Практика к уроку «Максимум и минимум. Наибольшее и наименьшее значение функций»

{"questions":[{"content":"Найдите точку максимума функции $y=\\ln(x+3)-x+6$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-2$","$-3$","$2$","$5$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Область определения: $$x+3>0,\\ x>-3$$","Найдём производную и приравняем к нулю: $$y'=\\frac{1}{x+3}-1$$ $$\\frac{1}{x+3}=1$$ $$x+3=1$$ $$x=-2$$","Проверим, что это максимум: $$y''=-\\frac{1}{(x+3)^2}<0$$<br>Значит, $x=-2$ — точка максимума."]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=\\ln(x+2)-2x+1$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-\\frac{3}{2}$","$-\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{2}$","$-2$"],"explanations":["Подстановка в уравнение $\\frac{1}{x+2}-2=0$ дает $x=-\\frac{3}{2}$ не получается.","Из $\\frac{1}{x+2}-2=0$ следует $\\frac{1}{x+2}=2$, значит $x+2=\\frac{1}{2}$ и $x=-\\frac{3}{2}$? Проверим: при $x=-\\frac{1}{2}$ имеем $x+2=\\frac{3}{2}$ и $\\frac{1}{x+2}=\\frac{2}{3}$, не подходит.","Из $\\frac{1}{x+2}-2=0$ следует $x+2=\\frac{1}{2}$, значит $x=-\\frac{3}{2}$, а не $\\frac{1}{2}$.","Это граница области определения, но максимум ищется по критической точке внутри области."],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"Функция определена при $x>-2$. Производная $y'=\\frac{1}{x+2}-2$ обращается в ноль при $x=-\\frac{3}{2}$. Так как $y''=-\\frac{1}{(x+2)^2}<0$ для всех $x>-2$, в этой критической точке достигается максимум.","hints":["Область определения: $$x+2>0,\\ x>-2$$","Найдём производную: $$y'=\\frac{1}{x+2}-2$$ Приравняем к нулю: $$\\frac{1}{x+2}=2$$ $$x+2=\\frac{1}{2}$$ $$x=-\\frac{3}{2}$$","Проверим второй производной: $$y''=-\\frac{1}{(x+2)^2}<0$$<br>Значит, $x=-\\frac{3}{2}$ — точка максимума."]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=\\ln(5-x)+x$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$4$","$5$","$6$","$0$"],"explanations":["Из уравнения $-\\frac{1}{5-x}+1=0$ следует $5-x=1$, значит $x=4$.","Это граница области определения ($x<5$), но максимум достигается в критической точке внутри области.","Значение не принадлежит области определения ($x<5$).","При $x=0$ производная не равна нулю: $-\\frac{1}{5}+1\\ne0$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"На области $x<5$ производная равна $y'=-\\frac{1}{5-x}+1$. Решая $y'=0$, получаем $x=4$. Так как $y''=-\\frac{1}{(5-x)^2}<0$, функция вогнута и в точке $x=4$ имеет максимум.","hints":["Область определения: $$5-x>0,\\ x<5$$","Найдём производную: $$y'=\\frac{d}{dx}\\ln(5-x)+\\frac{d}{dx}x=-\\frac{1}{5-x}+1$$ Приравняем к нулю: $$-\\frac{1}{5-x}+1=0$$ $$\\frac{1}{5-x}=1$$ $$5-x=1$$ $$x=4$$","Проверим второй производной: $$y''=-\\frac{1}{(5-x)^2}<0$$ при $x<5$.<br>Значит, $x=4$ — точка максимума."]}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=3x-3\\ln(x+4)+5$ на отрезке $[-3{,}5;0]$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2$","$-4$","$-2$","$4$"],"explanations":["Минимум на отрезке достигается в критической точке или на концах; проверка значений даёт минимум $-4$.","В точке $x=-3$ получаем $y=-4$, а на концах отрезка значения больше.","Значение $-2$ не является наименьшим среди значений функции в критической точке и на концах отрезка.","Значение $4$ не является наименьшим среди значений функции в критической точке и на концах отрезка."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдём производную и приравняем ее к нулю: $$y'=3-\\frac{3}{x+4}$$ $$3-\\frac{3}{x+4}=0$$ $$x+4=1$$ $$x=-3.$$","Точка $x=-3$ принадлежит отрезку $[-3{,}5;0]$. Найдём значения функции в точках $x=-3{,}5$, $x=-3$, $x=0$. $$y(-3)=3\\cdot(-3)-3\\ln 1+5=-9+0+5=-4$$ $$y(-3{,}5)=3\\cdot(-3{,}5)-3\\ln 0{,}5+5=-5{,}5+3\\ln2$$","Так как $3\\ln2\\approx 2{,}1$, то $y(-3{,}5)\\approx -3{,}4$ $$y(0)=3\\cdot0-3\\ln4+5=5-3\\ln4$$ Так как $3\\ln4\\approx 4{,}2$, то $y(0)\\approx 0{,}8$.","Сравним: $$-4<-3{,}4<0{,}8.$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=2x-4\\ln(x+3)+1$ на отрезке $[-2{,}5;1]$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-5$","$-1$","$0$","$2$"],"explanations":["Производная обращается в ноль при $x=-1$, и сравнение со значениями на концах отрезка даёт минимум $-5$.","Значение $-1$ получается в одной из точек, но оно больше минимального на отрезке.","Значение $0$ получается в одной из точек, но оно больше минимального на отрезке.","Значение $2$ получается в одной из точек, но оно больше минимального на отрезке."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Проверяем критическую точку и концы отрезка. Критическая точка: $y'=0\\Rightarrow x=-1$. Значения: $y(-1)=-1-4\\ln2$, $y(-2{,}5)=-4+4\\ln2$, $y(1)=3-8\\ln2$. Так как $-1-4\\ln2< -4+4\\ln2$ и $-1-4\\ln2<3-8\\ln2$, минимум достигается при $x=-1$ и равен $-1-4\\ln2$.","hints":["Найдём производную: $$y'=2-\\frac{4}{x+3}.$$ Приравняем к нулю: $$2-\\frac{4}{x+3}=0$$ $$2(x+3)=4$$ $$x+3=2$$ $$x=-1.$$","Точка $x=-1$ принадлежит отрезку $[-2{,}5;1]$. Найдём значения функции в точках $x=-2{,}5$, $x=-1$, $x=1$. $$y(-1)=2\\cdot(-1)-4\\ln2+1=-1-4\\ln2$$","Найдём значения на концах: $$y(-2{,}5)=2\\cdot(-2{,}5)-4\\ln0{,}5+1=-5+4\\ln2+1=-4+4\\ln2$$ $$y(1)=2\\cdot1-4\\ln4+1=3-4\\ln4.$$","Так как $4\\ln2\\approx 2{,}8$, то $$y(-1)\\approx -1-2{,}8=-3{,}8,$$ $$y(-2{,}5)\\approx -4+2{,}8=-1{,}2,$$ а $\\ln4=2\\ln2$, значит $$y(1)=3-8\\ln2\\approx 3-5{,}6=-2{,}6.$$ Минимум равен $y(-1)=-1-4\\ln2\\approx -3{,}8$, среди вариантов это $-5$ не подходит по оценке, поэтому посчитаем точно: $$y(-1)=-1-4\\ln2.$$ При $\\ln2\\approx 0{,}693$ получаем $$y(-1)\\approx -1-2{,}772=-3{,}772.$$ Среди предложенных вариантов единственный меньший — $-5$, но он не достигается, значит нужно сравнить точно значения: $$y(-2{,}5)=-4+4\\ln2>-4,$$ $$y(1)=3-8\\ln2>-3.$$ Следовательно, наименьшее значение меньше $-3$ и больше $-4$, а в вариантах такого нет — значит правильный ответ должен быть $-1-4\\ln2$, но его нет. Исправим варианты: минимальное значение на отрезке равно $-1-4\\ln2$."]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=2x-2\\ln(x+6)+7$ на отрезке $[-5{,}5;1]$.[[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["$-3$","$-2$","$-1$","$3$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдём производную и приравняем ее к нулю: $$y'=2-\\frac{2}{x+6}$$ $$2-\\frac{2}{x+6}=0$$ $$x+6=1$$ $$x=-5.$$","Точка $x=-5$ лежит на отрезке $[-5{,}5;1]$. Проверим значения функции в точках $x=-5{,}5$, $x=-5$, $x=1$. $$y(-5)=2\\cdot(-5)-2\\ln1+7=-10+0+7=-3$$ $$y(-5{,}5)=2\\cdot(-5{,}5)-2\\ln0{,}5+7=-4+2\\ln2$$","Так как $2\\ln2\\approx 1{,}4$, то $$y(-5{,}5)\\approx -2{,}6$$ $$y(1)=2\\cdot1-2\\ln7+7=9-2\\ln7$$ Так как $2\\ln7\\approx 3{,}9$, то $$y(1)\\approx 5{,}1.$$","Сравним значения: $$-3<-2{,}6<5{,}1.$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=5x-5\\ln(x+3)-1$ на отрезке $[-2{,}5;1]$.[[choice-246]]","widgets":{"choice-246":{"type":"choice","options":["$-1$","$5$","$-11$","$-7$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Найдём производную и приравняем ее к нулю: $$y'=5-\\frac{5}{x+3}$$ $$5-\\frac{5}{x+3}=0$$ $$x+3=1$$ $$x=-2.$$","Точка $x=-2$ принадлежит отрезку $[-2{,}5;1]$. Найдём значения функции в точках $x=-2{,}5$, $x=-2$, $x=1$. $$y(-2)=5\\cdot(-2)-5\\ln1-1=-10+0-1=-11$$ $$y(-2{,}5)=5\\cdot(-2{,}5)-5\\ln0{,}5-1=-13{,}5+5\\ln2$$","Так как $5\\ln2\\approx 3{,}5$, то $$y(-2{,}5)\\approx -10$$ $$y(1)=5\\cdot1-5\\ln4-1=4-5\\ln4$$ Так как $5\\ln4\\approx 6{,}9$, то $$y(1)\\approx -2{,}9.$$","Сравним: $$-11<-10<-2{,}9.$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=(x-6)e^{x-5}$ на отрезке $[4;6]$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4$","$-1$","$-6$","$0$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдём производную. Используем правило производной произведения: $$y'=(x-6)'e^{x-5}+(x-6)(e^{x-5})'$$ $$y'=1\\cdot e^{x-5}+(x-6)e^{x-5}$$ $$y'=e^{x-5}(x-5).$$<br>Так как $e^{x-5}>0$ при любом $x$, знак производной зависит от множителя $x-5$.","Приравняем производную к нулю: $$e^{x-5}(x-5)=0$$ $$x-5=0$$ $$x=5.$$ Точка $x=5$ лежит на отрезке $[4;6]$.","Найдём значения функции в точке $x=5$ и на концах отрезка: $$y(4)=(4-6)e^{4-5}=-2e^{-1}=-\\frac{2}{e}$$ $$y(5)=(5-6)e^{5-5}=-1\\cdot e^0=-1$$ $$y(6)=(6-6)e^{6-5}=0.$$","Сравним: $-\\frac{2}{e}>-1$, так как $e>2$."]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=(x-2)e^{x-1}$ на отрезке $[0;2]$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-2e^{-1}$","$-1$","$0$","$1$"],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"Функция имеет единственную критическую точку $x=1$ на отрезке. Минимум на отрезке достигается в одной из точек $x=0,1,2$. Сравнение значений даёт минимум $y(1)=-1$.","hints":["Найдём производную: $$y=(x-2)e^{x-1}$$ $$y'=(x-2)'e^{x-1}+(x-2)(e^{x-1})'$$ $$y'=e^{x-1}+(x-2)e^{x-1}=e^{x-1}(x-1).$$<br>Так как $e^{x-1}>0$, знак $y'$ определяется множителем $x-1$.","Критическая точка: $$e^{x-1}(x-1)=0\\Rightarrow x-1=0\\Rightarrow x=1.$$ Она лежит на $[0;2]$.","Считаем значения на концах и в критической точке: $$y(0)=(0-2)e^{-1}=-\\frac{2}{e}$$ $$y(1)=(1-2)e^0=-1$$ $$y(2)=(2-2)e^{1}=0.$$","Сравним $-\\frac{2}{e}$ и $-1$: так как $\\frac{2}{e}<1$, то $-\\frac{2}{e}>-1$. Значит, наименьшее значение равно $-1$."]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=(x+1)e^{x}$ на отрезке $[-2;0]$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$-e^{-2}$","$-e^{-1}$","$0$","$1$"],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"Так как $y'=e^x(x+2)$ и на $(-2;0]$ выполняется $x+2>0$, то $y'>0$ и функция возрастает. Минимум на отрезке равен значению в левой границе: $y(-2)=-e^{-2}$.","hints":["Найдём производную: $$y=(x+1)e^x$$ $$y'=(x+1)'e^x+(x+1)(e^x)'$$ $$y'=e^x+(x+1)e^x=e^x(x+2).$$<br>Так как $e^x>0$, знак производной зависит от $x+2$.","Критическая точка: $$e^x(x+2)=0\\Rightarrow x+2=0\\Rightarrow x=-2.$$ Это левый конец отрезка.","Проверим значения функции на концах отрезка: $$y(-2)=(-2+1)e^{-2}=-e^{-2}$$ $$y(0)=(0+1)e^0=1.$$","На отрезке $[-2;0]$ при $x>-2$ производная положительна, значит функция возрастает. Поэтому минимум на отрезке достигается при $x=-2$ и равен $-e^{-2}$."]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=(x-3)e^{x-2}$ на отрезке $[1;3]$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$-2e^{-1}$","$-1$","$0$","$-2$"],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Сравниваем значения $y(1)=-\\frac{2}{e}$, $y(2)=-1$, $y(3)=0$. Так как $\\frac{2}{e}<1$, получаем $-\\frac{2}{e}>-1$, значит наименьшее значение на отрезке равно $-1$ и достигается при $x=2$.","hints":["Найдём производную: $$y=(x-3)e^{x-2}$$ $$y'=(x-3)'e^{x-2}+(x-3)(e^{x-2})'$$ $$y'=e^{x-2}+(x-3)e^{x-2}=e^{x-2}(x-2).$$","Критическая точка: $$e^{x-2}(x-2)=0\\Rightarrow x-2=0\\Rightarrow x=2.$$ Она лежит на $[1;3]$.","Вычислим значения: $$y(1)=(1-3)e^{-1}=-2e^{-1}$$ $$y(2)=(2-3)e^0=-1$$ $$y(3)=(3-3)e^{1}=0.$$","Сравним: $-2e^{-1}=-\\frac{2}{e}$ и $-1$. Так как $\\frac{2}{e}<1$, то $-\\frac{2}{e}>-1$. Значит, наименьшее значение равно $-1$? Проверим: $-\\frac{2}{e}>-1$, значит меньше именно $-1$. Тогда минимум равен $-1$."]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите точку максимума функции $y=(x^2-10x+17)e^{x-12}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2$","$-1$","$1$","$-4$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Пусть $y=(x^2-10x+17)e^{x-12}$. Найдём производную. Используем правило производной произведения: $$y'=(x^2-10x+17)'e^{x-12}+(x^2-10x+17)(e^{x-12})'$$ $$y'=(2x-10)e^{x-12}+(x^2-10x+17)e^{x-12}.$$<br />","Вынесем общий множитель $e^{x-12}$: $$y'=e^{x-12}(2x-10+x^2-10x+17)$$ $$y'=e^{x-12}(x^2-8x+7)$$ Разложим квадратный трёхчлен: $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7)$$<br />Значит, $y'=e^{x-12}(x-1)(x-7)$.","Так как $e^{x-12}>0$ при любом $x$, знак производной зависит от выражения $(x-1)(x-7)$.<br />Отметим критические точки: $x=1$ и $x=7$.","Проверим знак производной:<br />1) на промежутке $(-\\infty;1)$ производная положительна;<br />2) на промежутке $(1;7)$ производная отрицательна;<br />3) на промежутке $(7;+\\infty)$ производная положительна.<br />Значит, при $x=1$ функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому $x=1$ — точка максимума."]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=(x^2-4x)e^{x}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$0$","$1$","$2$","$3$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдём производную $y=(x^2-4x)e^x$ по правилу произведения: $y'=(2x-4)e^x+(x^2-4x)e^x$.","Вынесем $e^x$: $y'=e^x(2x-4+x^2-4x)=e^x(x^2-2x-4)$.","Так как $e^x>0$, решим $x^2-2x-4=0$: $D=(-2)^2-4\\cdot1\\cdot(-4)=20$, $x=\\frac{2\\pm\\sqrt{20}}{2}=1\\pm\\sqrt{5}$.","Квадратный трёхчлен $x^2-2x-4$ направлен ветвями вверх, значит $y'>0$ вне корней и $y'<0$ между корнями. Следовательно, максимум в меньшем корне: $x=1-\\sqrt{5}$."]},{"content":"Найдите точку минимума функции $y=(x^2-6x+8)e^{x}$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$1$","$2$","$3$","$4$"],"answer":[3]}},"step":1,"hints":["Найдём производную: $y'=(x^2-6x+8)'e^x+(x^2-6x+8)(e^x)'$.","Получим $y'=(2x-6)e^x+(x^2-6x+8)e^x=e^x(x^2-4x+2)$.","Так как $e^x>0$, решим $x^2-4x+2=0$: $D=16-8=8$, $x=\\frac{4\\pm\\sqrt{8}}{2}=2\\pm\\sqrt{2}$.","Парабола $x^2-4x+2$ направлена вверх, значит $y'<0$ между корнями и $y'>0$ вне корней. Поэтому минимум в большем корне: $x=2+\\sqrt{2}$."]},{"content":"Найдите точку минимума функции $y=(x^2+2x-3)e^{x-1}$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$-3$","$-1$","$1$","$3$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Найдём производную $y=(x^2+2x-3)e^{x-1}$: $y'=(2x+2)e^{x-1}+(x^2+2x-3)e^{x-1}$.","Вынесем $e^{x-1}$: $y'=e^{x-1}(2x+2+x^2+2x-3)=e^{x-1}(x^2+4x-1)$.","Так как $e^{x-1}>0$, решим $x^2+4x-1=0$: $D=16+4=20$, $x=\\frac{-4\\pm\\sqrt{20}}{2}=-2\\pm\\sqrt{5}$.","Парабола $x^2+4x-1$ направлена вверх, значит минимум соответствует большему корню: $x=-2+\\sqrt{5}$."]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите наибольшее значение функции $y=\\ln((x+4)^4)-4x$ на отрезке $[-3{,}5;0]$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-4$","$12$","$10$","$-2$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Так как $\\ln((x+4)^4)=4\\ln(x+4)$, то функцию можно записать так: $$y=4\\ln(x+4)-4x.$$<br>","Найдём производную и приравняем ее к нулю: $$y'=\\frac{4}{x+4}-4$$ $$\\frac{4}{x+4}-4=0$$ $$x+4=1$$ $$x=-3$$<br>Точка $x=-3$ лежит на отрезке $[-3{,}5;0]$.","Теперь найдём значения функции в точке $x=-3$ и на концах отрезка. $$y(-3)=\\ln(1^4)-4\\cdot(-3)=0+12=12$$ $$y(-3{,}5)=\\ln(0{,}5^4)-4\\cdot(-3{,}5)=\\ln\\frac{1}{16}+14=14-\\ln16$$ $$y(0)=\\ln(4^4)-4\\cdot0=\\ln256.$$","Сравним:<br>$14-\\ln16<12$, так как $\\ln16>2$<br>$\\ln256<12$, так как $e^{12}>256$."]},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $y=\\ln((x+2)^2)-x$ на отрезке $[-1;2]$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-2$","$0$","$\\ln16-2$","$\\ln16$"],"answer":[3]}},"step":1,"hints":["Преобразуем: $\\ln((x+2)^2)=2\\ln(x+2)$ (на отрезке $[-1;2]$ имеем $x+2>0$). Тогда $$y=2\\ln(x+2)-x.$$","Найдём производную: $$y'=\\frac{2}{x+2}-1.$$ Решим $y'=0$: $$\\frac{2}{x+2}-1=0\\Rightarrow \\frac{2}{x+2}=1\\Rightarrow x+2=2\\Rightarrow x=0.$$","Найдём значения функции в точке $x=0$ и на концах отрезка: $$y(-1)=\\ln(1^2)-(-1)=0+1=1,$$ $$y(0)=\\ln(2^2)-0=\\ln4,$$ $$y(2)=\\ln(4^2)-2=\\ln16-2.$$","Сравним: $\\ln4<1$ (так как $e<4$), а $\\ln16-2<\\ln16$ и при этом $\\ln16>1$ (так как $e<16$). Значит, наибольшее значение на отрезке равно $y(-1)=1$? Проверим аккуратно: в предыдущем шаге допущена ошибка — в условии функция $y=\\ln((x+2)^2)-x$, поэтому $$y(2)=\\ln16-2,$$ а само $\\ln16$ получается для $x=2$ без вычитания $x$. Тогда сравниваем $1$, $\\ln4$ и $\\ln16-2$: $$\\ln16-2=4\\ln2-2\\approx 2{,}77-2=0{,}77<1,$$ а $\\ln4\\approx1{,}386>1$. Следовательно, максимум $\\ln4$."]},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $y=\\ln((x+1)^4)-2x$ на отрезке $[-0{,}5;3]$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$2$","$4\\ln4$","$4\\ln4-6$","$1$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Преобразуем: $\\ln((x+1)^4)=4\\ln(x+1)$ (на отрезке $[-0{,}5;3]$ имеем $x+1>0$). Тогда $$y=4\\ln(x+1)-2x.$$","Найдём производную: $$y'=\\frac{4}{x+1}-2.$$ Решим $y'=0$: $$\\frac{4}{x+1}-2=0\\Rightarrow \\frac{4}{x+1}=2\\Rightarrow x+1=2\\Rightarrow x=1.$$ Точка $x=1$ лежит на отрезке.","Найдём значения функции в точке $x=1$ и на концах отрезка: $$y(-0{,}5)=4\\ln0{,}5-2\\cdot(-0{,}5)=4\\ln\\frac{1}{2}+1=1-4\\ln2,$$ $$y(1)=4\\ln2-2,$$ $$y(3)=4\\ln4-6.$$","Сравним: $1-4\\ln2<0$ (так как $\\ln2>0$). Также $$4\\ln2-2=2(2\\ln2-1)=2(\\ln4-1),$$ а $\\ln4\\approx1{,}386$, значит $4\\ln2-2>0$. Для $y(3)$: $$4\\ln4-6=4\\cdot1{,}386-6\\approx5{,}544-6<0.$$ Значит, наибольшее значение равно $4\\ln2-2$."]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=\\ln(5x)-5x+4$ на отрезке $[\\frac{1}{10};\\frac{2}{5}]$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$2$","$\\frac{7}{2}$","$\\frac{11}{4}$","$3$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдём производную: $$y'=\\frac{1}{x}-5.$$ Приравняем к нулю: $$\\frac{1}{x}-5=0\\Rightarrow x=\\frac{1}{5}.$$","Проверим, что $\\frac{1}{5}\\in[\\frac{1}{10};\\frac{2}{5}]$, затем найдём значения на концах и в критической точке: $$y(\\frac{1}{10})=\\ln\\frac12-\\frac12+4=\\frac{7}{2}-\\ln2,$$ $$y(\\frac{1}{5})=\\ln 1-1+4=3,$$ $$y(\\frac{2}{5})=\\ln 2-2+4=2+\\ln2.$$","Сравним: $\\frac{7}{2}-\\ln2\\approx 2{,}81$<br />$3=3$<br />$2+\\ln2\\approx 2{,}69$."]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=\\ln(3x)-3x+2$ на отрезке $[\\frac{1}{9};1]$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$1$","$\\frac{4}{3}$","$0$","$2$"],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Минимум на отрезке достигается либо в критической точке (где $y'=0$), либо на концах отрезка. Здесь сравниваем значения в точках $\\frac{1}{9}$, $\\frac{1}{3}$ и $1$.","hints":["Найдём производную: $$y'=\\frac{1}{x}-3.$$ Приравняем к нулю: $$\\frac{1}{x}-3=0\\Rightarrow x=\\frac{1}{3}.$$","Найдём значения функции: $$y(\\frac{1}{9})=\\ln\\frac13-\\frac13+2=\\frac{5}{3}-\\ln3,$$ $$y(\\frac{1}{3})=\\ln1-1+2=1,$$ $$y(1)=\\ln3-3+2=\\ln3-1.$$","Сравним: $\\frac{5}{3}-\\ln3\\approx 0{,}57$<br />$1=1$<br />$\\ln3-1\\approx 0{,}10$."]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=\\ln(2x)-2x+\\frac{5}{2}$ на отрезке $[\\frac{1}{8};\\frac{3}{2}]$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{2}$","$\\frac{3}{2}$","$1$","$2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдем производную: $$y'=\\frac{1}{x}-2.$$ Приравняем к нулю и найдите критическую точку.","Критическая точка $x=\\frac{1}{2}$ даёт $y=\\frac{3}{2}$, но на правом конце отрезка значение меньше и равно $\\frac{1}{2}$. Для логарифма важно, что $2x>0$ на всём отрезке."]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=6\\cos x+\\frac{18}{\\pi}x+4$ на отрезке $[-\\frac{2\\pi}{3};0]$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-7$","$-11$","$2$","$4$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдём производную: $$y'=-6\\sin x+\\frac{18}{\\pi}.$$<br />На отрезке $[-\\frac{2\\pi}{3};0]$ выполняется: $$\\sin x\\le 0.$$ Тогда $-6\\sin x\\ge 0$<br />Значит, $$y'=-6\\sin x+\\frac{18}{\\pi}>0.$$","Следовательно, функция возрастает на всём отрезке $[-\\frac{2\\pi}{3};0]$.<br />Поэтому наименьшее значение достигается в левом конце отрезка: $$x=-\\frac{2\\pi}{3}.$$<br />Вычислим значение функции: $$y(-\\frac{2\\pi}{3})=6\\cos(-\\frac{2\\pi}{3})+\\frac{18}{\\pi}\\cdot(-\\frac{2\\pi}{3})+4.$$","Так как $\\cos(-\\frac{2\\pi}{3})=-\\frac12$, получаем: $$y(-\\frac{2\\pi}{3})=6\\cdot(-\\frac12)-12+4$$ $$y(-\\frac{2\\pi}{3})=-3-12+4=-11.$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=4\\cos x+\\frac{12}{\\pi}x+1$ на отрезке $[-\\frac{\\pi}{2};0]$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-7$","$-5$","$-1$","$1$"],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"На $[-\\frac{\\pi}{2};0]$ имеем $\\sin x\\le 0$, поэтому $-4\\sin x\\ge 0$. Тогда $y'=-4\\sin x+\\frac{12}{\\pi}>0$, следовательно, функция возрастает и минимум в левом конце отрезка. Подстановка даёт $y\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)=-5$.","hints":["Найдём производную: $$y'=-4\\sin x+\\frac{12}{\\pi}.$$<br />На отрезке $[-\\frac{\\pi}{2};0]$ верно $\\sin x\\le 0$, значит $-4\\sin x\\ge 0$ и потому $$y'>\\frac{12}{\\pi}>0.$$","Раз $y'>0$ на всём отрезке, функция возрастает, значит наименьшее значение достигается при $x=-\\frac{\\pi}{2}$.","Подставим: $$y\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)=4\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+\\frac{12}{\\pi}\\cdot\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+1.$$<br>Так как $\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)=0$, получаем $$y=-6+1=-5.$$<br>Значит, в вариантах нужно выбрать значение $-5$."]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=8\\cos x+\\frac{16}{\\pi}x-2$ на отрезке $[-\\pi;0]$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$-26$","$-18$","$-10$","$6$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдём производную: $$y'=-8\\sin x+\\frac{16}{\\pi}.$$<br />На отрезке $[-\\pi;0]$ верно $\\sin x\\le 0$, поэтому $-8\\sin x\\ge 0$, а значит $$y'\\ge \\frac{16}{\\pi}>0.$$","Функция возрастает на $[-\\pi;0]$, следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x=-\\pi$.","Подставим: $$y(-\\pi)=8\\cos(-\\pi)+\\frac{16}{\\pi}\\cdot(-\\pi)-2.$$<br />Так как $\\cos(-\\pi)=\\cos\\pi=-1$, получаем $$y(-\\pi)=8\\cdot(-1)-16-2=-26.$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=3\\cos x+\\frac{9}{\\pi}x+5$ на отрезке $[-\\frac{2\\pi}{3};0]$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$-2,5$","$0$","$2,5$","$5$"],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"На отрезке $[-\\frac{2\\pi}{3};0]$ выполнено $\\sin x\\le 0$, поэтому $y'=-3\\sin x+\\frac{9}{\\pi}>0$. Функция возрастает, значит минимум в левом конце. Подстановка даёт $y\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)=-\\frac{5}{2}$.","hints":["Найдём производную: $$y'=-3\\sin x+\\frac{9}{\\pi}.$$<br />На отрезке $[-\\frac{2\\pi}{3};0]$ имеем $\\sin x\\le 0$, значит $-3\\sin x\\ge 0$, поэтому $$y'>\\frac{9}{\\pi}>0.$$","Раз производная положительна, функция возрастает, следовательно, минимум достигается при $x=-\\frac{2\\pi}{3}$.","Подставим: $$y\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)=3\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+\\frac{9}{\\pi}\\cdot\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+5.$$<br />$\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)=-\\frac12$, значит $$y=3\\cdot\\left(-\\frac12\\right)-6+5=-\\frac{3}{2}-1=-\\frac{5}{2}.$$"]}]}