены.

Преобразуем первую скобку.

Так как $0{,}2=\frac15=5^{-1}$, то $$\log_{0{,}2}(x+4)=-\log_5(x+4).$$

Значит, $\log_{0{,}2}^2(x+4)=\log_5^2(x+4)$.

Также:

$\log_5(x^2+8x+16)=\log_5((x+4)^2)$
$\log_5((x+4)^2)=2\log_5(x+4)$.

Пусть $t=\log_5(x+4)$.

Тогда первая скобка равна:

$t^2-2t+1$
$t^2-2t+1=(t-1)^2$.

Получаем неравенство: $$(\log_5(x+4)-1)^2\cdot\log_5(x+3)\le0.$$

Первый множитель всегда неотрицателен: $$(\log_5(x+4)-1)^2\ge0.$$

Поэтому произведение будет не больше нуля, если $\log_5(x+3)\le0$ или если первый множитель равен нулю.

Рассмотрим первый случай: $$\log_5(x+3)\le0.$$

Так как основание $5>1$, знак неравенства не меняется:

$x+3\le1$
$x\le-2$.

С учётом ОДЗ $x>-3$ получаем: $x\in(-3;-2]$.

Рассмотрим второй случай:

$(\log_5(x+4)-1)^2=0$
$\log_5(x+4)-1=0$
$\log_5(x+4)=1$
$x+4=5$
$x=1$.

Ответ: $(-3;-2]\cup{1}$.

Заметим, что $x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$.

Тогда неравенство принимает вид: $$\log_8((x-1)^3)\ge \log_2(x^2-1)-5.$$

Найдём ОДЗ:

$(x-1)^3>0$
$x>1$.

Также:

$x^2-1>0$
$(x-1)(x+1)>0$
$x<-1$ или $x>1$.

С учётом обоих условий получаем: $x>1$.

Теперь преобразуем левую часть:

$\log_8((x-1)^3)=\log_{2^3}((x-1)^3)$
$\log_8((x-1)^3)=\frac13\log_2((x-1)^3)$
$\log_8((x-1)^3)=\frac13\cdot3\log_2(x-1)$
$\log_8((x-1)^3)=\log_2(x-1)$.

Получаем: $$\log_2(x-1)\ge \log_2(x^2-1)-5.$$

Запишем $5$ как логарифм: $$5=\log_2 32.$$

Тогда:

$\log_2(x^2-1)-5=\log_2(x^2-1)-\log_2 32$
$\log_2(x^2-1)-5=\log_2\frac{x^2-1}{32}$.

Получаем: $$\log_2(x-1)\ge \log_2\frac{x^2-1}{32}.$$

Так как основание $2>1$, сравниваем аргументы: $$x-1\ge \frac{x^2-1}{32}.$$

Умножим на $32$: $32(x-1)\ge x^2-1$.

Так как $x^2-1=(x-1)(x+1)$, получаем: $$32(x-1)\ge (x-1)(x+1).$$

На ОДЗ $x>1$, значит $x-1>0$, поэтому можно разделить на $x-1$:

$32\ge x+1$
$x\le31$.

Учитываем ОДЗ $x>1$: $x\in(1;31]$.

Ответ: $(1;31]$.

Заметим, что $$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3.$$

Тогда неравенство принимает вид: $$\log_{27}((x-2)^3)\ge \log_3(x^2-4)-4.$$

Найдём ОДЗ:

$(x-2)^3>0$
$x>2$.

Также:

$x^2-4>0$
$(x-2)(x+2)>0$
$x<-2$ или $x>2$.

С учётом обоих условий получаем: $x>2$.

Преобразуем левую часть:

$\log_{27}((x-2)^3)=\log_{3^3}((x-2)^3)$
$\log_{27}((x-2)^3)=\frac13\log_3((x-2)^3)$
$\log_{27}((x-2)^3)=\frac13\cdot3\log_3(x-2)$
$\log_{27}((x-2)^3)=\log_3(x-2)$.

Получаем: $$\log_3(x-2)\ge \log_3(x^2-4)-4.$$

Запишем число $4$ как логарифм: $$4=\log_3 81.$$

Тогда:

$\log_3(x^2-4)-4=\log_3(x^2-4)-\log_3 81$
$\log_3(x^2-4)-4=\log_3\frac{x^2-4}{81}$.

Получаем: $$\log_3(x-2)\ge \log_3\frac{x^2-4}{81}.$$

Так как основание $3>1$, сравниваем аргументы: $$x-2\ge \frac{x^2-4}{81}.$$

Умножим на $81$: $$81(x-2)\ge x^2-4.$$

Разложим правую часть: $$81(x-2)\ge (x-2)(x+2).$$

На ОДЗ $x>2$, значит $x-2>0$, поэтому можно разделить на $x-2$:

$81\ge x+2$
$x\le79$.

Учитываем ОДЗ $x>2$: $x\in(2;79]$.

Ответ: $(2;79]$.

Заметим, что $$x^2+10x+25=(x+5)^2.$$

Сначала найдём ОДЗ. Для первого логарифма:

$x+5>0$
$x>-5$.

Для второго логарифма основание должно быть положительным и не равным $1$:

$(x+5)^2>0$
$(x+5)^2\ne1$.

С учётом $x>-5$ получаем: $x\ne-4$.

Сделаем замену: $t=\log_2(x+5)$. Тогда: $$\log_{16}(x+5)=\log_{2^4}(x+5)=\frac14\log_2(x+5)=\frac{t}{4}.$$

А второй логарифм: $$\log_{x^2+10x+25}2=\log_{(x+5)^2}2.$$

Так как $(x+5)^2=2^{2t}$, то $$\log_{(x+5)^2}2=\log_{2^{2t}}2=\frac{1}{2t}.$$

Получаем неравенство: $$\frac{t}{4}+\frac{1}{2t}\ge\frac34.$$

Умножим на $4$: $$t+\frac{2}{t}\ge3.$$

Перенесём всё в левую часть: $$t+\frac{2}{t}-3\ge0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t^2-3t+2}{t}\ge0.$$

Разложим числитель: $$\frac{(t-1)(t-2)}{t}\ge0.$$

Критические точки: $t=0$, $t=1$, $t=2$. При этом $t=0$ не входит в ответ, так как это нуль знаменателя.

Методом интервалов получаем: $$t\in(0;1]\cup[2;+\infty).$$

Возвращаемся к замене: $$0<\log_2(x+5)\le1.$$

Так как основание $2>1$:

$1<x+5\le2$
$-4<x\le-3$.

Второй промежуток:

$\log_2(x+5)\ge2$
$x+5\ge4$
$x\ge-1$.

Ответ: $(-4;-3]\cup[-1;+\infty)$.

Разложим числитель: $$10^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50.$$

Так как $10^x=2^x\cdot5^x$, получаем: $$2^x\cdot5^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50.$$

Сгруппируем:

$2^x(5^x-25)-2(5^x-25)$
$(5^x-25)(2^x-2)$.

Знаменатель:

$5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)$
$5x-x^2-4=-(x-1)(x-4)$
$5x-x^2-4=(x-1)(4-x)$.

Получаем неравенство: $$\frac{(2^x-2)(5^x-25)}{(x-1)(4-x)}\ge0.$$

ОДЗ:

$(x-1)(4-x)\ne0$
$x\ne1$, $x\ne4$.

Теперь заметим:

$2^x-2=0$ при $x=1$
$5^x-25=0$ при $x=2$.

Так как функции $2^x$ и $5^x$ возрастают, знаки множителей совпадают со знаками:

$2^x-2$ имеет знак как $x-1$,
$5^x-25$ имеет знак как $x-2$.

Поэтому при $x\ne1$ неравенство можно рассматривать как: $$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(4-x)}\ge0.$$

Сократим по знаку множитель $x-1$, но помним, что $x=1$ не входит в ОДЗ: $$\frac{x-2}{4-x}\ge0.$$

Критические точки: $x=1$, $x=2$, $x=4$.

Проверим интервалы:

• На $(-\infty;1)$ дробь отрицательна.
• На $(1;2)$ дробь отрицательна.
• При $x=2$ дробь равна нулю, точка подходит.
• На $(2;4)$ дробь положительна.
• При $x=4$ знаменатель равен нулю, точка не подходит.
• На $(4;+\infty)$ дробь отрицательна.

Ответ: $[2;4)$.

Разложим числитель: $$15^x-9\cdot5^x-3\cdot3^x+27.$$

Так как $15^x=3^x\cdot5^x$, получаем: $$3^x\cdot5^x-9\cdot5^x-3\cdot3^x+27.$$

Сгруппируем:

$5^x(3^x-9)-3(3^x-9)$
$(3^x-9)(5^x-3)$.

Знаменатель:

$4x-x^2-3=-(x^2-4x+3)$
$4x-x^2-3=-(x-1)(x-3)$
$4x-x^2-3=(x-1)(3-x)$.

Получаем неравенство: $$\frac{(3^x-9)(5^x-3)}{(x-1)(3-x)}\ge0.$$

ОДЗ:

$(x-1)(3-x)\ne0$
$x\ne1$, $x\ne3$.

Нули числителя:

$3^x-9=0$
$3^x=9$
$x=2$.

Второй множитель:

$5^x-3=0$
$5^x=3$
$x=\log_5 3$.

Критические точки: $\log_5 3$, $1$, $2$, $3$.

Заметим, что $\log_5 3<1$, так как $3<5$.

Решаем методом интервалов:

На $(-\infty;\log_5 3)$: $3^x-9<0$, $5^x-3<0$, $(x-1)<0$, $(3-x)>0$.

Значит, дробь отрицательная.

На $(\log_5 3;1)$: $$3^x-9<0, 5^x-3>0, (x-1)<0, (3-x)>0.$$

Значит, дробь положительная. Точка $x=\log_5 3$ входит в ответ, так как числитель равен нулю. Точка $x=1$ не входит, так как знаменатель равен нулю.

На $(1;2)$: $$3^x-9<0, 5^x-3>0, (x-1)>0, (3-x)>0.$$

Значит, дробь отрицательная. Точка $x=2$ входит в ответ, так как числитель равен нулю.

На $(2;3)$: $$3^x-9>0, 5^x-3>0, (x-1)>0, (3-x)>0.$$

Значит, дробь положительная. Точка $x=3$ не входит, так как знаменатель равен нулю.

На $(3;+\infty)$: $$3^x-9>0, 5^x-3>0, (x-1)>0, (3-x)<0.$$

Значит, дробь отрицательная.

Ответ: $[\log_5 3;1)\cup[2;3)$.