Практика к уроку «Прямоугольные треугольники»

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 3.2,$ $\\sin A = \\dfrac{3}{5}.$ Найдите $AB.$[[image-1]][[fill_choice_big-3198]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-3198":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$3$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:<br />$$\\sin A = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{3}{5}$$<br />$2.$ Введем коэффициент пропорциональности $x{:}$ $$BC = 3x, \\quad AB = 5x$$<br />$3.$ По теореме Пифагора для треугольника $ABC{:}$ $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$<br />$4.$ Подставим известные значения: $$(3.2)^2 + (3x)^2 = (5x)^2$$ $$10.24 + 9x^2 = 25x^2$$<br />$5.$ Решим полученное уравнение: $$10.24 = 25x^2- 9x^2$$ $$10.24 = 16x^2$$ $$x^2 = \\dfrac{10.24}{16} = 0.64$$ $$x = \\sqrt{0.64} = 0.8$$ $6.$ Найдем длину гипотенузы $AB{:}$ $$AB = 5x = 5 \\cdot 0.8 = 4$$<br /><br />Ответ: длина гипотенузы $AB$ равна $4.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 6,$ $\\sin A = \\dfrac{4}{5}.$ Найдите $AB.$[[image-840]][[fill_choice_big-3536]]","widgets":{"image-840":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-3536":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$15$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:<br />$$\\sin A = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{4}{5}$$<br /><br />$2.$ Введем коэффициент пропорциональности $x{:}$ $$BC = 4x, \\quad AB = 5x$$<br />$3.$ По теореме Пифагора для треугольника $ABC{:}$ $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$<br />$4.$ Подставим известные значения: $$6^2 + (4x)^2 = (5x)^2$$ $$36 + 16x^2 = 25x^2$$<br />$5.$ Решим полученное уравнение: $$36 = 25x^2- 16x^2$$ $$36 = 9x^2$$ $$x^2 = \\dfrac{36}{9} = 4$$ $$x = \\sqrt{4} = 2$$<br />$6.$ Найдем длину гипотенузы $AB{:}$ $$AB = 5x = 5 \\cdot 2 = 10$$<br />Ответ: длина гипотенузы $AB$ равна  $10.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 3,$ $\\sin A = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}.$ Найдите $BC.$[[image-26]][[fill_choice_big-3885]]","widgets":{"image-26":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-3885":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5$","$1.1$","$2$","$2.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ По определению синуса в прямоугольном треугольнике:$$\\sin A = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}$$<br />$2.$ Введем коэффициент пропорциональности $x{:}$ $$BC = \\sqrt{5}x, \\quad AB = 5x$$<br />$3.$ Применяем теорему Пифагора:$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$<br />$4.$ Подставляем известные значения: $$3^2 + (\\sqrt{5}x)^2 = (5x)^2$$ $$9 + 5x^2 = 25x^2$$<br />$5.$ Решаем полученное уравнение: $$9 = 25x^2- 5x^2$$ $$9 = 20x^2$$ $$x^2 = \\dfrac{9}{20}$$ $$x = \\sqrt{\\dfrac{9}{20}} = \\dfrac{3}{\\sqrt{20}} = \\dfrac{3}{2\\sqrt{5}}$$<br />$6.$ Находим длину катета $BC{:}$ $$BC = \\sqrt{5}x = \\sqrt{5} \\cdot \\dfrac{3}{2\\sqrt{5}} = \\dfrac{3}{2} = 1.5$$<br />Ответ:  длина катета $BC$ равна $1.5.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 4,$ $\\sin A = \\dfrac{\\sqrt{2}}{4}.$ Найдите $BC.$[[image-803]][[fill_choice_big-4278]]","widgets":{"image-803":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-4278":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.51$","$2$","$1.78$","$1.87$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $$\\sin A = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$$<br />$2.$ Введем коэффициент пропорциональности $x{:}$ $$BC = \\sqrt{2}x, \\quad AB = 4x$$<br />$3.$ Применяем теорему Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$<br />$4.$ Подставляем известные значения: $$4^2 + (\\sqrt{2}x)^2 = (4x)^2$$ $$16 + 2x^2 = 16x^2$$<br />$5.$ Решаем полученное уравнение: $$16 = 16x^2- 2x^2$$ $$16 = 14x^2$$ $$x^2 = \\dfrac{16}{14} = \\dfrac{8}{7}$$ $$x = \\sqrt{\\dfrac{8}{7}} = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{7}}$$<br />$6.$ Находим длину катета $BC{:}$ $$BC = \\sqrt{2}x = \\sqrt{2} \\cdot \\dfrac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{7}} = \\dfrac{2 \\cdot 2}{\\sqrt{7}} = \\dfrac{4}{\\sqrt{7}} = \\dfrac{4\\sqrt{7}}{7}$$<br />$7.$ Упрощаем выражение: $$\\dfrac{4\\sqrt{7}}{7} \\approx 1.51$$<br />Ответ:  длина катета $BC$ $\\dfrac{4\\sqrt{7}}{7} \\approx 1.51.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 6,$ $\\cos A = 0.6.$ Найдите $AB.$<br /><br />[[image-96]][[fill_choice_big-4649]]","widgets":{"image-96":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-4649":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$14$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:$$\\cos A = \\dfrac{AC}{AB}$$<br />$2.$ Подставляем известные значения:$$0.6 = \\dfrac{6}{AB}$$<br />$3.$ Решаем полученное уравнение относительно $AB{:}$ $$AB = \\dfrac{6}{0.6} = 10$$<br />Ответ: длина гипотенузы $AB$ равна $10.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 5,$ $\\cos A = 0.25.$ Найдите $AB.$<br />[[image-778]][[fill_choice_big-5031]]","widgets":{"image-778":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-5031":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$10$","$25$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: $$\\cos A = \\dfrac{AC}{AB}$$<br />$2.$ Подставляем известные значения: $$0.25 = \\dfrac{5}{AB}$$<br />$3.$ Решаем полученное уравнение относительно $AB{:}$ $$AB = \\dfrac{5}{0.25} = 20$$<br />Ответ: длина гипотенузы $AB$ равна $20.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 12,$ $\\tg A = 0.25.$ Найдите $BC.$<br /><br />[[image-328]][[fill_choice_big-5458]]","widgets":{"image-328":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-5458":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$1$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:$$\\tg A = \\dfrac{BC}{AC}$$<br />$2.$ Подставляем известные значения:$$0.25 = \\dfrac{BC}{12}$$<br />$3.$ Решаем полученное уравнение относительно $BC{:}$ $$BC = 12 \\cdot 0.25 = 3$$<br />Ответ: длина катета $BC$ равна $3.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 16,$ $\\tg A = 0.75.$ Найдите $BC.$[[image-749]][[fill_choice_big-5862]]","widgets":{"image-749":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-5862":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$10$","$18$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:$$\\tg A = \\dfrac{BC}{AC}$$<br />$2.$ Подставляем известные значения:$$0.75 = \\dfrac{BC}{16}$$<br />$3.$ Решаем полученное уравнение относительно $BC{:}$ $$BC = 16 \\cdot 0.75 = 12$$<br />Ответ: длина катета $BC$ равна $12.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $\\tg A = 0.25,$ $BC = 3.$ Найдите $AC.$<br /><br />[[image-281]][[fill_choice_big-6275]]","widgets":{"image-281":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-6275":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$11$","$10$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:$$\\tg A = \\dfrac{BC}{AC}$$<br />$2.$ Подставляем известные значения:$$0.25 = \\dfrac{3}{AC}$$<br />$3.$ Решаем полученное уравнение относительно $AC{:}$ $$AC = \\dfrac{3}{0.25} = 12$$<br />Ответ: длина катета $AC$ равна $12.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $\\tg A = 0.4,$ $BC = 6.$ Найдите $AC.$<br /><br />[[image-724]][[fill_choice_big-6699]]","widgets":{"image-724":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-6699":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$13$","$11$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:$$\\tg A = \\dfrac{BC}{AC}$$<br />$2.$ Подставляем известные значения:$$0.4 = \\dfrac{6}{AC}$$<br />$3.$ Решаем полученное уравнение относительно $AC{:}$ $$AC = \\dfrac{6}{0.4} = 15$$<br />Ответ: длина катета $AC$ равна $15.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 12,$ $BC = 5.$ Найдите $\\sin A.$<br /><br />[[image-1021]][[fill_choice_big-7136]]","widgets":{"image-1021":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-7136":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\dfrac{5}{13}$","$\\dfrac{13}{5}$","$\\dfrac{7}{13}$","$\\dfrac{13}{7}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Применяем теорему Пифагора:$$AB = \\sqrt{AC^2 + BC^2}$$<br />$2.$ Подставляем известные значения:$$AB = \\sqrt{12^2 + 5^2} = \\sqrt{144 + 25} = \\sqrt{169} = 13$$<br />$3.$ По определению синуса в прямоугольном треугольнике:$$\\sin A = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{5}{13}$$<br />Ответ: синус угла $A$ равен $\\dfrac{5}{13}.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 15,$ $BC = 8.$ Найдите $\\sin A.$[[image-1055]][[fill_choice_big-7582]]","widgets":{"image-1055":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-7582":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\dfrac{8}{17}$","$\\dfrac{17}{8}$","$\\dfrac{6}{17}$","$\\dfrac{17}{6}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Применяем теорему Пифагора:<br />$$AB = \\sqrt{AC^2 + BC^2}$$<br /><br />$2.$ Подставляем известные значения:<br />$$AB = \\sqrt{15^2 + 8^2} = \\sqrt{225 + 64} = \\sqrt{289} = 17$$<br /><br />$3.$ По определению синуса в прямоугольном треугольнике:<br />$$\\sin A = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{8}{17}$$<br /><br />Ответ: синус угла $A$ равен $\\dfrac{8}{17}.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $CH$ — высота, $AB = 15,$ $\\tg A = \\dfrac{1}{2}.$ Найдите $AH.$[[image-579]][[fill_choice_big-8041]]","widgets":{"image-579":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-8041":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$17$","$15$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Выражаем $AH$ через $AC$ и косинус угла $A{:}$ $$AH = AC \\cdot \\cos A$$<br />$2.$ Выражаем $AC$ через гипотенузу $AB$ и косинус угла $A{:}$ $$AC = AB \\cdot \\cos A$$<br />$3.$ Подставляем в формулу для $AH{:}$ $$AH = AB \\cdot \\cos^2 A$$<br />$4.$ Выражаем $\\cos^2 A$ через $\\tg A{:}$ $$\\cos^2 A = \\dfrac{1}{1 + \\tg^2 A}$$<br />$5.$ Подставляем известные значения: $$\\cos^2 A = \\dfrac{1}{1 + \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2} = \\dfrac{1}{1 + \\dfrac{1}{4}} = \\dfrac{1}{\\dfrac{5}{4}} = \\dfrac{4}{5}$$$6.$ Находим $AH{:}$ $$AH = AB \\cdot \\cos^2 A = 15 \\cdot \\dfrac{4}{5} = 12$$<br /><br />Ответ: длина отрезка $AH$ равна $12.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $CH$ — высота, $AB = 17,$ $\\tg A = \\dfrac{4}{3}.$ Найдите $AH.$[[image-527]][[fill_choice_big-8466]]","widgets":{"image-527":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-8466":{"type":"fill_choice_big","options":["$6.12$","$5.11$","$7.12$","$6.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Выражаем $AH$ через гипотенузу $AB$ и косинус угла $A{:}$<br />$$AH = AB \\cdot \\cos^2 A$$<br /><br />$2.$ Выражаем $\\cos^2 A$ через $\\tg A{:}$<br />$$\\cos^2 A = \\dfrac{1}{1 + \\tg^2 A}$$<br /><br />$3.$ Подставляем известные значения:<br />$$\\cos^2 A = \\dfrac{1}{1 + \\left(\\dfrac{4}{3}\\right)^2} = \\dfrac{1}{1 + \\dfrac{16}{9}} = \\dfrac{1}{\\dfrac{25}{9}} = \\dfrac{9}{25}$$<br /><br />$4.$ Находим $AH{:}$<br />$$AH = AB \\cdot \\cos^2 A = 17 \\cdot \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{153}{25} = 6.12$$<br /><br />Ответ: длина отрезка $AH$ равна $6.12.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $CH$ — высота, $AB = 15,$ $\\tg A = 2.$ Найдите $BH.$[[image-478]][[fill_choice_big-8947]]","widgets":{"image-478":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-8947":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$10$","$14$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Выражаем $BH$ через гипотенузу $AB$ и синус угла $A{:}$ $$BH = AB \\cdot \\sin^2 A$$<br />$2.$ Выражаем $\\sin^2 A$ через $\\tg A{:}$ $$\\sin^2 A = \\dfrac{\\tg^2 A}{1 + \\tg^2 A}$$<br />$3.$ Подставляем известные значения: $$\\sin^2 A = \\dfrac{2^2}{1 + 2^2} = \\dfrac{4}{1 + 4} = \\dfrac{4}{5}$$<br />$4.$ Находим $BH{:}$ $$BH = AB \\cdot \\sin^2 A = 15 \\cdot \\dfrac{4}{5} = 12$$<br />Ответ: длина отрезка $BH$ равна $12.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $CH$ — высота, $AB = 10,$ $\\tg A = 3.$ Найдите $BH.$[[image-432]][[fill_choice_big-9439]]","widgets":{"image-432":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-9439":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$7$","$11$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Выражаем $BH$ через гипотенузу $AB$ и синус угла $A{:}$<br />$$BH = AB \\cdot \\sin^2 A$$<br /><br />$2.$ Выражаем $\\sin^2 A$ через $\\tg A{:}$<br />$$\\sin^2 A = \\dfrac{\\tg^2 A}{1 + \\tg^2 A}$$<br /><br />$3.$ Подставляем известные значения:<br />$$\\sin^2 A = \\dfrac{3^2}{1 + 3^2} = \\dfrac{9}{1 + 9} = \\dfrac{9}{10}$$<br /><br />$4.$ Находим $BH{:}$<br />$$BH = AB \\cdot \\sin^2 A = 10 \\cdot \\dfrac{9}{10} = 9$$<br /><br />Ответ: длина отрезка $BH$ равна $9.$"]},{"content":"Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно $8$ и $10.$ [[image-349]][[fill_choice_big-9988]]","widgets":{"image-349":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-9988":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$20$","$22$","$26$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Применяем теорему Пифагора для нахождения второго катета: $$a^2 + b^2 = c^2$$ $$8^2 + b^2 = 10^2$$<br />$2.$ Вычисляем длину второго катета: $$64 + b^2 = 100$$$$b^2 = 100- 64 = 36$$ $$b = \\sqrt{36} = 6$$<br />$3.$ Находим площадь прямоугольного треугольника: $$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot b = \\dfrac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 6 = 24$$ Ответ: площадь треугольника равна  $24.$"]},{"content":"Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно $5$ и $13.$[[image-389]][[fill_choice_big-10502]]","widgets":{"image-389":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-10502":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$31$","$28$","$32$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Применяем теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ где $a = 5,$ $c = 13$ — известные катет и гипотенуза, $b$ — неизвестный катет.<br />$2.$ Находим длину второго катета: $$5^2 + b^2 = 13^2$$ $$25 + b^2 = 169$$ $$b^2 = 144$$ $$b = 12$$<br />$3.$ Вычисляем площадь прямоугольного треугольника: $$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot b = \\dfrac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30$$<br />Ответ:  площадь треугольника равна $30.$"]},{"content":"Один острый угол прямоугольного треугольника на $28^\\circ$ больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.[[image-872]][[fill_choice_big-11027]]","widgets":{"image-872":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-11027":{"type":"fill_choice_big","options":["$59$","$57$","$55$","$51$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\\circ.$<br />$2.$ Пусть меньший угол равен $x,$ тогда больший угол равен $x + 28^\\circ.$<br />$3.$ Составляем уравнение: $$x + (x + 28^\\circ) = 90^\\circ$$<br />$4.$ Решаем уравнение: $$2x + 28^\\circ = 90^\\circ$$ $$2x = 62^\\circ$$ $$x = 31^\\circ$$<br />$5.$ Находим больший острый угол: $$x + 28^\\circ = 31^\\circ + 28^\\circ = 59^\\circ$$<br />Ответ: больший острый угол равен $59^\\circ.$"]},{"content":"Один острый угол прямоугольного треугольника в $3$ раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.<br />[[image-814]][[fill_choice_big-11563]]","widgets":{"image-814":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-11563":{"type":"fill_choice_big","options":["$67.5$","$67$","$65.5$","$65$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\\circ.$<br />$2.$ Пусть меньший угол равен $x,$ тогда больший угол равен $3x.$<br />$3.$ Составляем уравнение: $$x + 3x = 90^\\circ$$<br />$4.$ Решаем уравнение:$$4x = 90^\\circ$$ $$x = 22.5^\\circ$$<br />$5.$ Находим больший острый угол: $$3x = 3 \\cdot 22.5^\\circ = 67.5^\\circ$$<br />Ответ: больший острый угол равен $67.5^\\circ.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $90^\\circ,$ угол $B$ равен $48^\\circ,$ $CD$ — медиана. Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.<br /><br />[[image-933]][[fill_choice_big-12158]]","widgets":{"image-933":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug4.svg","width":"300"},"fill_choice_big-12158":{"type":"fill_choice_big","options":["$42$","$40$","$41$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Находим угол $A$ в треугольнике $ABC{:}$ $$\\angle A = 90^\\circ- \\angle B = 90^\\circ- 48^\\circ = 42^\\circ$$<br /><br />$2.$ В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $$CD = AD = BD$$<br />$3.$ Рассматриваем треугольник $ACD{:}$ Так как $CD = AD,$ треугольник $ACD$ — равнобедренный с основанием $AC.$<br />$4.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:  $$\\angle ACD = \\angle A = 42^\\circ$$<br /><br />Ответ: угол $ACD$ равен $42^\\circ.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $90^\\circ,$ угол $B$ равен $36^\\circ,$ $CD$ — медиана. Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-12714]][[image-22672]]","widgets":{"fill_choice_big-12714":{"type":"fill_choice_big","options":["$54$","$55$","$59$","$51$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-22672":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug4.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Находим угол $A$ в треугольнике $ABC{:}$ $$\\angle A = 90^\\circ- \\angle B = 90^\\circ- 36^\\circ = 54^\\circ$$<br />$2.$ В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $$CD = AD = BD$$<br />$3.$ Рассматриваем треугольник $ACD{:}$ Так как $CD = AD,$ треугольник $ACD$ — равнобедренный с основанием $AC.$<br />$4.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $$\\angle ACD = \\angle A = 54^\\circ$$<br />Ответ: угол $ACD$ равен $54^\\circ.$"]},{"content":"Острый угол прямоугольного треугольника равен $28^\\circ.$ Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.[[image-1270]][[fill_choice_big-13283]]","widgets":{"image-1270":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug5.svg","width":"300"},"fill_choice_big-13283":{"type":"fill_choice_big","options":["$59$","$57$","$51$","$55$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C = 90^\\circ$ и острым углом $A = 28^\\circ.$<br />$2.$ Найдем второй острый угол:$$\\angle B = 90^\\circ- 28^\\circ = 62^\\circ$$<br />$3.$ Проведем биссектрису острого угла $A$ и биссектрису прямого угла $C.$ Обозначим точку их пересечения как $O.$<br />$4.$ Биссектриса угла $A$ делит его пополам: $$\\angle OAC = \\dfrac{28^\\circ}{2} = 14^\\circ$$<br />$5.$ Биссектриса угла $C$ делит его пополам: $$\\angle OCA = \\dfrac{90^\\circ}{2} = 45^\\circ$$<br />$6.$ В треугольнике $AOC$ находим искомый угол $AOC{:}$ $$\\angle AOC = 180^\\circ- \\angle OAC- \\angle OCA = 180^\\circ- 14^\\circ- 45^\\circ = 121^\\circ$$<br />$7.$ Так как требуется найти острый угол между биссектрисами, находим смежный угол:<br />$$180^\\circ- 121^\\circ = 59^\\circ$$<br />Ответ: острый угол между биссектрисами равен $59^\\circ.$"]},{"content":"Острый угол прямоугольного треугольника равен $38^\\circ.$ Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.[[image-1447]][[fill_choice_big-13915]]","widgets":{"image-1447":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug5.svg","width":"300"},"fill_choice_big-13915":{"type":"fill_choice_big","options":["$64$","$60$","$65$","$59$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C = 90^\\circ$ и острым углом $A = 38^\\circ.$<br />$2.$ Найдем второй острый угол: $$\\angle B = 90^\\circ- 38^\\circ = 52^\\circ$$<br />$3.$ Проведем биссектрису острого угла $A$ и биссектрису прямого угла $C.$ Обозначим точку их пересечения как $O.$<br />$4.$ Биссектриса угла $A$ делит его пополам: $$\\angle OAC = \\dfrac{38^\\circ}{2} = 19^\\circ$$<br />$5.$ Биссектриса угла $C$ делит его пополам: $$\\angle OCA = \\dfrac{90^\\circ}{2} = 45^\\circ$$<br />$6.$ В треугольнике $AOC$ находим искомый угол $AOC{:}$ $$\\angle AOC = 180^\\circ- \\angle OAC- \\angle OCA = 180^\\circ- 19^\\circ- 45^\\circ = 116^\\circ$$<br />$7.$ Так как требуется найти острый угол между биссектрисами, находим смежный угол: $$180^\\circ- 116^\\circ = 64^\\circ$$<br />Ответ: острый угол между биссектрисами равен $64^\\circ.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ угол $A$ равен $60^\\circ,$ $AB = 4.$ Найдите высоту $CH.$[[image-1632]][[fill_choice_big-14504]]","widgets":{"image-1632":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-14504":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\sqrt{3}$","$\\sqrt{5}$","$\\sqrt{7}$","$\\sqrt{6}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Находим катет $BC$ через синус угла $A{:}$ $$\\sin A = \\dfrac{BC}{AB}$$ $$BC = AB \\cdot \\sin A = 4 \\cdot \\sin 60^\\circ = 4 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}$$<br />$2.$ Находим угол $B{:}$ $$\\angle B = 90^\\circ- 60^\\circ = 30^\\circ$$<br />$3.$ Высота $CH$ из прямого угла в прямоугольном треугольнике может быть найдена через катет и синус противолежащего угла: $$CH = BC \\cdot \\sin B = 2\\sqrt{3} \\cdot \\sin 30^\\circ = 2\\sqrt{3} \\cdot \\dfrac{1}{2} = \\sqrt{3}$$<br />$4.$ Альтернативный способ через катет и косинус: $$CH = BC \\cdot \\cos 60^\\circ = 2\\sqrt{3} \\cdot \\dfrac{1}{2} = \\sqrt{3}$$<br />$5.$ Проверяем результат по формуле высоты в прямоугольном треугольнике: $$CH = \\dfrac{AC \\cdot BC}{AB}$$<br />Сначала находим $AC{:}$ $$AC = AB \\cdot \\cos A = 4 \\cdot \\cos 60^\\circ = 4 \\cdot \\dfrac{1}{2} = 2$$ $$CH = \\dfrac{2 \\cdot 2\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}$$<br />Ответ: длина высоты $CH$ равна $\\sqrt{3}.$"]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ угол $A$ равен $30^\\circ,$ $AB = 6.$ Найдите высоту $CH.$[[image-1801]][[fill_choice_big-15106]]","widgets":{"image-1801":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-15106":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5\\sqrt{3}$","$1\\sqrt{3}$","$3\\sqrt{3}$","$5\\sqrt{3}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-23249":{"type":"image","url":""}},"hints":["$1.$ Находим катет $BC$ через синус угла $A{:}$ $$\\sin A = \\dfrac{BC}{AB}$$ $$BC = AB \\cdot \\sin A = 6 \\cdot \\sin 30^\\circ = 6 \\cdot \\dfrac{1}{2} = 3$$<br />$2.$ Находим угол $B{:}$ $$\\angle B = 90^\\circ- 30^\\circ = 60^\\circ$$<br />$3.$ В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, может быть найдена как: $$CH = BC \\cdot \\sin B = 3 \\cdot \\sin 60^\\circ = 3 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 1.5\\sqrt{3}$$<br />$4.$ Альтернативный способ через катет и косинус: $$CH = BC \\cdot \\cos 30^\\circ = 3 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 1.5\\sqrt{3}$$<br />Ответ: длина высоты $CH$ равна $1.5\\sqrt{3}.$"]},{"content":"Площадь прямоугольного треугольника равна $30.$ Один из его катетов на $1$ больше другого. Найдите меньший катет.[[image-2406]][[fill_choice_big-15719]]","widgets":{"image-2406":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-15719":{"type":"fill_choice_big","options":["$7.262$","$7.767$","$7.898$","$7.145$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Пусть меньший катет равен $x,$ тогда больший катет равен $x + 1.$<br />$2.$ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot x \\cdot (x + 1)$$<br />$3.$ Подставляем известное значение площади: $$\\dfrac{1}{2} \\cdot x \\cdot (x + 1) = 30$$<br />$4.$ Умножаем обе части уравнения на $2{:}$ $$x(x + 1) = 60$$<br />$5.$ Раскрываем скобки и переносим все члены в одну сторону: $$x^2 + x- 60 = 0$$<br />$6.$ Решаем квадратное уравнение: <br />Дискриминант: $D = 1^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-60) = 1 + 240 = 241$<br />$$x = \\dfrac{-1 \\pm \\sqrt{241}}{2}$$<br />$7.$ Поскольку длина катета должна быть положительной: $$x = \\dfrac{-1 + \\sqrt{241}}{2} \\approx \\dfrac{-1 + 15.524}{2} = \\dfrac{14.524}{2} = 7.262$$<br />Ответ: длина меньшего катета равна $7.262.$"]},{"content":"Площадь прямоугольного треугольника равна $21.$ Один из его катетов на $4$ больше другого. Найдите меньший катет.[[image-2327]][[fill_choice_big-16343]]","widgets":{"image-2327":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug2.svg","width":"250"},"fill_choice_big-16343":{"type":"fill_choice_big","options":["$4.78$","$6.12$","$5.71$","$5.18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Пусть меньший катет равен $x,$ тогда больший катет равен $x + 4.$<br />$2.$ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot x \\cdot (x + 4)$$<br />$3.$ Подставляем известное значение площади: $$\\dfrac{1}{2} \\cdot x \\cdot (x + 4) = 21$$<br />$4.$ Умножаем обе части уравнения на $2{:}$ $$x(x + 4) = 42$$<br />$5.$ Раскрываем скобки и переносим все члены в одну сторону: $$x^2 + 4x- 42 = 0$$<br />$6.$ Решаем квадратное уравнение: <br />Дискриминант: $D = 4^2- 4 \\cdot 1 \\cdot (-42) = 16 + 168 = 184$ $$x = \\dfrac{-4 \\pm \\sqrt{184}}{2} = \\dfrac{-4 \\pm 2\\sqrt{46}}{2} = -2 \\pm \\sqrt{46}$$<br />$7.$ Поскольку длина катета должна быть положительной: $$x = -2 + \\sqrt{46} \\approx -2 + 6.782 = 4.782$$<br />$8.$ Округляем до двух знаков после запятой: $$x \\approx 4.78$$<br />Ответ: длина меньшего катета равна  $4.78.$"]},{"content":"Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $53^\\circ.$ Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD,$ проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.[[image-2542]][[fill_choice_big-16978]]","widgets":{"image-2542":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug21.svg","width":"300"},"fill_choice_big-16978":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$5$","$7$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Находим угол $A$ в треугольнике $ABC{:}$ $$\\angle A = 90^\\circ- \\angle B = 90^\\circ- 53^\\circ = 37^\\circ$$<br />$2.$ Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам: $$\\angle ACD = \\dfrac{90^\\circ}{2} = 45^\\circ$$<br />$3.$ Высота $CH$ образует в треугольнике $ABC$ подобные треугольники. В треугольнике $BCH{:}$ $$\\angle BCH = 90^\\circ- \\angle B = 90^\\circ- 53^\\circ = 37^\\circ$$<br />$4.$ Находим искомый угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD{:}$ $$\\angle DCH = \\angle ACD- \\angle ACH$$<br />$5.$ В треугольнике $ACH{:}$ $$\\angle ACH = 90^\\circ- \\angle A = 90^\\circ- 37^\\circ = 53^\\circ$$<br />$6.$ Вычисляем угол между биссектрисой и высотой: $$\\angle DCH = \\angle ACD- \\angle ACH = 45^\\circ- 37^\\circ = 8^\\circ$$<br />Ответ: угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$ равен $8^\\circ.$"]},{"content":"Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $73^\\circ.$ Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD,$ проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.[[image-17624]][[fill_choice_big-17805]]","widgets":{"image-17624":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug21.svg","width":"300"},"fill_choice_big-17805":{"type":"fill_choice_big","options":["$28$","$35$","$30$","$39$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Находим угол $A$ в треугольнике $ABC{:}$ $$\\angle A = 90^\\circ- \\angle B = 90^\\circ- 73^\\circ = 17^\\circ$$<br />$2.$ Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам: $$\\angle ACD = \\dfrac{90^\\circ}{2} = 45^\\circ$$<br />$3.$ Высота $CH$ образует в треугольнике $ABC$ подобные треугольники. В треугольнике $BCH{:}$ $$\\angle BCH = 90^\\circ- \\angle B = 90^\\circ- 73^\\circ = 17^\\circ$$<br />$4.$ Находим искомый угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD{:}$ $$\\angle DCH = \\angle ACD- \\angle ACH$$<br />$5.$ В треугольнике $ACH{:}$ $$\\angle ACH = 90^\\circ- \\angle A = 90^\\circ- 17^\\circ = 73^\\circ$$<br />$6.$ Вычисляем угол между биссектрисой и высотой: $$\\angle DCH = \\angle ACD- \\angle ACH = 45^\\circ- 17^\\circ = 28^\\circ$$<br />Ответ: угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$ равен $28^\\circ.$"]},{"content":"В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен $18^\\circ.$ Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.[[image-3107]][[fill_choice_big-18531]]","widgets":{"image-3107":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug21.svg","width":"300"},"fill_choice_big-18531":{"type":"fill_choice_big","options":["$27$","$31$","$35$","$39$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Биссектриса прямого угла делит его пополам:<br />$$\\angle ACD = \\dfrac{90^\\circ}{2} = 45^\\circ$$<br />$2.$ Угол между биссектрисой $CD$ и высотой $CH$ равен $18^\\circ{:}$ $$\\angle DCH = 18^\\circ$$<br />$3.$ Находим угол между высотой $CH$ и катетом $AC{:}$ $$\\angle ACH = \\angle ACD- \\angle DCH = 45^\\circ- 18^\\circ = 27^\\circ$$<br />$4.$ В треугольнике $ACH$ угол при вершине $C$ равен $27^\\circ,$ следовательно: $$\\angle A = 90^\\circ- \\angle ACH = 90^\\circ- 27^\\circ = 63^\\circ$$<br />$5.$ Находим второй острый угол треугольника $ABC{:}$ $$\\angle B = 90^\\circ- \\angle A = 90^\\circ- 63^\\circ = 27^\\circ$$<br />$6.$ Определяем меньший угол треугольника: $$\\min(\\angle A, \\angle B) = \\min(63^\\circ, 27^\\circ) = 27^\\circ$$<br />Ответ: меньший угол треугольника равен $27^\\circ.$"]},{"content":"В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен $15^\\circ.$ Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.[[image-3019]][[fill_choice_big-19210]]","widgets":{"image-3019":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/treug21.svg","width":"300"},"fill_choice_big-19210":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$27$","$33$","$29$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1.$ Биссектриса прямого угла делит его пополам:$$\\angle ACD = \\dfrac{90^\\circ}{2} = 45^\\circ$$<br />$2.$ Угол между биссектрисой $CD$ и высотой $CH$ равен $15^\\circ{:}$ $$\\angle DCH = 15^\\circ$$<br />$3.$ Находим угол между высотой $CH$ и катетом $AC{:}$ $$\\angle ACH = \\angle ACD- \\angle DCH = 45^\\circ- 15^\\circ = 30^\\circ$$<br />$4.$ В треугольнике $ACH$ угол при вершине $C$ равен $30^\\circ,$ следовательно: $$\\angle A = 90^\\circ- \\angle ACH = 90^\\circ- 30^\\circ = 60^\\circ$$<br />$5.$ Находим второй острый угол треугольника $ABC{:}$ $$\\angle B = 90^\\circ- \\angle A = 90^\\circ- 60^\\circ = 30^\\circ$$<br />$6.$ Определяем меньший угол треугольника: $$\\min(\\angle A, \\angle B) = \\min(60^\\circ, 30^\\circ) = 30^\\circ$$<br />Ответ: меньший угол треугольника равен $30^\\circ.$"]}]}