Практика к уроку «Кинематика. Движение по окружности»

{"questions":[{"content":"Материальная точка равномерно движется по окружности радиусом $2\\ \\text{м}$ с центростремительным ускорением, равным $8\\ \\text{м/с}^2$. Найдите скорость точки.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4\\ \\text{м/с}$","$16\\ \\text{м/с}$","$1\\ \\text{м/с}$","$8\\ \\text{м/с}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$1)$ Центростремительное ускорение при движении по окружности определяется формулой:<br />$$a = \\frac{v^2}{R}$$где $a$ — центростремительное ускорение, $v$ — скорость точки, $R$ — радиус окружности.<br /><br />$2)$ Выразим из этой формулы скорость $v$:<br />$$v = \\sqrt{a R}$$<br />$3)$ Подставим известные значения $a = 8\\ \\text{м/с}^2$ и $R = 2\\ \\text{м}$:<br />$$v = \\sqrt{8 \\cdot 2} = \\sqrt{16} = 4\\ \\text{м/с}$$<br />Ответ: $4\\ \\text{м/с}$."]},{"content":"В школьном опыте брусок, помещенный на горизонтальный диск, вращался вместе с ним с некоторой угловой скоростью. В ходе опыта угловую скорость диска увеличили. При этом положение бруска на диске осталось прежним. <br /><br />Как изменились при этом центростремительное ускорение бруска и сила нормального давления бруска на опору?<br /> <br />Центростремительное ускорение бруска [[fill_choice-75]].<br />Сила нормального давления бруска на опору [[fill_choice-85]].","widgets":{"fill_choice-75":{"type":"fill_choice","options":["увеличилось","уменьшилось","не изменилось"],"answer":0},"fill_choice-85":{"type":"fill_choice","options":["увеличилась","уменьшилась","не изменилась"],"answer":2}},"hints":["$1)$ Центростремительное ускорение бруска определяется формулой $$a_\\text{ц} = \\omega^2 R$$ где $\\omega$ — угловая скорость, $R$ — расстояние от центра диска (радиус вращения). Поскольку угловая скорость $\\omega$ увеличилась, а радиус $R$ не изменился (положение бруска осталось прежним), то центростремительное ускорение $a_\\text{ц}$ увеличится.<br /><br />$2)$ Сила нормального давления бруска на опору равна по модулю силе реакции опоры $\\vec{N},$ действующей на брусок. На брусок, вращающийся на горизонтальном диске, действуют три силы: сила тяжести $m\\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила реакции опоры $\\vec{N}$, направленная вертикально вверх, и сила трения покоя $\\vec{F}_\\text{тр}$, направленная к центру диска и обеспечивающая центростремительное ускорение. В вертикальном направлении ускорения нет, поэтому:<br />$$N = m g$$<br />Из этого уравнения видно, что сила нормального давления $N$ зависит только от массы бруска $m$ и ускорения свободного падения $g$, которые не изменяются. Следовательно, сила нормального давления $N$ не изменилась.<br /><br />Итог. Центростремительное ускорение увеличилось, сила нормального давления не изменилась."]},{"content":"Шарик движется по окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\\omega$. Во сколько раз уменьшится центростремительное ускорение шарика, если радиус окружности увеличить в $2$ раза, а угловую скорость уменьшить в $2$ раза? [[fill_choice_big-165]]","widgets":{"fill_choice_big-165":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$0.5$","$4$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Центростремительное ускорение определяется формулой:<br />$$a = \\omega^2 R$$<br />$2)$ Обозначим начальные параметры: $R_1 = R$, $\\omega_1 = \\omega$, тогда начальное ускорение:<br />$$a_1 = \\omega^2 R$$<br />$3)$ После изменений: радиус $R_2 = 2R$, угловая скорость $\\omega_2 = \\dfrac{\\omega}{2}$. Новое ускорение:<br />$$a_2 = \\left(\\dfrac{\\omega}{2}\\right)^2 \\cdot (2R) = \\dfrac{\\omega^2}{4} \\cdot 2R = \\dfrac{\\omega^2 R}{2}$$<br />$4)$ Найдем отношение начального ускорения к конечному:<br />$$\\dfrac{a_1}{a_2} = \\dfrac{\\omega^2 R}{\\dfrac{\\omega^2 R}{2}} = 2$$<br />Следовательно, центростремительное ускорение уменьшится в $2$ раза.<br /><br />Ответ: $2$."]},{"content":"Материальная точка равномерно движется по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$. Во сколько раз нужно увеличить скорость ее движения, чтобы при увеличении радиуса окружности в $4$ раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?<br /><br /><br />[[fill_choice_big-231]]","widgets":{"fill_choice_big-231":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$1$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Центростремительное ускорение определяется формулой:<br />$$a = \\frac{v^2}{R}$$<br />$2)$ Обозначим начальные параметры: $R_1 = R$, $v_1 = v$, тогда начальное ускорение:<br />$$a_1 = \\frac{v^2}{R}$$<br />$3)$ После изменений: радиус $R_2 = 4R$, скорость $v_2 = kv$ (где $k$ — искомый коэффициент увеличения скорости). Новое ускорение:<br />$$a_2 = \\frac{(kv)^2}{4R} = \\frac{k^2 v^2}{4R}$$<br />$4)$ По условию центростремительное ускорение не изменилось: $a_1 = a_2$. Приравняем выражения:<br />$$\\frac{v^2}{R} = \\frac{k^2 v^2}{4R}$$<br />$5)$ Сократим одинаковые множители $v^2$ и $R$ в обеих частях уравнения:<br />$$1 = \\frac{k^2}{4}$$<br />$6)$ Решим полученное уравнение относительно $k$:<br />$$k^2 = 4$$$$k = 2$$<br />(Отрицательное значение не имеет физического смысла в данном контексте.)<br /><br />Следовательно, скорость движения точки нужно увеличить в $2$ раза.<br /><br />Ответ: $2$."]},{"content":"Автомобиль массой $2\\ \\text{т}$ проезжает верхнюю точку выпуклого моста, двигаясь с постоянной по модулю скоростью равной $36\\ \\text{км/ч}$. Радиус кривизны моста равен $40\\ \\text{м}$. Из приведенного ниже списка выберите все верные утверждения, характеризующие движение автомобиля по мосту.[[choice-343]]","widgets":{"choice-343":{"type":"choice","options":["$1)$ Сила, с которой мост действует на автомобиль в верхней точке моста, меньше $20\\ 000\\ \\text{Н}$ и направлена вертикально вниз.","$2)$ Центростремительное ускорение автомобиля в верхней точке моста равно $2.5\\ \\text{м/с}^2 .$","$3)$ Ускорение автомобиля в верхней точке моста направлено противоположно его скорости.","$4)$ Равнодействующая сил, действующих на автомобиль в верхней точке моста, сонаправлена с его скоростью.","$5)$ В верхней точке моста автомобиль действует на мост с силой, равной по модулю $15\\ 000\\ \\text{Н} .$"],"answer":[1,4]}},"hints":["$1)$ Неверно. В верхней точке моста на автомобиль действуют две силы: сила тяжести $m\\vec{g}$, направленная вниз, и сила реакции опоры $\\vec{N}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение, направленное вниз (к центру окружности). Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:<br />$$m g -N = m a_\\text{ц}$$<br />Отсюда сила реакции опоры $N = m g -m a_\\text{ц}$. Эта сила направлена вертикально вверх, а не вниз. Утверждение о направлении силы неверно.<br /><br />$2)$ Верно. Переведем скорость в $СИ{:}$ $$v = 36\\ \\text{км/ч} = \\dfrac{36 \\cdot 1000}{3600} = 10\\ \\text{м/с}$$ Центростремительное ускорение:<br />$$a_\\text{ц} = \\frac{v^2}{R} = \\frac{10^2}{40} = \\frac{100}{40} = 2.5\\ \\text{м/с}^2$$<br />$3)$ Неверно. При равномерном движении по окружности ускорение (центростремительное) всегда направлено к центру окружности. В верхней точке выпуклого моста ускорение направлено вертикально вниз. Скорость при этом направлена горизонтально (по касательной к траектории). Следовательно, ускорение не направлено противоположно скорости, оно перпендикулярно скорости.<br /><br />$4)$ Неверно. Равнодействующая сил, действующих на автомобиль, направлена к центру окружности (вертикально вниз в верхней точке), в то время как скорость направлена по горизонтали (по касательной). Они не сонаправлены, а перпендикулярны.<br /><br />$5)$ Верно. Сила, с которой автомобиль действует на мост, по третьему закону Ньютона равна по модулю силе реакции опоры $N$. Найдем $N$:<br />Масса $m = 2\\ \\text{т} = 2000\\ \\text{кг}$, $g \\approx 10\\ \\text{м/с}^2.$<br />$$N = m g- m a_\\text{ц} = 2000 \\cdot 10- 2000 \\cdot 2.5 $$ $$= 20\\ 000- 5\\ 000 = 15\\ 000\\ \\text{Н}$$<br />Следовательно, автомобиль давит на мост с силой $15\\ 000\\ \\text{Н}$.<br /><br />Верны утверждения $2$ и $5.$"]},{"content":"Автомобиль массой $2\\ \\text{т}$ проезжает верхнюю точку выпуклого моста, двигаясь с постоянной по модулю скоростью $36\\ \\text{км/ч}$. Радиус кривизны моста равен $40\\ \\text{м}$.<br /><br />Из приведенного ниже списка выберите два правильных утверждения, характеризующих движение автомобиля по мосту.[[choice-561]]","widgets":{"choice-561":{"type":"choice","options":["$1)$ Равнодействующая сил, действующих на автомобиль в верхней точке моста, сонаправлена с его скоростью.","$2)$ Сила, с которой мост действует на автомобиль в верхней точке моста, меньше $20\\ 000\\ \\text{Н}$ и направлена вертикально вниз.","$3)$ В верхней точке моста автомобиль действует на мост с силой, равной $15\\ 000\\ \\text{Н} .$","$4)$ Центростремительное ускорение автомобиля в верхней точке моста равно $2.5\\ \\text{м/с}^2 .$","$5)$ Ускорение автомобиля в верхней точке моста направлено противоположно его скорости."],"answer":[2,3]}},"hints":["$1)$ Неверно. При движении по выпуклому мосту в верхней точке равнодействующая сила (сила тяжести и сила реакции опоры) направлена вертикально вниз, к центру кривизны траектории, и является центростремительной. Скорость автомобиля в этой точке направлена горизонтально, по касательной к траектории. Следовательно, равнодействующая сила и скорость не сонаправлены, а перпендикулярны.<br /><br />$2)$ Неверно. Сила, с которой мост действует на автомобиль, — это сила реакции опоры $\\vec{N}$. В верхней точке она направлена вертикально вверх (против силы тяжести). Ее модуль можно найти из второго закона Ньютона для центростремительного ускорения, направленного вниз: $mg- N = m a_\\text{ц}$, откуда $N = m(g- a_\\text{ц})$. Утверждение о направлении «вниз» неверно.<br /><br />$3)$ Верно. Сила, с которой автомобиль действует на мост, по третьему закону Ньютона равна по модулю силе реакции опоры $N$. Рассчитаем ее. Масса $m = 2\\ \\text{т} = 2000\\ \\text{кг}$. Скорость $v = 36\\ \\text{км/ч} = 10\\ \\text{м/с}$. Центростремительное ускорение $a_\\text{ц} = \\dfrac{v^2}{R} = \\dfrac{100}{40} = 2.5\\ \\text{м/с}^2$. Примем $g = 10\\ \\text{м/с}^2$.<br />$$N = m(g- a_\\text{ц}) = 2000 \\cdot (10- 2.5) = 2000 \\cdot 7.5 = 15\\ 000\\ \\text{Н}$$<br />Утверждение верно.<br /><br />$4)$ Верно. Расчет приведен выше: $$a_\\text{ц} = \\dfrac{v^2}{R} = \\dfrac{(10\\ \\text{м/с})^2}{40\\ \\text{м}} = 2.5\\ \\text{м/с}^2$$<br />$5)$ Неверно. Ускорение автомобиля в верхней точке (центростремительное) направлено вертикально вниз, к центру кривизны траектории. Скорость направлена горизонтально. Эти векторы перпендикулярны, а не противоположно направлены.<br /><br />Верны утверждения $3$ и $4.$"]}]}