Свойства умножения

Переместительное

Пример:$$2\times3=3\times2$$

$$6\times5\times7=5\times6\times7=7\times6\times5$$

Это свойство выражают так: $$abc=acb=bac=bca=…$$

Сочетательное

Умножение обладает сочетательным свойством: произведение не изменится, если какие-либо сомножители будут заменены их произведением.

Так, вместо того, чтобы вычислять это произведение в том порядке, в каком написаны сомножители: $7 \times 2 \times 5 = 14 \times 5 = 70$, станем вычислять его в порядке, указанном данными скобками $7 \times (2 \times 5) = 7 \times 10 = 70$

Произведение $7 \times 2 \times 5 $ означает, что $7$ повторяется слагаемым 2 раза и полученная сумма повторяется слагаемым еще $5$ раз; произведение можно выразить так:

$$(7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7)+ (7 + 7)$$

Но вместо того, чтобы складывать сумму $7 + 7$, мы может складывать просто $7$. Написанная нами сумма должна быть равна:

$$7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7$$

т. е. она должна равняться $7 \times 10$.

В применении к произведению трех сомножителей сочетательное свойство (в соединении с переместительным) можно выразить такими равенствами:

$$аbс = а (bс) = b (ас) = с (ab)$$

{"questions":[{"widgets":{"choice":{"type":"choice","options":["$5 \\times 12 = 15 \\times 4 = 20 \\times 3$","$3 \\times 10 = 10 \\times 3$","$a \\times b \\times c = b \\times a \\times c = ...$","$2(a \\times b \\times c) = 2b \\times a \\times c = 2a \\times b \\times c = ...$"],"explanations":["$5 \\times 12 = 5 \\times 3 \\times 4$","Это выражение показывает переместительное свойство","",""],"answer":[0]}},"content":"Какое выражение использует сочетательное свойство умножения?[[choice]]"}]}

Распределительное

Допустим мы должны умножить $526$ на $3$. Значит, мы должны умножить сумму $500 + 20 + 6$ на $3$. Для этого можно умножить на $3$ отдельно каждое слагаемое и результаты сложить.

$$(500 + 20 + 6) \times 3 = (500 \times 3)+(20 \times 3) + (6 \times 3) = 1500 + 60+18 = 1578$$

Подобно этому, чтобы умножить сумму $5 + \frac{3}{4} +2$ на $8$, можно умножить отдельно $5$, $\frac{3}{4}$ и $2$ и результаты сложить:

$$(5+\frac{3}{4}+2) \times 8 = (5 \times 8) +(\frac{3}{4} \times 8) + (2 \times 8) = 40 + 6 + 16 = 62$$

Если требуется умножить разность на какое-нибудь число, то для этого можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого результата вычесть второй. Например:

$$(12-10) \times 3 = 12 \times 3-10 \times 3 = 36-30 = 6$$

$$(2\frac{1}{2}-\frac{3}{4}) \times 8 = 2\frac{1}{2} \times 8-\frac{3}{4} \times 8 = 20-6=14$$

Таким образом:

Чтобы умножить сумму (или разность) на любое число, можно умножить на данное число каждое слагаемое отдельно (уменьшаемое и вычитаемое отдельно) и результаты сложить (вычесть).
$$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b})\cdot \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c}$$

Это свойство называется распределительным, так как действие умножения, производимое над суммой или разностью, распределяется на каждое данное число в отдельности.

Умножение числа на произведение

Пусть необходимо умножить $8$ на $40$, то есть на произведение $4 \times10$. Для этого можем умножить $8$ на $4$ и результат умножить на 10:$$ 8\times(4 \times10)= 8 \times4 \times10.$$

Значит:

$$a(bc)=abc$$

$$a(bcd)=abcd$$

Следовательно, чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можем умножить это число сначала на первый сомножитель, далее полученное произведение умножить на второй сомножитель, затем на третий и так далее.

Умножение произведения на число

Пусть необходимо умножить произведение $3 \times6 \times9$ на 11. Для этого можем умножить на $11$ какой — нибудь один сомножитель, оставив другие без изменения:

$$(3 \times6 \times9) \times11=$$$$(3 \times11) \times6 \times9=$$$$3 \times(6 \times11) \times9=$$$$3 \times6 \times(9 \times11)$$

Во всех случаях ответ будет $1782$.

То есть: $$(abc…)m=(am)bc…=a(bm)c…=…$$

Следовательно, чтобы умножить произведение на какое — нибудь число, можем умножить на это число только один сомножитель, оставив все другие без изменения. 

Потренироваться в использовании данных свойств вы можете на наших тренажёрах умножения