Практика к уроку «Решение рациональных и показательных уравнений»

Заметим, что $$2\cdot\left(\frac{x}{2}-\frac{3}{x}\right)=x-\frac{6}{x}.$$

Тогда уравнение можно переписать так:$$x^2-12+\frac{36}{x^2}+x-\frac{6}{x}=0.$$

Обратим внимание, что $$x^2-12+\frac{36}{x^2}=\left(x-\frac{6}{x}\right)^2.$$

Тогда получаем: $$\left(x-\frac{6}{x}\right)^2+\left(x-\frac{6}{x}\right)=0.$$

Сделаем замену: $t=x-\frac{6}{x}$.

Тогда уравнение примет вид: $$t^2+t=0$$ $$t(t+1)=0.$$

Отсюда: $t=0$ или $t=-1$.

Первый случай: $x-\frac{6}{x}=0$.

Умножим на $x$, учитывая, что $x\ne0$:

$x^2-6=0$
$x^2=6$
$x=\pm\sqrt6$

Второй случай: $x-\frac{6}{x}=-1$.

Умножим на $x$:
$x^2-6=-x$
$x^2+x-6=0$
$(x+3)(x-2)=0$
$x=-3$ или $x=2$

Итак, все корни уравнения: $$x=-3,\ -\sqrt6,\ 2,\ \sqrt6.$$

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-2{,}5;2]$.

• $-3<-2{,}5$, значит $-3$ не подходит.
• $-\sqrt6\approx -2{,}45$, значит $-\sqrt6$ подходит.
• $2$ подходит, так как это правый конец отрезка.
• $\sqrt6\approx2{,}45$, значит $\sqrt6$ не подходит.

Ответ:

а) $-3;\ -\sqrt6;\ 2;\ \sqrt6$.
б) $-\sqrt6;\ 2$.

ОДЗ: $x\ne0$.

Раскроем скобки: $$x^2-12+\frac{36}{x^2}+2\left(\frac{x}{2}-\frac{3}{x}\right)=0$$ $$x^2-12+\frac{36}{x^2}+x-\frac{6}{x}=0.$$

Умножим обе части уравнения на $x^2$: $$x^4-12x^2+36+x^3-6x=0.$$

Приведём к стандартному виду: $$x^4+x^3-12x^2-6x+36=0.$$

Теперь замечаем, что $x=2$ — корень этого уравнения: $$2^4+2^3-12\cdot2^2-6\cdot2+36=16+8-48-12+36=0.$$

Значит, многочлен делится на $x-2$.

Разделим: $$x^4+x^3-12x^2-6x+36=(x-2)(x^3+3x^2-6x-18).$$

Теперь разложим кубический многочлен группировкой: $$x^3+3x^2-6x-18=x^2(x+3)-6(x+3)$$ $$x^3+3x^2-6x-18=(x+3)(x^2-6).$$

Тогда всё уравнение принимает вид: $$(x-2)(x+3)(x^2-6)=0.$$

Отсюда:

$x-2=0$ или $x+3=0$ или $x^2-6=0$
$x=2$
$x=-3$
$x=\pm\sqrt6$

Все корни: $-3;\ -\sqrt6;\ \sqrt6;\ 2$.

Теперь выбираем корни, принадлежащие отрезку $[-2{,}5;2]$.

• $-3\notin[-2{,}5;2]$
• $-\sqrt6\approx -2{,}45$, значит $-\sqrt6\in[-2{,}5;2]$
• $\sqrt6\approx2{,}45$, значит $\sqrt6\notin[-2{,}5;2]$
• $2\in[-2{,}5;2]$.

Ответ:

а) $-3;\ -\sqrt6;\ \sqrt6;\ 2$
б) $-\sqrt6;\ 2$.

ОДЗ: $x\ne0$.

Заметим, что $$2\left(\frac{x}{2}-\frac{6}{x}\right)=x-\frac{12}{x}.$$

Тогда уравнение можно записать так: $$x^2-24+\frac{144}{x^2}+x-\frac{12}{x}=0.$$

Первые три слагаемых образуют квадрат: $$x^2-24+\frac{144}{x^2}=\left(x-\frac{12}{x}\right)^2.$$

Получаем: $$\left(x-\frac{12}{x}\right)^2+\left(x-\frac{12}{x}\right)=0$$

Сделаем замену: $t=x-\frac{12}{x}$.

Тогда:

$t^2+t=0$
$t(t+1)=0$
$t=0$ или $t=-1$.

Рассмотрим первый случай: $x-\frac{12}{x}=0$. Умножим на $x$:

$x^2-12=0$
$x^2=12$
$x=\pm2\sqrt3$

Рассмотрим второй случай: $x-\frac{12}{x}=-1$. Умножим на $x$:

$x^2-12=-x$
$x^2+x-12=0$
$(x+4)(x-3)=0$
$x=-4$ или $x=3$

Все корни уравнения: $-4;\ -2\sqrt3;\ 2\sqrt3;\ 3$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-3{,}5;3]$.

• $-4\notin[-3{,}5;3]$
• $-2\sqrt3\approx -3{,}46$, значит $-2\sqrt3\in[-3{,}5;3]$
• $2\sqrt3\approx3{,}46$, значит $2\sqrt3\notin[-3{,}5;3]$
• $3\in[-3{,}5;3]$.

Ответ:

а) $-4;\ -2\sqrt3;\ 2\sqrt3;\ 3$.
б) $-2\sqrt3;\ 3$.

ОДЗ: $x\ne0$.

Раскроем скобки: $$x^2-24+\frac{144}{x^2}+2\left(\frac{x}{2}-\frac{6}{x}\right)=0$$ $$2\left(\frac{x}{2}-\frac{6}{x}\right)=x-\frac{12}{x}.$$

Получаем: $$x^2-24+\frac{144}{x^2}+x-\frac{12}{x}=0.$$

Умножим обе части уравнения на $x^2$: $$x^4-24x^2+144+x^3-12x=0.$$

Запишем в стандартном порядке: $$x^4+x^3-24x^2-12x+144=0.$$

Теперь заметим, что $x=3$ является корнем: $$3^4+3^3-24\cdot3^2-12\cdot3+144=81+27-216-36+144=0.$$

Значит, многочлен делится на $x-3$. Разделим: $$x^4+x^3-24x^2-12x+144=(x-3)(x^3+4x^2-12x-48).$$

Теперь разложим кубический многочлен группировкой:

$x^3+4x^2-12x-48=x^2(x+4)-12(x+4)$
$x^3+4x^2-12x-48=(x+4)(x^2-12)$.

Тогда всё уравнение принимает вид: $$(x-3)(x+4)(x^2-12)=0.$$

Отсюда: $x-3=0$ или $x+4=0$ или $x^2-12=0$

$x=3$
$x=-4$
$x=\pm2\sqrt3$.

Все корни уравнения: $-4;\ -2\sqrt3;\ 2\sqrt3;\ 3$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-3{,}5;3]$:

• $-4\notin[-3{,}5;3]$
• $-2\sqrt3\approx -3{,}46$, значит $-2\sqrt3\in[-3{,}5;3]$
• $2\sqrt3\approx3{,}46$, значит $2\sqrt3\notin[-3{,}5;3]$
• $3\in[-3{,}5;3]$.

Ответ:

а) $-4;\ -2\sqrt3;\ 2\sqrt3;\ 3$
б) $-2\sqrt3;\ 3$.

ОДЗ: $x\ne1$.

Сделаем замену: $t=\frac{x-1}{2}-\frac{6}{x-1}$.

Возведём выражение в квадрат: $$t^2=\left(\frac{x-1}{2}-\frac{6}{x-1}\right)^2$$ $$t^2=\frac{(x-1)^2}{4}-6+\frac{36}{(x-1)^2}.$$

Умножим на $2$: $2t^2=\frac{(x-1)^2}{2}-12+\frac{72}{(x-1)^2}$.

Тогда $\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{72}{(x-1)^2}=2t^2+12$.

Исходное уравнение принимает вид:

$2t^2+12=5t+10$
$2t^2-5t+2=0$
$(2t-1)(t-2)=0$

Отсюда: $t=\frac12$ или $t=2$.

Первый случай: $\frac{x-1}{2}-\frac{6}{x-1}=\frac12$.

Пусть $u=x-1$, тогда: $\frac{u}{2}-\frac{6}{u}=\frac12$. Умножим на $2u$:

$u^2-12=u$
$u^2-u-12=0$
$(u-4)(u+3)=0$
$u=4$ или $u=-3$.

Так как $u=x-1$, получаем: $x=5$ или $x=-2$.

Второй случай: $\frac{x-1}{2}-\frac{6}{x-1}=2$.

Пусть $u=x-1$: $\frac{u}{2}-\frac{6}{u}=2$. Умножим на $2u$:

$u^2-12=4u$
$u^2-4u-12=0$
$(u-6)(u+2)=0$
$u=6$ или $u=-2$

Тогда: $x=7$ или $x=-1$.

Итак, все корни: $-2;\ -1;\ 5;\ 7$. На отрезке $[-2;5]$ лежат корни: $-2;\ -1;\ 5$;

Ответ:

а) $-2;\ -1;\ 5;\ 7$
б) $-2;\ -1;\ 5$.

ОДЗ: $x\ne1$.

Пусть для удобства $u=x-1$. Тогда уравнение имеет вид: $$\frac{u^2}{2}+\frac{72}{u^2}=5\left(\frac{u}{2}-\frac{6}{u}\right)+10.$$

Умножим обе части на $2u^2$: $$u^4+144=5u^3-60u+20u^2.$$

Перенесём всё в одну сторону: $$u^4-5u^3-20u^2+60u+144=0.$$

Разложим многочлен на множители: $$u^4-5u^3-20u^2+60u+144=(u^2-u-12)(u^2-4u-12).$$

Тогда: $(u^2-u-12)(u^2-4u-12)=0$.

Разложим каждый квадратный трёхчлен: $$(u-4)(u+3)(u-6)(u+2)=0.$$

Отсюда: $u=4,\ u=-3,\ u=6,\ u=-2$.

Так как $u=x-1$, получаем: $x=5,\ x=-2,\ x=7,\ x=-1$.

Все корни: $-2;\ -1;\ 5;\ 7$.

На отрезке $[-2;5]$ подходят: $-2;\ -1;\ 5$.

Ответ:

а) $-2;\ -1;\ 5;\ 7$
б) $-2;\ -1;\ 5$.

Приведем степени к основанию $2$:

$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$
$2^{x+3}=2^x\cdot2^3=8\cdot2^x$

Тогда уравнение принимает вид: $$2^{2x}-8\cdot2^x+15=0.$$

Сделаем замену: $t=2^x$, где $t>0$.

Тогда: $t^2-8t+15=0$.

Разложим квадратный трёхчлен: $(t-3)(t-5)=0$.

Отсюда: $t=3$ или $t=5$. Возвращаемся к замене.

Первый случай:

$2^x=3$
$x=\log_2 3$.

Второй случай:

$2^x=5$
$x=\log_2 5$

Значит, корни уравнения: $x=\log_2 3$ и $x=\log_2 5$.

Теперь определим, какие из них принадлежат отрезку $[2;\sqrt{10}]$.

Проверим $x=\log_2 3$: $\log_2 3<2$, так как $3<2^2$.

Значит, $\log_2 3$ не принадлежит отрезку $[2;\sqrt{10}]$.

Проверим $x=\log_2 5$: $\log_2 5>2$, так как $5>2^2$.

Кроме того, $\sqrt{10}>3$. Значит, $2^{\sqrt{10}}>2^3=8$.

Так как $5<8$, то $\log_2 5<\sqrt{10}$.

Следовательно, $\log_2 5\in[2;\sqrt{10}]$.

Ответ:

а) $\log_2 3;\ \log_2 5$.
б) $\log_2 5$.

Приведем степени к основанию $3$:

$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$
$3^{x+2}=3^x\cdot3^2=9\cdot3^x$.

Тогда уравнение принимает вид: $3^{2x}-9\cdot3^x+18=0$.

Сделаем замену: $t=3^x$, где $t>0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2-9t+18=0$.

Разложим на множители: $(t-3)(t-6)=0$.

Отсюда: $t=3$ или $t=6$. Возвращаемся к замене.

Первый случай:

$3^x=3$
$x=1$.

Второй случай:

$3^x=6$
$x=\log_3 6$.

Значит, корни уравнения: $1;\ \log_3 6$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac32;2]$.

Корень $x=1$ не принадлежит отрезку, так как $1<\frac32$.

Проверим корень $x=\log_3 6$. Сравним с левой границей: $\log_3 6>\frac32$ так как $6>3^{\frac32}$, а $3^{\frac32}=3\sqrt3$, $6>3\sqrt3$, потому что после деления на $3$ получаем $2>\sqrt3$.

Сравним с правой границей: $\log_3 6<2$ так как $6<3^2=9$.

Значит, $\log_3 6\in[\frac32;2]$.

Ответ:

а) $1;\ \log_3 6$.
б) $\log_3 6$.

Преобразуем степени к основанию $2$: $$4^{x-0{,}5}=(2^2)^{x-0{,}5}=2^{2x-1}.$$

Тогда: $$24\cdot4^{x-0{,}5}=24\cdot2^{2x-1}=12\cdot2^{2x}.$$

Также: $$11\cdot2^{x+1}=22\cdot2^x.$$

Получаем уравнение: $12\cdot2^{2x}-22\cdot2^x+6=0$.

Сделаем замену: $t=2^x$, где $t>0$.

Тогда: $12t^2-22t+6=0$. Разделим на $2$: $6t^2-11t+3=0$.

Найдём корни:

$D=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=121-72=49$
$t_1=\frac{11+7}{12}=\frac{18}{12}=\frac32$
$t_2=\frac{11-7}{12}=\frac{4}{12}=\frac13$.

Возвращаемся к замене.

Первый случай:

$2^x=\frac32$
$x=\log_2\frac32$.

Второй случай:

$2^x=\frac13$
$x=\log_2\frac13$

Все корни уравнения: $\log_2\frac13;\ \log_2\frac32$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[-1;1]$.

Рассмотрим $x=\log_2\frac32$.

Так как $1<\frac32<2$, то $0<\log_2\frac32<1$.Значит, $\log_2\frac32\in[-1;1]$.

Рассмотрим $x=\log_2\frac13$.

Так как $\frac13<\frac12=2^{-1}$, то $\log_2\frac13<-1$. Значит, $\log_2\frac13\notin[-1;1]$.

Ответ:

а) $\log_2\frac13;\ \log_2\frac32$.
б) $\log_2\frac32$.

Приведем степень $4^{x-1}$ к основанию $2$: $$4^{x-1}=(2^2)^{x-1}=2^{2x-2}.$$

Тогда: $16\cdot4^{x-1}=16\cdot2^{2x-2}=4\cdot2^{2x}$.

Получаем уравнение: $$4\cdot2^{2x}-9\cdot2^x+2=0.$$

Сделаем замену: $t=2^x$, где $t>0$.

Тогда уравнение принимает вид: $4t^2-9t+2=0$.

Найдём корни квадратного уравнения:

$D=(-9)^2-4\cdot4\cdot2=81-32=49$
$t_1=\frac{9+7}{8}=2$
$t_2=\frac{9-7}{8}=\frac14$

Возвращаемся к замене.

Первый случай:

$2^x=2$
$x=1$.

Второй случай:

$2^x=\frac14$
$2^x=2^{-2}$
$x=-2$.

Все корни уравнения: $-2;\ 1$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[-1;2]$.

$x=-2$ не принадлежит промежутку $[-1;2]$, так как $-2<-1$.
$x=1$ принадлежит промежутку $[-1;2]$.

Ответ:

а) $-2;\ 1$.
б) $1$.