Виды тождественных преобразований

Выполнять действия над тождествами можно, используя свойства равенств и арифметических действий.

Рассмотрим основные тождественные преобразования, которые чаще всего используются при вычислениях:

Действия с числами

Для преобразования выражения мы можем выполнять действия с числами, соблюдая их последовательность. Например, выражение $$5,5+8 \times 2-4$$ после преобразования (выполнения сначала умножения, потом сложения и потом вычитания) даст нам результат: $17.5$

Действия с подобными слагаемыми 

Если помните, подобными слагаемыми называют те, которые имеют одинаковую буквенную часть. Все подобные слагаемые можно складывать, вычитать, умножать и т. д. между собой.

К примеру, преобразуем тождество: $$7+a = 13-2a$$

Перенесем значения с переменной $a$ в левую часть, а числа без  $a$ в правую, меняя знаки на противоположные. Получим: $$a+2a = 13-7$$ $$3a = 6$$

Решить полученное уравнение уже легче: $$a = \frac {6}{3}$$ $$a = 2$$

Наше равенство осталось верным. Чтобы в этом убедиться, подставим в первоначальное выражение вместо $a$ то число, которое у нас получилось в результате решения, так как оно точно входит в ОДЗ. Равенство должно остаться верным. То есть подставим $2$ вместо $a$ в первоначальное выражение $7+a = 13-2a$. Получим: $$7+2 = 13-{2\times 2}$$ $$9 = 13-4$$ $$9 = 9$$

Действия с левой и правой частями равенства

Иногда для дальнейшего упрощения решения мы можем к левой и правой части тождества прибавить какое-то одно и то же число (или отнять одно и то же число), и тождество сохранится. Так происходило в наших примерах с водой и конфетами в самом начале темы. 

Аналогично мы можем умножить или разделить обе части равенства на одно и то же число одновременно, и это также не нарушит их тождество. К примеру, если мы умножим обе части тождества $0.5p=4z$ на $2$, то получим: $$2\times 0.5p=2\times 4z$$ $$p=8z$$ 

Действия со скобками 

Мы можем раскрыть скобки, перегруппировать и заключить отдельные слагаемые в скобки. Мы можем за скобки вынести общий множитель. Все эти действия не нарушат исходное равенство.

При этом особое внимание уделяйте знакам $+$ и $-$

Например: $$2,66+2,5-1,66$$

Чтобы посчитать быстрее, заключим в скобки первое и третье слагаемые: $$(2,66-1,66)+2,5$$

Так результат $3,5$ получим легче, чем в исходном выражении.

Еще пример. В выражении $$72-36+9$$ вынесем $9$ за скобки и получим: $$9\times (8-4+1)$$ А результат попробуйте посчитать самостоятельно. [45]

Действия со слагаемыми или множителями

Мы можем поменять слагаемые или множители местами, заменить разность суммой, а сумму разностью, частное произведением и обратно, используя известные свойства арифметических действий. 

Возьмем для примера частное: $$\frac {m}{k}$$ и заменим его произведением: $$m(\frac {1}{k})$$ Здесь мы заменили деление на умножение, используя число, обратное делителю.

Действия с дробями

К ним относятся, например, преобразование десятичных дробей в обыкновенные и обратно, умножение (или деление) и числителя и знаменателя на одно и то же число.

Подобное действие рассматривалось нами выше. Поэтому самостоятельно попробуйте преобразовать выражение: $$(\frac {1}{7} + \frac {3}{4})r$$ Дроби для этого приведите к общему знаменателю.

Ответ: $\frac{25}{28}r$

Мы перечислили только самые основные тождественные преобразования: по мере изучения предмета вы познакомитесь и с другими.