0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Тождественные преобразования

Содержание

    Вспомнить, что такое тождество, вы можете в предыдущей теме.

    Для понимания данной темы представим, что в двух банках было одинаковое количество воды, например, $1$ стакан. Потом в обе банки долили еще по $2$ стакана воды. В результате в обеих емкостях все равно осталось одинаковое количество воды, так как мы добавили в каждую равный объем: $2$ стакана.

    Другой пример: брата и сестру соседка угостила конфетами, каждому дала по $5$ штук. Затем они решили съесть по одной, и у них осталось все равно поровну конфет, но уже по $4$ штуки.

    В обоих примерах были произведены какие-то действия (в первом случае прибавили, во втором – отняли), но прежнее равенство они не нарушили.

    В математике тоже можно производить подобные действия над равенствами, и они называются тождественными преобразованиями

    Их главная цель – сделать решение более легким.

    Пример тождественного преобразования

    Выполним задание на упрощение равенства: $$0,5nt + \frac {3}{4}nt = \frac {3}{6}nt + \frac {9}{12}nt$$

    Мы можем упростить правую и левую его части. Сначала преобразуем десятичную дробь в левой части равенства, чтобы все дроби привести к одному виду: $$\frac {1}{2}nt + \frac {3}{4}nt = \frac {3}{6}nt + \frac {9}{12}nt$$

    Вынесем в обеих частях равенства за скобки общий множитель $nt$: $$(\frac {1}{2} + \frac {3}{4})nt = (\frac {3}{6} + \frac {9}{12})nt$$

    Посчитаем действия в скобках, а также преобразуем дроби, приведя их к общему знаменателю, отдельно в правой и в левой части: $$(\frac {2+3}{4})nt = (\frac {6+9}{12})nt$$ $$(\frac {5}{4})nt = (\frac {15}{12})nt$$

    Теперь осталось сократить дробь справа. Разделим для этого на $3$ и числитель, и знаменатель: $$\frac {5}{4}nt = \frac {5}{4}nt$$

    Таким образом, мы упростили тождество и выполнили действия, которые не изменили наше равенство. Согласитесь, намного проще посчитать результат при подстановке значений $n$ и $t$ в получившееся равенство, чем в первоначальное.

    Что называют тождественным преобразованием

    Запомним:

    Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

    Часто слово «тождественное» пропускают и в задании просто просят преобразовать выражение

    Приведем еще примеры совсем простых тождественных преобразований:

    • $b + b = 2b$
    • $a+b = b+a$
    • $y\times y\times y = y^3$
    • $2m\times \frac{1}{2}m = m^2$   

    Все свойства арифметических действий являются примерами тождественных преобразований, например:

    То есть, арифметические действия над выражениями, которые вы выполняли ранее, относятся к тождественным преобразованиям выражений.

    После каждого шага тождественного преобразования в записи между выражениями можно ставить знак $=$, например: $$(7-2)\times (4f-0,5)=5\times (4f-0,5)=20f-2,5$$

    Каждое отдельно взятое выражение между знаками $=$ в записанной цепочке будет тождественно равно любому другому из нее.

    Например, мы можем записать, что

    $$\textcolor{#00ad82}{(7-2)} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}20f-2,5$$

    или

    $$\textcolor{#00ad82}{5} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}20f-2,5$$

    или

    $$\textcolor{#00ad82}{(7-2)} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}5\times (4f-0,5)$$

    Как понять, что преобразование было тождественным

    Как мы можем доказать, что выполняемые нами действия сделаны по правилам, а преобразование было тождественным? Для этого необходимо следовать одному из следующих алгоритмов:

    • Если выражения числовые и не содержат переменных, каждое из них нужно решить. Итоговые результаты должны совпадать. 

    Рассмотрим на примере и докажем, что выражение $\color{#8e3deb} \frac {7+2}{3}+5$ тождественно равно выражению $\color{#eb3d3d}10-2$:

    $$\color{#8e3deb}{\frac {7+2}{3}+5}=\color{#eb3d3d}10-2$$

    Решим первое: $$\color{#8e3deb}\frac{9}{3}+5=8$$

    Решим второе:

    $$\color{#eb3d3d}10-2=8$$

    Мы получили одинаковый результат $\color{#8e3deb}8=\color{#eb3d3d}8$ и доказали, что исходные выражения тоже тождественно равны.

    Логично, что если одно из числовых выражений в равенстве представляет собой число, то для доказательства нужно решить только второе.

    • Если выражения содержат переменную, то нужно подставить вместо нее в исходное и полученное выражения одно и то же число. Результат должен совпадать. 

    К примеру, докажем что выражение $\color{#8e3deb}2(7n+3-4n)$ тождественно равно выражению $\color{#ED7858}6(n+1)$. Допустим $n=2$. Подставим в первое выражение $2$ вместо $n$:
    $$\color{#8e3deb}2(7\times 2+3-4\times 2)=2\times 9=18$$
    Подставим и во второе выражение $2$ вместо $n$:
    $$\color{#ED7858}6(2+1)=6\times 3=18$$ Мы получили одинаковые результаты, следовательно, наши выражения тождественны. 

    Попробуйте самостоятельно подставить вместо $n$ в каждое из выражений выше какое-то другое число, и проверьте, будет ли сохраняться тождество. 

    Все ли значения можно подставить вместо переменной?

    Но любое ли значение для подставления вместо переменной можно брать при доказательстве? Далее вы будете изучать область допустимых значений (ОДЗ) для переменной. При доказательстве мы должны использовать только допустимые ее значения. 

    К примеру, возьмем тождество: $$\frac {3}{9x}+5=-5-\frac {1}{3x}$$ Какое число мы не можем подставить вместо $x$?
    Вместо $x$ мы не можем подставить $0$, доказывая тождественность этих выражений, так как $x$ у нас в знаменателе. При умножении на $x=0$ в обоих знаменателях получится $0$, а на $0$ делить нельзя. $0$ не входит в ОДЗ для переменной в исходном выражении и не может в данном случае использоваться для доказательства тождества.

    • Другой способ доказать, что в результате преобразования выражения остались тождественными: вычесть из исходного выражения получившееся (или наоборот). В результате должен получиться $0$. 

    Возьмем пример выше и вычтем $6(n+1)$ из $2(7n+3-4n)$.
    Решим:
    $6(n+1)-2(7n+3-4n)=$
    $6n+6-14n-6+8n=$
    $(6n-14n+8n)+(6-6)=0$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение