Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Свойства умножения

Содержание

    Переместительное

    Произведение не изменяется от перемещения сомножителей

    Пример:$$2\times3=3\times2$$

    $$6\times5\times7=5\times6\times7=7\times6\times5$$

    Это свойство выражают так: $$abc=acb=bac=bca=…$$

    Сочетательное

    Умножение обладает сочетательным свойством: произведение не изменится, если какие-либо сомножители будут заменены их произведением.

    Так, вместо того, чтобы вычислять это произведение в том порядке, в каком написаны сомножители: $7 \times 2 \times 5 = 14 \times 5 = 70$, станем вычислять его в порядке, указанном данными скобками $7 \times (2 \times 5) = 7 \times 10 = 70$

    Произведение $7 \times 2 \times 5 $ означает, что $7$ повторяется слагаемым 2 раза и полученная сумма повторяется слагаемым еще $5$ раз; произведение можно выразить так:

    $$(7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7)+ (7 + 7)$$

    Но вместо того, чтобы складывать сумму $7 + 7$, мы может складывать просто $7$. Написанная нами сумма должна быть равна:

    $$7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7$$

    т. е. она должна равняться $7 \times 10$.

    В применении к произведению трех сомножителей сочетательное свойство (в соединении с переместительным) можно выразить такими равенствами:

    $$аbс = а (bс) = b (ас) = с (ab)$$

    Распределительное

    Допустим мы должны умножить $526$ на $3$. Значит, мы должны умножить сумму $500 + 20 + 6$ на $3$. Для этого можно умножить на $3$ отдельно каждое слагаемое и результаты сложить.

    $$(500 + 20 + 6) \times 3 = (500 \times 3)+(20 \times 3) + (6 \times 3) = 1500 + 60+18 = 1578$$

    Подобно этому, чтобы умножить сумму $5 + \frac{3}{4} +2$ на $8$, можно умножить отдельно $5$, $\frac{3}{4}$ и $2$ и результаты сложить:

    $$(5+\frac{3}{4}+2) \times 8 = (5 \times 8) +(\frac{3}{4} \times 8) + (2 \times 8) = 40 + 6 + 16 = 62$$

    Если требуется умножить разность на какое-нибудь число, то для этого можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого результата вычесть второй. Например:

    $$(12-10) \times 3 = 12 \times 3-10 \times 3 = 36-30 = 6$$

    $$(2\frac{1}{2}-\frac{3}{4}) \times 8 = 2\frac{1}{2} \times 8-\frac{3}{4} \times 8 = 20-6=14$$

    Таким образом:

    Чтобы умножить сумму (или разность) на любое число, можно умножить на данное число каждое слагаемое отдельно (уменьшаемое и вычитаемое отдельно) и результаты сложить (вычесть).
    $$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b})\cdot \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c}$$

    Это свойство называется распределительным, так как действие умножения, производимое над суммой или разностью, распределяется на каждое данное число в отдельности.

    Умножение числа на произведение

    Пусть необходимо умножить $8$ на $40$, то есть на произведение $4 \times10$. Для этого можем умножить $8$ на $4$ и результат умножить на 10:$$ 8\times(4 \times10)= 8 \times4 \times10.$$

    Значит:

    $$a(bc)=abc$$

    $$a(bcd)=abcd$$

    Следовательно, чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можем умножить это число сначала на первый сомножитель, далее полученное произведение умножить на второй сомножитель, затем на третий и так далее.

    Умножение произведения на число

    Пусть необходимо умножить произведение $3 \times6 \times9$ на 11. Для этого можем умножить на $11$ какой – нибудь один сомножитель, оставив другие без изменения:

    $$(3 \times6 \times9) \times11=$$$$(3 \times11) \times6 \times9=$$$$3 \times(6 \times11) \times9=$$$$3 \times6 \times(9 \times11)$$

    Во всех случаях ответ будет $1782$.

    То есть: $$(abc…)m=(am)bc…=a(bm)c…=…$$

    Следовательно, чтобы умножить произведение на какое – нибудь число, можем умножить на это число только один сомножитель, оставив все другие без изменения. 

    Потренироваться в использовании данных свойств вы можете на наших тренажёрах умножения

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение