Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений

Содержание

    Раньше с помощью уравнений вы часто решали текстовые задачи, так как этот способ наиболее универсален и прост для нахождения ответа. В данном уроке:

    • сформулируем основные понятия
    • разберем алгоритм действий
    • узнаем, на что обращать особое внимание
    • прорешаем примеры таких задач

    Для лучшего понимания темы вспомним, что такое текстовая задача:

    Текстовая задача – описание с помощью слов какой-то ситуации, где в итоге требуется что-то из перечисленного:
    — дать количественную характеристику какого-то элемента этой ситуации
    — установить наличие какого-то отношения между элементами (либо его отсутствие)
    — определить вид этого отношения

    О том, что такое линейное уравнение, мы говорили в предыдущем уроке.

    Решение задачи и математическая модель

    Когда от нас требуется решить задачу, мы должны с помощью правильной цепочки действий над имеющимися в задании данными выполнить указанное в ней требование. 

    Почему важно научиться решать задачи? Часто они описывают какие-то реальные ситуации, которые вам будут попадаться в жизни дальше. И их придется решать. 

    В процессе нахождения ответов для разнообразных текстовых задач мы можем математическим языком (с помощью цифр) записать все данные. В результате перевода условия задачи из словесного в математический язык и получается уравнение. Это уравнение часто называют математической моделью ситуации.

    Запомним:

    Математическая модель — это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка. 

    Мы должны не просто составить уравнение по написанному в задаче условию, но и, конечно, решить его. То есть необходимо найти корень составленного уравнения. Но и найденный корень – это, как правило, еще не решение. 

    В младших классах вы находили ответы для задач попроще. Далее они станут сложнее и сложнее, и с найденным корнем уравнения нужно будет произвести какие-то дальнейшие действия. А потом необходимо обязательно удостовериться, не противоречит ли полученный ответ логике. 

    Важно: Иногда бывает, что у задачи нет правильного ответа и нужно быть особо внимательным при его формулировке.

    Рассмотрим на самом простом примере

    Несколько ребят на уроке труда собирали яблоки в саду около школы. Всего они насобирали $29$ кг яблок. Каждый из учеников собрал по $4$ кг яблок. Сколько ребят собирали яблоки в саду около школы?

    Составим уравнение, обозначив количество учеников за $x$. Получим: $$4x = 29$$ $$x = \frac {29}{4}$$$$x = 7,25$$

    У нас получилось нецелое число. Но может ли быть количество ребят нецелым числом? Конечно, нет, поэтому такая задача решения не имеет. 

    Ответ: решения нет.

    Разберем другой пример.

    Сейчас папе $46$ лет, а сыну $16$. Сколько лет назад папа был старше сына в $3$ раза?

    Сначала найдем разницу в возрасте папы и сына: $$46-16 = 30$$ То есть, сын родился, когда папе было $30$ лет. Эта разница в возрасте будет сохраняться всю жизнь. Например, когда ребенку было $5$ лет, то папе все равно было на $30$ лет больше.

    Теперь по условию задачи обозначим за $x$ возраст сына в момент, когда он был в 3 раза младше папы. Тогда папе в это же время было $3x$ лет. А разница между $3x$ и $x$, как мы выяснили, равна $30$ годам. 

    Составим уравнение: $$3x-x = 30$$ Упростим и решим его: $$2x = 30$$ $$x = 15 (лет)$$ Получили ли мы ответ? Еще нет, так как мы нашли только возраст сына. А в задаче требуется узнать, сколько лет назад случилась описанная ситуация. Если сейчас сыну $16$ лет, а тогда ему было $15$, то найдем разницу: $$16-15 = 1 (год)$$ То есть, мы выяснили, что папе было в $3$ раза больше, чем сыну один год назад. Это и будет ответом на нашу задачу.

    Ответ: $1$ год назад.

    Как видите, в данном задании найденный корень уравнения еще не был нужным нам ответом, и необходимо было решать дальше.

    Важно: корень составленного к задаче уравнения – это часто еще не ответ на поставленный в ней вопрос!

    Этапы решения заданий с помощью линейного уравнения

    Все перечисленные в примерах выше действия для решения задач с помощью линейных уравнений мы можем свести к одному общему алгоритму:

    1. Выбрать, какую неизвестную величину обозначить за переменную $x$.
    2. Через введенную переменную выразить остальные неизвестные величины.
    3. На основе имеющихся данных составить уравнение и решить его.
    4. При необходимости найти другие неизвестные величины.
    5. Проанализировать, соответствуют ли полученные результаты смыслу задачи.
    6. Сформулировать и записать ответ. 

    Как правило, легче всего составить уравнение с помощью записи данных задачи в таблицу. 

    К примеру, решим такую задачу: в столовой на одной полке было в $2$ раза больше кружек, чем на другой. Перед очередным классом с первой полки взяли $16$ кружек, но потом на другую поставили $4$. В итоге на обеих полках оказалось одинаковое количество кружек. Найдите, сколько на каждой полке кружек было первоначально.

    Решение. Обозначим исходное количество кружек на второй полке за $x$ и составим таблицу:

    БылоСтало
    $1$-я полка$2x$$2x-16$
    $2$-я полка$x$$x+4$

    Так как по условию задачи кружек на обеих полках стало поровну, то $$2x-16 = x+4$$ Упростим и решим, перенеся $x$ влево, а $16$ вправо с противоположным знаком: $$2x-x = 16+4$$ $$x=20$$ Так мы нашли исходное количество кружек на второй полке. Тогда на первой полке было: $$20\times 2 = 40 (кружек)$$

    Ответ: на первой полке было $40$ кружек, а на второй $20$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение