Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Линейное уравнение с одной переменной

Содержание

    Что такое уравнение

    Для изучения темы линейного уравнения вспомним, что уравнением называют равенство, в составе которого есть неизвестное число. Это неизвестное число-переменную нам и нужно найти.

    К примеру, не будут уравнениями выражения $3n-4$ или $d + 8$. Ведь в них не требуется найти значение переменной и отсутствует знак равенства. Это просто буквенные выражения. А вот записи: $4y-7 = 13$ или $-5x = 6x-2$ являются уравнениями. 

    Чаще всего уравнения используют, чтобы решить задачу. 

    Приведем пример

    Папе и сыну вместе $45$ лет, при этом известно, что отец старше на $19$ лет. Найдем, сколько лет каждому из них?

    Обозначим возраст сына за $x$, тогда папе будет $x+19$ лет. Получим уравнение: $x + (x + 19) = 45$, так как по условию вместе им $45$ лет. Решим:

    после раскрытия скобок: $2x + 19 = 45$,

    $2x = 45-19$,

    $2x = 26$,

    $x = 13$

    То есть с помощью составления уравнения мы выяснили, что сыну $13$ лет. Отцу тогда $32$ года $(13 + 19)$. И вместе им действительно $45$ лет: $$13 + 32 = 45$$

    Таким образом, записав по условию задачи уравнение, мы смоделировали алгебраическую модель ситуации.

    Неизвестная переменная может обозначаться в уравнении не только буквами $x$ или $y$, но и любыми другими латинскими буквами.

    Когда от нас требуется решить уравнение, мы должны найти все его корни либо показать, что их нет.

    Корень уравнения – это значение неизвестной переменной, превращающее уравнение в верное равенство.

    Рассмотрим пример 

    $3x-1 = 5$

    Выясним, является ли корнем этого уравнения $x = 4$. Подставим $4$ вместо $x$ и получим: $${3\times 4}-1 = 5$$$$12-1 = 5$$$$11 = 5$$

    При решении мы поняли, что $x ≠ 4$, так как $11 ≠ 5$. То есть число $4$ не может быть корнем данного в задании уравнения. Посчитайте самостоятельно, какой корень у этого уравнения?

    Корней может быть несколько, один или не быть совсем. В последнем случае говорят обычно, что уравнение не имеет решения или не имеет корней.

    В примере с папой и сыном корень уравнения единственный: $x = 13$. Ведь нет других вариантов решения, при которых будут выполнены все условия и получится верное равенство. Проверьте сами?

    Что такое линейное уравнение

    Если числа в конечном уравнении $2x = 26$ к нашему первому примеру заменить на буквы $a$ и $b$, мы получим уравнение вида $ax = b$.

    Подобные уравнения и называются линейными.

    Запомним:

    Уравнения вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, называются линейными уравнениями с одной переменной

    Когда уравнения содержат, к примеру, степень: $$x^2 + 3 = 7$$ или неизвестная переменная находится в знаменателе дроби: $$\frac {8}{x} — 3 = 0$$ они не будут называться линейными.

    Иногда в составе уравнения есть несколько переменных, это  тоже не наш случай: такие уравнения будут изучаться позже.

    Коэффициенты и решение линейных уравнений

    Числа $a$ и $b$ в линейном уравнении называют коэффициентами. Они могут быть выражены любыми числами, в том числе отрицательными или дробными. При этом $a$ называют коэффициентом при неизвестной переменной, а коэффициент $b$ свободным.

    В наших примерах у уравнений был единственный корень. Наверное, вы заметили, что в них коэффициенты $a$ и $b$ были равны числам, отличным от нуля. Подобные уравнения решаются по простому алгоритму: $$x = \frac {b}{a}$$

    Посмотрим, когда линейное уравнение никак не может иметь корней (или верного решения). 

    Попробуем взять коэффициент $a$, равный $0$, а коэффициент $b$ — любое число, не равное $0$. Тогда получим уравнение: $$0\times x = b$$ При умножении $x$ на ноль всегда будет ноль, но у нас $b ≠ 0$. Следовательно, правая и левая части такого уравнения между собой не равны, и при $a = 0$, а $b ≠ 0$ линейное уравнение не имеет верного решения.

    Но линейное уравнение может иметь и множество решений. Рассмотрим такой случай. Например, что будет, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$? $$0\times x + 0 = 0$$ Ясно, что любое подобное уравнение с обоими коэффициентами, равными нулю, имеет бесконечно много корней. Почему? Потому что любое число при умножении на 0 дает ноль. Какое бы число вместо $x$ мы не подставили, равенство будет верным.

    Таким образом, при решении линейных уравнений мы пришли к трем общим ситуациям:

    Величины $a$ и $b$$a ≠ 0$, $b$ — любое$a = b = 0$$a = 0$, $b ≠ 0$
    Корни уравнения $ax = b$
    $x = \frac {b}{a}$

    $x$ — любое

    корней нет

    Свойства линейных уравнений

    Цель любого линейного уравнения – выразить $x$ и понять, чему он будет равен.

    До того, как начать решать уравнение, над ним необходимо произвести все доступные арифметические действия, например, сложение/вычитание, раскрытие скобок, умножение/деление отдельно для свободных коэффициентов и отдельно для членов уравнения с неизвестной переменной.

    Для упрощения дальнейшего решения с уравнениями можно произвести те же действия, что применяются к другим математическим выражениям.

    Свойства линейных уравнений:

    1. Любой член можно перенести из одной части линейного уравнения в другую, но при этом нужно не забыть заменить знак на противоположный.

    В процессе решения надо так преобразовать уравнение, чтобы все известные члены оказались с одной стороны равенства, а неизвестные — с другой.

    Например: $5x = 30-3x$. Для решения перенесем $-3x$ в левую часть с противоположным знаком и получим $5x + 3x = 30$. 

    1. В ходе решения обе части уравнения можно одновременно делить или умножать на какое-то одно и то же число, отличающееся от $0$. При этом равенство будет оставаться верным.

    Часто второе свойство применяется в уравнениях с дробями. Например, нужно решить уравнение: $$\frac {5}{2}\times x = 8$$ Чтобы избавиться от дроби, попробуем и правую и левую части уравнения умножить на $2$. Тогда мы получим: $$2\times \frac {5}{2}\times x = 2\times 8$$ После умножения уравнение примет следующий вид: $$5x = 16$$

    Согласитесь, такое уравнение решить намного легче. При этом после подобных преобразований равенство не нарушается, и мы получаем равносильные уравнения.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение