0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Виды тождественных преобразований

Содержание

    Выполнять действия над тождествами можно, используя свойства равенств и арифметических действий.

    Рассмотрим основные тождественные преобразования, которые чаще всего используются при вычислениях:

    Действия с числами

    Для преобразования выражения мы можем выполнять действия с числами, соблюдая их последовательность. Например, выражение $$5,5+8 \times 2-4$$ после преобразования (выполнения сначала умножения, потом сложения и потом вычитания) даст нам результат: $17.5$

    Действия с подобными слагаемыми 

    Если помните, подобными слагаемыми называют те, которые имеют одинаковую буквенную часть. Все подобные слагаемые можно складывать, вычитать, умножать и т. д. между собой.

    К примеру, преобразуем тождество: $$7+a = 13-2a$$

    Перенесем значения с переменной $a$ в левую часть, а числа без  $a$ в правую, меняя знаки на противоположные. Получим: $$a+2a = 13-7$$ $$3a = 6$$

    Решить полученное уравнение уже легче: $$a = \frac {6}{3}$$ $$a = 2$$

    Наше равенство осталось верным. Чтобы в этом убедиться, подставим в первоначальное выражение вместо $a$ то число, которое у нас получилось в результате решения, так как оно точно входит в ОДЗ. Равенство должно остаться верным. То есть подставим $2$ вместо $a$ в первоначальное выражение $7+a = 13-2a$. Получим: $$7+2 = 13-{2\times 2}$$ $$9 = 13-4$$ $$9 = 9$$

    Действия с левой и правой частями равенства

    Иногда для дальнейшего упрощения решения мы можем к левой и правой части тождества прибавить какое-то одно и то же число (или отнять одно и то же число), и тождество сохранится. Так происходило в наших примерах с водой и конфетами в самом начале темы. 

    Аналогично мы можем умножить или разделить обе части равенства на одно и то же число одновременно, и это также не нарушит их тождество. К примеру, если мы умножим обе части тождества $0.5p=4z$ на $2$, то получим: $$2\times 0.5p=2\times 4z$$ $$p=8z$$ 

    Действия со скобками 

    Мы можем раскрыть скобки, перегруппировать и заключить отдельные слагаемые в скобки. Мы можем за скобки вынести общий множитель. Все эти действия не нарушат исходное равенство.

    При этом особое внимание уделяйте знакам $+$ и $-$

    Например: $$2,66+2,5-1,66$$

    Чтобы посчитать быстрее, заключим в скобки первое и третье слагаемые: $$(2,66-1,66)+2,5$$

    Так результат $3,5$ получим легче, чем в исходном выражении.

    Еще пример. В выражении $$72-36+9$$ вынесем $9$ за скобки и получим: $$9\times (8-4+1)$$ А результат попробуйте посчитать самостоятельно. [45]

    Действия со слагаемыми или множителями

    Мы можем поменять слагаемые или множители местами, заменить разность суммой, а сумму разностью, частное произведением и обратно, используя известные свойства арифметических действий. 

    Возьмем для примера частное: $$\frac {m}{k}$$ и заменим его произведением: $$m(\frac {1}{k})$$ Здесь мы заменили деление на умножение, используя число, обратное делителю.

    Действия с дробями

    К ним относятся, например, преобразование десятичных дробей в обыкновенные и обратно, умножение (или деление) и числителя и знаменателя на одно и то же число.

    Подобное действие рассматривалось нами выше. Поэтому самостоятельно попробуйте преобразовать выражение: $$(\frac {1}{7} + \frac {3}{4})r$$ Дроби для этого приведите к общему знаменателю.

    Ответ: $\frac{25}{28}r$

    Мы перечислили только самые основные тождественные преобразования: по мере изучения предмета вы познакомитесь и с другими.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение