Практика к уроку «Графики функций»

{"questions":[{"instruction":"Найдите значение функций","content":"На рисунке изображен график функции вида $f(x)= a^x.$ [[image-1]][[matcher-67]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k9-3-01.svg","width":"400"},"matcher-67":{"type":"matcher","labels":["$f(7)$","$f(6)$","$f(2)$"],"items":["$128$","$64$","$4$","$32$","$16$"]}},"step":1,"hints":["Чтобы найти неизвестное основание $a,$ подставим в функцию координаты точки, принадлежащей графику $(1;2)$: $$2 = a ^1$$ $$a=2$$","Найдем значение $f(7)$: $$f(7) = 2^7 = 128$$","Найдем значение $f(6)$: $$f(6) = 2^6 = 64$$","Найдем значение $f(2)$: $$f(2) = 2^2 = 4$$"]},{"instruction":"Найдите значение функций","content":"На рисунке изображен график функции вида $f(x)= \\log_{a}x$[[image-208]][[matcher-226]]","widgets":{"image-208":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k10-2-01.svg","width":"400"},"matcher-226":{"type":"matcher","labels":["$f(343)$","$f(7)$","$f(49)$"],"items":["$3$","$1$","$2$","$4$","$0$"]}},"step":1,"hints":["Чтобы найти неизвестное основание $a,$ подставим в функцию координаты точки, принадлежащей графику $(7;1)$: $$1 = \\log_{a}7$$ $$a=7$$","Найдем значение $f(343)$: $$f(343) =\\log_{7}343= 3$$","Найдем значение $f(49)$: $$f(343) =\\log_{7}49= 2$$","Найдем значение $f(7)$: $$f(343) =\\log_{7}7= 1$$"]},{"instruction":"Найдите значение функций","content":"На рисунке изображен график функции вида $f(x) = a\\sqrt{x}.$[[image-448]][[matcher-493]]","widgets":{"image-448":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k7-2-01.svg","width":"400"},"matcher-493":{"type":"matcher","labels":["$f(64)$","$f(16)$","$f(4)$"],"items":["$12$","$6$","$3$","$4$","$9$"]}},"step":1,"hints":["Чтобы найти коэффициент $a,$ подставим в функцию координаты точки, принадлежащей графику: $$3 = a \\sqrt{4}$$ $$a=1.5$$","Найдем значение $f(64)$: $$f(64) = 1.5\\sqrt{64} = 12$$","Найдем значение $f(16)$: $$f(16) = 1.5\\sqrt{16} = 6$$","Найдем значение $f(4)$: $$f(4) = 1.5\\sqrt{4} = 3$$"]},{"instruction":"Найдите значение функций","content":"На рисунке изображен график функции вида $f(x)=\\frac{k}{x}.$[[image-816]][[matcher-904]]","widgets":{"image-816":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k5-1-01.svg","width":"400"},"matcher-904":{"type":"matcher","labels":["$f(-8)$","$f(10)$","$f(-12)$"],"items":["$-0.75$","$0,6$","$-0.5$","$0,45$","$-0,3$"]}},"step":1,"hints":["Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику, в функцию, чтобы найти коэффициент $k$: $$f(x)=\\frac{k}{x}$$ $$3=\\frac{k}{2}$$ $$k=6$$","Найдем значение $f(-8)$: $$f(-8)=\\frac{6}{-8}=-0.75$$","Найдем значение $f(10)$: $$f(10)=\\frac{6}{10}=0.6$$","Найдем значение $f(-12)$: $$f(-12)=\\frac{6}{-12}=-0.5$$"]},{"instruction":"Найдите значение функций","content":"На рисунке изображен график функции вида $f(x) = 2x^2 +bx+c.$ [[image-1293]][[matcher-1408]]","widgets":{"image-1293":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k3-1-01.svg","width":"400"},"matcher-1408":{"type":"matcher","labels":["$f(4)$","$f(-4)$"],"items":["$34$","$26$","$16$","$29$"]}},"step":1,"hints":["Коэффициент $c$ можно определить по месту пересечения графиком функции оси $y$: $$c=-2$$","Возьмем точку $(1;1)$, принадлежащую графику функции, и, подставив ее координаты в исходное уравнение, определим коэффициент $b$: $$f(x) = 2x^2 +bx-2$$ $$1 = 2\\cdot 1^2 +b\\cdot 1-2$$ $$b=1$$","Найдем значение $f(4)$: $$f(4) = 2 \\cdot 4^2 + 1 \\cdot 4 -2 = 34$$","Найдем значение $f(-4)$: $$f(-4) = 2 \\cdot (-4)^2 + 1 \\cdot (-4) -2 = 26$$"]},{"instruction":"Найдите значение функций","content":"На рисунке изображен график функции вида $f(x) = -2x^2 +bx+c.$  [[image-1252]][[matcher-1682]]","widgets":{"image-1252":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k3-3-01.svg","width":"400"},"matcher-1682":{"type":"matcher","labels":["$f(-3)$","$f(4)$"],"items":["$-24$","$-17$","$20$","$14$"]}},"step":1,"hints":["Коэффициент $c$ можно определить по месту пересечения графиком функции оси $y$: $$c=3$$","Возьмем точку $(2;1)$, принадлежащую графику функции, и, подставив ее координаты в исходное уравнение, определим коэффициент $b$: $$f(x) = -2x^2 +bx+3$$ $$1 = -2\\cdot 2^2 +b\\cdot 2+3$$ $$b=3$$","Найдем значение $f(-3)$: $$f(-3) = -2 \\cdot (-3)^2 + 3 \\cdot (-3) +3 = -24$$","Найдем значение $f(4)$: $$f(4) = -2 \\cdot 4^2 + 3 \\cdot 4 +3 = -17$$"]},{"instruction":"Найдите абсциссу и ординату точки пересечения","content":"На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = a\\sqrt{x}$ и $g(x)= kx+b,$ пересекающиеся в точке $A.$ [[image-2074]][[matcher-2191]]","widgets":{"image-2074":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k8-1-01.svg","width":"400"},"matcher-2191":{"type":"matcher","labels":["Абсцисса $A$","Ордината $A$"],"items":["$25$","$-7,5$","$4$","$20$"]}},"step":1,"hints":["Чтобы найти коэффициент $a,$ подставим в функцию координаты точки, принадлежащей графику корня: $$-3 = a \\sqrt{4}$$ $$a=-1.5$$","Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона прямой к оси $x$: $$k=-\\frac{2}{4}=-0.5$$ Коэффициент $b$ можно определить по месту пересечения прямой оси $y$: $$b=5$$","Так как графики функций пересекаются, приравняем функции и найдем координаты точки пересечения: $$-1.5\\sqrt{x} = -0.5x+5$$ $$-3\\sqrt{x} = -x+10$$ $$9x=x^2+100-20x$$ $$x^2-29x+100 =0$$ $$x_1=25$$ $$x_2 = 4$$","По графикам функций видно, что точка с координатой $x=4$ не является местом пересечения, значит, $x=25.$","Найдём ординату точки $A$: $$y=f(25)=-\\frac32\\sqrt{25}$$ $$y=-\\frac32\\cdot 5=-7,5.$$"]},{"instruction":"Найдите абсциссу и ординату точки $B$","content":"На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$[[image-3466]][[matcher-3523]]","widgets":{"image-3466":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k6-3-01.svg","width":"400"},"matcher-3523":{"type":"matcher","labels":["Абсцисса $B$","Ордината $B$"],"items":["$-0.5$","$-8$","$0.5$","$-4$"]}},"step":1,"hints":["Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику гиперболы, в функцию $f(x)=\\frac{k}{x}$, чтобы найти коэффициент $k$: $$f(x)=\\frac{k}{x}$$ $$1=\\frac{k}{4}$$ $$k=4$$","Коэффициент $a$ можно найти как тангенс угла наклона прямой к оси $x$: $$a=\\frac{4}{2} = 2$$ Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику прямой, в функцию $g(x)=ax+b,$ чтобы найти коэффициент $b$: $$1 = 2 \\cdot 4 +b$$ $$b=-7$$","Приравняем полученные функции, чтобы найти координаты точек пересечения: $$\\frac{4}{x} = 2x-7$$ $$4 = 2x^2 -7x$$ $$2x^2-7x-4 = 0$$ $$x_1 = 4$$ $$x_2 = -0.5$$","По графикам видно, что абсцисса точки $A$ равна $4,$ значит, абсцисса точки $B$ равна $-0.5.$","Чтобы найти ординату точки $B,$ подставим значение $x$ в уравнение прямой: $$y = 2 \\cdot (-0.5)-7 = -8$$"]},{"instruction":"Найдите абсциссу и ординату точки пересечения","content":"На рисунке изображены графики функций $f(x)=-8x+13$ и $g(x) = ax^2 +bx+c,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ [[image-4117]] [[matcher-4020]]","widgets":{"matcher-4020":{"type":"matcher","labels":["Абсцисса $B$","Ордината $B$"],"items":["$-9$","$85$","$9$","$73$"]},"image-4117":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/k4-3-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Определим коэффициенты $a,b,c$ уравнения параболы по графику: $$a=1$$ $$b=-1$$ $$c=-5$$ Уравнение параболы имеет вид: $$g(x) = x^2 -x-5$$","Найдем точки пересечения, приравняв функции: $$-8x+13 = x^2 -x-5$$ $$x^2+7x-18=0$$ $$x_1 = -9$$ $$x_2=2$$","По графику видно, что точка $A$ имеет координату $2$ по оси $x,$ значит, абсцисса точки $B$ будет равна $-9.$","Найдем ординату точки $B,$ подставив координату $x$ в любое из уравнений: $$y = -8 \\cdot (-9) +13 =85$$"]},{"instruction":"Найдите абсциссу и ординату точки пересечения","content":"На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A.$ [[image-4587]][[matcher-4717]]","widgets":{"image-4587":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/6_6-01.svg","width":"400"},"matcher-4717":{"type":"matcher","labels":["Абсцисса $A$","Ордината $A$"],"items":["$5$","$14$","$12$","$8$"]}},"step":1,"hints":["Напишем уравнение линейной функции: $f(x) = kx+b.$ Для каждой функции нам необходимо определить коэффициенты $k$ и $b.$<br />Коэффициент $b$ можно определить по месту пересечения прямой с осью $y$: $$b_1 = 4$$ $$b_2 = -1$$","Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона прямой относительно оси $x$: $$k_1 = \\frac{4}{2}= 2$$ $$k_2 = \\frac{6}{2} = 3$$ Так как обе функции возрастающие, коэффициенты $k$ будет положительными.","Мы получили уравнения двух прямых: $$f(x) = 2x+4$$ $$g(x) = 3x-1$$ Чтобы найти абсциссу точки пересечения функций, их необходимо приравнять: $$2x+4 = 3x-1$$ $$x=5$$","Теперь найдем ординату точки пересечения. Для этого подставим значение $x$ в любое из уравнений: $$y = 2 \\cdot 5 +4 = 14$$"]}]}